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第2章 连续时间傅里叶变换 第第2章章 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换 引言引言 周期信号的连续时间傅里叶级数周期信号的连续时间傅里叶级数 周期信号的频谱周期信号的频谱 非周期信号的连续时间傅里叶变换非周期信号的连续时间傅里叶变换 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 连续信号的抽样定理连续信号的抽样定理 连续系统的频域分析连续系统的频域分析 第2章 连续时间傅里叶变换 引引 言言 LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI系统的特性 第2章 连续时间傅里叶变换 周期信号的连续时间傅里叶级数周期信号的连续时间傅里叶级数 满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式的傅里叶级数:.1 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 第2章 连续时间傅里叶变换 周期性方波信号周期性方波信号 图图 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号 第2章 连续时间傅里叶变换 2.2.2 周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点 图图 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号 第2章 连续时间傅里叶变换 为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。

第2章 连续时间傅里叶变换 周期信号的频谱周期信号的频谱 周期信号的复振幅周期信号的复振幅 一一般般为为n的的复复函函数数，因因而而描描述述其其特特点点的的频频谱谱图图一一般般要要画画两两个个，一一个个称称为为振振幅幅频频谱谱，另另一一个个称称为为相相位位频频谱谱振振幅幅频频谱谱以以为为横横坐坐标标，以以振振幅幅为为纵纵坐坐标标画画出出谱谱线线图图；相相位位频频谱谱以以为为横横坐坐标标，以以相位为纵坐标得到谱线图相位为纵坐标得到谱线图 假设信号的复振幅假设信号的复振幅 为为n的的实实函函数数，其其复复振振幅幅Fn与与变变量量(n)的的关关系系也也可可以以用用一个图绘出一个图绘出 第2章 连续时间傅里叶变换 取样函数定义为 这是一个偶函数，且x0时，Sa(x)=1；当x=k时，Sa(k)=0 据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即 第2章 连续时间傅里叶变换 图 Sa(x)函数的波形 第2章 连续时间傅里叶变换 图-4 周期矩形脉冲信号的频谱 第2章 连续时间傅里叶变换 由图 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点： 第一为离离散散性性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。

第二为谐谐波波性性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上，即含有的各次谐波分量，而决不含有非的谐波分量 第三为收收敛敛性性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随n的变化有起伏变化，但总的趋势是随着n的增大而逐渐减小 当n时，|Fn|0 第2章 连续时间傅里叶变换 图 不同值时周期矩形信号的频谱(a) =T/5; (b) =T/10 第2章 连续时间傅里叶变换 图 不同T值时周期矩形信号的频谱(a) T=5; (b) T=10 第2章 连续时间傅里叶变换 周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和在信号的传输过程中，要求一个传输系统能将这无穷多个正弦分量不失真地传输显然是不可能的实际工作中，应要求传输系统能将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的根本要求周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内， 因而，常常将=0 这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度记为 或 第2章 连续时间傅里叶变换 .3 周期信号的功率周期信号的功率 周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而周期信号是功率信号为了方便，往往将周期信号在1电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。

显然，对于周期信号f(t)， 无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为 第2章 连续时间傅里叶变换 因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理(式式(-16)，有，有 第2章 连续时间傅里叶变换 非周期信号的连续时间傅里叶变换非周期信号的连续时间傅里叶变换 .1 傅里叶变换傅里叶变换第2章 连续时间傅里叶变换 对于非周期信号，重复周期T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷小量d，而离散频率n变成连续频率在这种极限情况下，Fn趋于无穷小量，但 可望趋于有限值，且为一个连续函数，通常记为F(j)，即 第2章 连续时间傅里叶变换 非周期信号的傅里叶变换可简记为 一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对可积， 即要求 第2章 连续时间傅里叶变换 .2 非周期信号的频谱函数非周期信号的频谱函数 由非周期信号的傅里叶变换可知: 频谱函数F(j)一般是复函数，可记为 习惯上将F()的关系曲线称为非周期信号的幅度频谱 (F()并不是幅度!)，而将()曲线称为相位频谱，它们都是的连续函数 第2章 连续时间傅里叶变换 f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出: 式中： 第2章 连续时间傅里叶变换 与周期信号的傅里叶级数相类似，F()、()与R()、 X()相互之间存在以下关系： 第2章 连续时间傅里叶变换 在f(t)是实函数时： (1) 假设f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，那么f(t)的频谱函数F(j)为的实函数， 且为的偶函数。

(2) 假设f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，那么f(t)的频谱函数F(j)为的虚函数，且为的奇函数 与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变换表示式改写成三角函数的形式，即 第2章 连续时间傅里叶变换 第2章 连续时间傅里叶变换 .3 典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换 例例-1 图-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数其宽度为， 高度为1，通常用符号g(t)来表示试求其频谱函数 解解 门函数g(t)可表示为 第2章 连续时间傅里叶变换 图-1 门函数及其频谱(a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱 第2章 连续时间傅里叶变换 例例-2 求指数函数f(t)的频谱函数 图-2 单边指数函数e-t及其频谱(a) 单边指数函数e-t; (b) e-t的幅度谱 第2章 连续时间傅里叶变换 其振幅频谱及相位频谱分别为 解解 第2章 连续时间傅里叶变换 例例-3 求图-3(a)所示双边指数函数的频谱函数 第2章 连续时间傅里叶变换 图-3 双边指数函数及其频谱(a) 双边指数函数； (b) 频谱 第2章 连续时间傅里叶变换 例例-4 求图-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。

