2023年全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨毕业.doc

邯郸学院本科毕业论文题 目 全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨 郑重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师 闫峰 的指导下独立撰写完毕的如有抄袭、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人乐意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并乐意通过网络接受公众的监督特此郑重声明毕业论文（设计）作者（署名）： 年 月 日全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨摘　要[请单击此处，然后输入中文摘要内容]关键词：数学建模竞赛 初等方法 建模方法 微分方程 图论 线性规划Commonly used modeling method of the National Mathematical Contest in ModelingChai yunfei Directed by Professor YanfengABSTRACT[在此处输入英文摘要内容]KEY WORDS：mathematical contest elementary method modeling method differential equations graph theory linear programming目 录全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨 I前　言 11 初等数学建模方法 21.1 走路问题 21.2 银行复利问题 32 微分方程建模方法 52.1 微分方程建模原理和方法 52.2 人才分派问题模型 73 差分和代数建模方法 83.1 Malthus人口模型 83.2 线性差分方程的解法 94 数据差值与拟合方法 104.1 拉格朗日插值法 114.2 最小二乘法 125 线性规划建模方法 145.1 线性规划的一般理论 145.2 合理下料问题 166 图论建模方法 176.1 图论的基本概念和简朴的图论模型 176.2 最短轨道问题 186.3 求最小生成树 186.4 模拟退火法原理 196.5 应用举例 19参考文献 21附　录 22致　谢 23前　言全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。

竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面通过适当简化加工的实际问题，不规定参赛者预先掌握进一步的专门知识，只需要学过高等学校的数学课程题目有较大的灵活性供参赛者发挥其发明能力参赛者应根据题目规定，完毕一篇涉及模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检查、模型的改善等方面的论文赛题一般涉及面宽--有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等一般都有一个比较确切的现实问题本文将重要介绍一些常用的数学建模方法，涉及初等数学建模方法、微分方程建模方法、差分和代数建模方法、数据差值与拟合方法、线性规划建模方法、图论建模方法等1 初等数学建模方法在数学建模竞赛中，常会涉及到初等数学建模方法对于一些机理简朴的问题，经常应用静态、线性或逻辑的方法即可建立模型，使用初等数学方法或简朴的微积分知识即可求解，此类模型称之为初等数学模型初等数学建模方法很多，有比例关系、状态转移、量纲分析、类比建模等本章重要列举了走路问题与银行复利问题，问题中涉及到了一些方法，通过这些知识方法的巧妙应用，可以开拓思绪，提高分析解决实际问题的能力1.1 走路问题人在匀速行走时，步行多大最省劲？把人行走时做的功看作是人体重心的势能和两脚运动的动能之和。

试在此基础上，建立数学模型并对所得结果进行评价设人体重M，腿重为,腿长为,步长为，速度为，单位时间内步数为n. 则由已知，人行走时所作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和①计算人体重心升高的势能将人的行走简化，设重心升高为h,则当较小时，取泰勒公式展开式前两项，得于是单位时间内重心升高所需势能为②计算腿运动的动能假如将行走视为腿（均为直径）绕腰部的转动，则单位时间的动能为E=In其中I为转动惯量，I===l=l为角速度，=，m≈l.所以E=·l·=mv=于是单位时间行人行走所作的功为P= E+ E=+这是一个数学模型，问题转化为欲求：x为多大时，P最小在⑴中，求P的驻点，令=0，解得x=v·由nx=v,得n=若取M:m=4:1,代入且近似取l=1(米)，可得n≈5,即每秒5步，显然太快了，模型修改：是腿重集中在脚上，人行走所需动能为脚的直线运动的动能，则有=mv·n=,其中 =+,同上解得 =≈3.这比较符合实际1.2 银行复利问题一个人为了积累养老金，他每月准时到银行存100元，银行的年利率2﹪，且可以任意分段按复利计算试问此人5年后共积累了多少养老金？假如存款和复利按日计算，则他又有多少养老金？假如复利和存款连续计算呢？试建立数学模型并求解。

①按月存款和利息时，每月的利息为×=记x为第k月末时的养老金数，则由题意得x=100x=100+100·（1+）x=100+100·（1+）+100·（1+）… … …x100+100·（1+）+…+100·（1+）五年末养老金为x=100×=60000-1元≈6629.9元②当复利和存款按日计算时，记y为第k天的养老金数，则天天的存款额为a=,天天的利率为r=.第k+1天的养老金数量与第k天的养老金数量的关系为y=+ y·(1+r)= + y(1+)从第一天开始递推为y=ay=a+a(1+r)y= a+a(1+r) +a(1+r)… … … y= a+a(1+r) +a(1+r)+…+ a(1+r)=a=-1在5年末时的养老金数为： （5年=5×365=1825）y=-1=××-1≈6614.68元③当存款和复利连续计算时，将1年提成m个相等的时间区间，则在每个时间区间中，存款为，每个区间的利息为,记第k个区间养老金的数目为z,类似与前面分析，5年后养老金为z=·=·=60000（元）=60000令m,即得连续存款和利息时，5年后的养老金为：Z=60000=60000(e-1)元≈6642.08元观测这三种不同情况下复利的计算问题，可以看出，将1年份为m等份，得出的计算公式⑴具有一般性。

