旋转曲面的面积课件.ppt

10.4 旋转曲面的面积旋转曲面的面积 通通过过对对不不均均匀匀量量（（如如曲曲边边梯梯形形的的面面积积，，变变速速直直线线运运动动的的路路程程））的的分分析析，，采采用用“分分割割、、近近似似代代替替、、求求和和、、取取极极限限”四四个个基基本本步步骤骤确确定定了了它它们们的的值值，，并并由由此此抽抽象象出出定定积积分分的的概概念念，，我我们们发发现现，，定定积积分分是是确确定定众众多多的的不不均均匀匀几几何何量量和和物物理理量量的的有有效效工工具具那那么么，，究究竟竟哪哪些些量量可以通过定积分来求值呢？可以通过定积分来求值呢？ 一一 定积分的元素法定积分的元素法( (或微元法或微元法) )旋转曲面的面积 为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形面积转化为定积分的计算过程step1. 分割：任意划分[a,b]为n个小区间step2. 近似：微元法旋转曲面的面积step3. 求和：step4. 取极限：分析：分析：在上述问题注意到在上述问题注意到: 所求量所求量(即面积即面积)A满足：满足：1与区间与区间[a,b]及及[a,b]上连续函数上连续函数f(x)有关有关;2。

对对[a,b]具有可加性，具有可加性，3 实际上，引出实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第的积分表达式的关键步骤是第二步，因此求解可简化如下：二步，因此求解可简化如下：微元法旋转曲面的面积step1:选取积分变量及积分区间（如x属于[a,b]）step2:取微区间[x,x+dx] 求出 step3:这种方法称为定积分的元素法元素法或微元法微元法微元法旋转曲面的面积 一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件:1Q是与某一变量是与某一变量x的变化区间的变化区间[a,b]有关的量；有关的量；2Q对于对于[a,b]区间具有可加性；区间具有可加性；3局部量局部量那么，将Q用积分来表达的步骤如下:step1. 选取积分变量及积分区间选取积分变量及积分区间step2. 取微区间取微区间[x,x+dx]，求出，求出step3. 微元法旋转曲面的面积求Ｕ的步骤求Ｕ的步骤分分割割用分点用分点将将　　区间分成区间分成 n 个小区间个小区间以以直直线线代代曲曲把Ｕ在小区间上的局部量把Ｕ在小区间上的局部量用某个函数用某个函数 f ( x) 在在的值与的值与之积代替之积代替求求和和 把局部量的近似值累加得到总量的近似值把局部量的近似值累加得到总量的近似值, 即即设量Ｕ非均匀地分布设量Ｕ非均匀地分布 [ a ,b ]上上旋转曲面的面积 由此可知，若某个非均匀量Ｕ在区间由此可知，若某个非均匀量Ｕ在区间 [a,b] 上满足两个条件：上满足两个条件： （（1）） 总量在区间上具有总量在区间上具有可加性可加性，即把区间分成几个小区间时总量就，即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和，等于各个小区间上的局部量之和，（（2）局部量可用）局部量可用近似表示近似表示它们之间只相差一个它们之间只相差一个的的高阶无穷小高阶无穷小不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得这是建立所求量的积分式的基本方法这是建立所求量的积分式的基本方法求极限旋转曲面的面积1 求微元求微元写出典型小区间写出典型小区间 上的局部量上的局部量 的近似值的近似值这就是局部量的微元这就是局部量的微元2 求积分求积分即把微元即把微元 在区间在区间 [ a , b ] 上上 作积分表达式，作积分表达式，求它在求它在 [ a , b ] 上的定积分，即上的定积分，即这就是这就是微元法微元法 “无限积累无限积累”起来起来 ，，相当于把相当于把 旋转曲面的面积例例解解:（图一）弧长微元旋转曲面的面积xyo旋转曲面的面积为旋转曲面的面积为二二 旋旋转转曲曲面面的的面面积积旋转曲面的面积旋转曲面的面积旋转曲面的面积旋转曲面的面积旋转曲面的面积例例3 3旋转曲面的面积解解由对称性由对称性,有有由对称性由对称性,有有旋转曲面的面积由对称性由对称性,有有旋转曲面的面积作业作业 P255 P255：：1 1，，2 2，，3.3.三三 小结小结旋转曲面的面积旋转曲面的面积。