图-4 例-4 图(a) 信号f(t); (b) 频谱 第2章 连续时间傅里叶变换 (a0)解解 图示信号f(t)可表示为第2章 连续时间傅里叶变换 例例-5 求单位冲激函数(t)的频谱函数 图-5 信号(t)及其频谱(a) 单位冲激信号(t); (b) (t)的频谱 第2章 连续时间傅里叶变换 解解 可见，冲激函数(t)的频谱是常数1也就是说，(t)中包含了所有的频率分量， 而各频率分量的频谱密度都相等 显然， 信号(t)实际上是无法实现的 第2章 连续时间傅里叶变换 根据分配函数关于根据分配函数关于(t)的定义，的定义， 有有 第2章 连续时间傅里叶变换 例例-6 求直流信号1的频谱函数 图图-6 直流信号f(t)及其频谱(a) 直流信号f(t); (b) 频谱 第2章 连续时间傅里叶变换 解解 直流信号1可表示为 第2章 连续时间傅里叶变换 例例-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数 考察例-4 所示信号f(t) 第2章 连续时间傅里叶变换 当0时，其极限为符号函数Sgn(t)因而可以用求f(t)的频谱函数F(j)当0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数 例例-4 所示信号的频谱函数为，从而有 第2章 连续时间傅里叶变换 图图-7 符号函数Sgn(t)及其频谱(a)Sgn(t)的波形； (b) 频谱 第2章 连续时间傅里叶变换 例例-8 求阶跃函数(t)的频谱函数。

由阶跃函数(t)的波形容易得到 解解 从而就可更为方便地求出(t)的频谱函数， 即 第2章 连续时间傅里叶变换 图-8 阶跃函数及其频谱(a) (t)的波形； (b) 频谱 第2章 连续时间傅里叶变换 表表 常用傅里叶变换对常用傅里叶变换对 第2章 连续时间傅里叶变换 续表续表 第2章 连续时间傅里叶变换 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 根据傅里叶变换的概念，一个非周期信号可以表述为指数函数的积分， 即 第2章 连续时间傅里叶变换 1. 线性线性假设 且设a1, a2为常数，那么有 第2章 连续时间傅里叶变换 2. 时移性时移性假假设设f(t) F(j)， 且且t0为为实实常常数数(可可正正可可负负)，那那么有么有此性质可证明如下第2章 连续时间傅里叶变换 例例-1 求图-1(a)所示信号的频谱函数 图-1 例-1 的图(a) f(t)的波形； (b) 相位谱 第2章 连续时间傅里叶变换 解解 第2章 连续时间傅里叶变换 2. 频移性频移性 第2章 连续时间傅里叶变换 频谱搬移的原理是将信号f(t)乘以载频信号cos0t或sin0t, 从而得到f(t) cos 0t或f(t) sin 0t 的信号。

因为 第2章 连续时间傅里叶变换 例例-2 求高频脉冲信号f(t)(图-2(a)的频谱 图-2 高频脉冲信号及其频谱(a) f(t)的波形； (b) 频谱 第2章 连续时间傅里叶变换 解解 图-2(a)所示高频脉冲信号f(t)可以表述为门函数g(t)与cos 0t相乘，即 第2章 连续时间傅里叶变换 4. 尺度变换尺度变换 第2章 连续时间傅里叶变换 当a0时： 第2章 连续时间傅里叶变换 尺度变换性质说明，信号的持续时间与其频带宽度成反比在通信系统中，为了快速传输信号，对信号进行时域压缩，将以扩展频带为代价，故在实际应用中要权衡考虑 在尺度变换性质中， 当a=-1时，有 也称为时间倒置定理倒置定理 第2章 连续时间傅里叶变换 5. 对称性对称性 第2章 连续时间傅里叶变换 我们知道 第2章 连续时间傅里叶变换 图-4 取样函数 及其频谱第2章 连续时间傅里叶变换 6. 时域卷积时域卷积 第2章 连续时间傅里叶变换 在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位，它将系统分析中的时域方法与频域方法紧密联系在一起在时域分析中， 求某线性系统的零状态响应时，假设外加信号f(t)及系统的单位冲激响应h(t), 那么有 在 频 域 分 析 中 ， 假 设 知 道 F(j)=F f(t) ，H(j)=Fh(t)， 那么据卷积性质可知 第2章 连续时间傅里叶变换 7. 频域卷积频域卷积 第2章 连续时间傅里叶变换 应用频移性质，可知 第2章 连续时间傅里叶变换 8. 时域微分时域微分 第2章 连续时间傅里叶变换 例如，我们知道 , 利用时域微分性质显然有 此性质说明，在时域中对信号f(t)求导数， 对应于频域中用j乘f(t)的频谱函数。

如果应用此性质对微分方程两端求傅里叶变换， 即可将微分方程变换成代数方程从理论上讲，这就为微分方程的求解找到了一种新的方法 此性质还可推广到f(t)的n阶导数， 即 第2章 连续时间傅里叶变换 9. 时域积分时域积分 第2章 连续时间傅里叶变换 时域积分性质多用于F(0)=0的情况，而F(0)=0说明f(t)的频谱函数中直流分量的频谱密度为零 =0第2章 连续时间傅里叶变换 例例-4 求图求图-5(a)所示梯形信号所示梯形信号f(t)的频谱函数的频谱函数 解解 假假设设直直接接按按定定义义求求图图示示信信号号的的频频谱谱，会会遇遇到到形形如如te-jt的的繁繁复复积积分分求求解解问问题题而而利利用用时时域域积积分分性性质质，那那么么很很容容易易求求解解 将将f(t)求求导导，得得到到图图-5(b)所所示示的的波波形形f1(t)，将将f1(t)再再求求导导， 得到图得到图-5(c)所示的。