当m分别取12和365时，就是前两种情况下的计算公式此外，是m的单调函数，所以计算间隔越小，5年后的养老金数就越多，但不会超过连续存款和计息的极限值由于存款和计息的间隔越小时，收益越大，且不需要一次到银行存较多的钞票而是分批逐渐存入，对投资者的资金周转有利，所以在银行按复利计算时，建议存款者尽量采用小间隔的策略2 微分方程建模方法在大多赛题中，要直接找出某些量之间的关系往往比较困难，但有时考虑其微小增量或变化率与这些变量之间的关系确是容易的，这种情形下我们经常采用微分关系式去描述其关系2.1 微分方程建模原理和方法一般来说，任何事变问题中随时间变化发生变化的量与其它一些量之间的关系经常以微分方程的形式来表现看这样一个问题：有一容器装有某种浓度的溶液，以流量v注入该容器浓度为c的同样溶液，假定溶液立即被搅拌均匀，并以v的流量流出混合后的溶液，试建立反映容器内浓度变化的数学模型注意到 溶液浓度=因此，容器中溶液浓度会随溶质质量和溶液体积变化而发生变化不妨设t时刻容器中溶质质量为s(t)，初始值为s,t时刻容器中溶液体积为V（t），初始值为V，则这段时间内有 （1）其中，c表达单位时间内注入溶液的浓度，c表达单位时间内流出溶液的浓度，当△t很小时，在内 c≈= （2）对式（1）两端同除以，令→0，则有 （3）此即问题的数学模型。

它是针对液体溶液变化建立的，但它对气体和固体浓度变化同样合用实际中，对面许多时变问题都可取微小的时间段去考察某些量之间的变化规律，从而建立问题的数学模型，这是数学建模中微分建模常用手段之一通过对上述例子的了解，下面介绍几种常用微分方程建模方法1）按实验定律或规律建立的微分方程模型刺激按摩充足依赖于各个学科领域中有关实验定律或规律以及某些重要的已知定理此法建模规定建模者有宽广的知识视野才干对耨写具体问题采用某些熟知的实验定律2）分析微元变化规律建立微分方程模型求解某些实际问题时，寻求一些微元之间的关系可以建立问题的数学模型如上述问题中考察时间微元，从而建立的反映溶液浓度随时间变化的模型此建模方法的出发点是考察某一变量的微小变化，即微元分析，找出其他一些变量与该微元间的关系式，从微分定义出发建立问题的数学模型3）近似模拟法在许多实际问题中，有些现象的规律性并非一目了然，或有所了解亦是复杂的，这类问题常用近似模拟方法来建立问题的数学模型一般通过一定的模型假设近似模拟实际现象，将问题做某些规范化解决后建立微分方程模型，然后分析，求解再与实际问题作比较，，观测模型能否近似刻画实际现象近似模拟法建模思绪是建立可以近似刻画或反映实际现象的数学模型，因此在建模过程中经常做一些较合理的模型假设使问题简化，然后通过简化建立近似反映实际问题的数学模型2.2 人才分派问题模型每年大学毕业生中都要有一定比例的人员留在学校充实教师队伍, 其余人员将分派到国民经济其他部门从事经济和管理工作. 设t年教师人数为科学技术和管理人员数目为又设1外教员每年平均培养个毕业生, 每年人教育、科技和经济管理岗位退休、死亡或调出人员的比率为表达每年大学生毕业生中从事教师职业所占比率于是有方程 (1) (2)方程(1)有通解 (3)若设则于是得特解 (4)将(4)代入(2)方程变为 (5)求解方程(5)得通解 (6)若设则于是得特解 (7)(4)式和(7)式分别表达在初始人数分别为情况, 相应于的取值, 在t年教师队伍的人数和科技经济管理人员人数. 从结果看出, 假如取即毕业生所有留在教育界, 则当时, 由于必有而说明教师队伍将迅速增长. 而科技和经济管理队伍不断萎缩, 势必要影响经济发展, 反过来也会影响教育的发展. 假如将接近于零. 则同时也导致说明假如不保证适当比例的毕业生充实教师选择好比率, 将关系到两支队伍的建设, 以及整个国民经济建设的大局.3 差分和代数建模方法在一些问题中，许多数据都是以等间隔时间周期记录的。

例如，银行中的定期存款是按设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月记录，国民收入按年记录，产品的产量按月记录，等等这些量是变量，通常这些变量为离散型变量描述离散型变量之间的关系的数学模型为离散型模型对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法3.1 Malthus人口模型1798年．英国人口学家。