计算机图形学第6章.ppt

青岛农业大学第二篇 几 何青岛农业大学第6章 曲线线与曲面青岛农业大学青岛农业大学6.1 6.1 基础知识基础知识n n自由曲线和曲面发展过程自由曲线和曲面发展过程n n自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线， 人们用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几人们用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几 个特殊的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力个特殊的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力 后就变形为一条曲线人们调整不断调整控制点，使样条达到符合后就变形为一条曲线人们调整不断调整控制点，使样条达到符合 设计要求的形状，则沿样条绘制曲线设计要求的形状，则沿样条绘制曲线n n19631963年，美国波音，弗格森提出使用参数三次方程来构造曲面年，美国波音，弗格森提出使用参数三次方程来构造曲面n n1964-19671964-1967年，美国年，美国MITMIT，孔斯用封闭曲线的四条边界来定义曲面，孔斯用封闭曲线的四条边界来定义曲面n n19711971年，法国雷诺汽车，年，法国雷诺汽车，BezierBezier提出用控制多边形来定义曲线和提出用控制多边形来定义曲线和 曲面曲面n n19741974年，美国通用汽车，戈登和里森菲尔德年，美国通用汽车，戈登和里森菲尔德, B, B样条理论用于形状样条理论用于形状 描述描述n n19751975年，美国锡拉丘兹大学，佛斯普里尔提出有理年，美国锡拉丘兹大学，佛斯普里尔提出有理B B样条样条n n8080年代，皮格尔和蒂勒年代，皮格尔和蒂勒, , 将有理将有理B B样条发展成非均匀有理样条发展成非均匀有理B B样条，样条， NURBSNURBS方法方法青岛农业大学6.1 6.1 基础知识基础知识从表示形式来看，曲线可分成两大类：规则曲线——自由曲线——可以用标准方程描述的曲线。

如圆 、椭圆、抛物线、双曲线、渐开线 、摆线等无法用标准方程描述的曲线，通常 由一系列实测数据点确定如汽车 的外形曲线、等高线等曲线青岛农业大学6.1 6.1 基础知识基础知识r从生成算法来看，曲线可分成两大类： q 拟合型q 设计型对已经存在的离散点列构造出尽可能光滑的曲线，用以直观（而忠实）地反映出实验特性、变化规律和趋势等 设计人员对其所设计的曲线并无定量的概念，而是在设计过程中即兴发挥青岛农业大学6.1.1 6.1.1 曲线的表示曲线的表示 r曲线的表示方法 r参数表示 r非参数表示r显示表示r隐式表示青岛农业大学6.1.1 6.1.1 曲线的表示曲线的表示 r显示表示 r隐式表示青岛农业大学6.1.1 6.1.1 曲线的表示曲线的表示 r参数表示 r参数的含义t：表示时间，距离，角度，比例等等规范参数区间[0，1]青岛农业大学6.1.1 6.1.1 曲线的表示曲线的表示-- --以直线为例n已知直线的起点坐标P1（x1，y1）和终点坐标 P2（x2，y2）,直线的显式方程表示为：n直线的隐式方程表示为：青岛农业大学6.1.1 6.1.1 曲线的表示曲线的表示 n直线的参数方程表示为： ，t∈[0,1] 青岛农业大学6.1.1 6.1.1 曲线的表示曲线的表示 1）用参数表示的曲线形状本质与坐标系的选取无关，具有几何不变性。

2）有更大自由度来控制曲线、曲面的形状3）容易实现各种线性变换运算4）曲线的端点、导数等计算简单，避免了无穷大斜率的问题 5）便于曲线的分段描述；6）易于处理多值问题7）参数的变化约定为[0,1]，自然规定了曲线是有界的参数表示法的优越性：青岛农业大学曲线构造方法曲线构造方法Ø 插值法Ø 逼近法青岛农业大学6.1.2 6.1.2 插值插值 通过测量或计算得到的曲线上少量描述曲线几何形状的数 据点•型值点• 控制点用来控制或调整曲线形状的特殊点（不一定在曲线上）• 插值点在型值点或控制点之间插入的一系列点青岛农业大学6.1.2 6.1.2 插值插值 n n插值插值n n给定一组有序的数给定一组有序的数 据点据点PiPi，，i=0, 1, …, i=0, 1, …, n n，构造一条曲线，构造一条曲线顺序通过这些数据顺序通过这些数据 点，称为对这些数点，称为对这些数 据点进行据点进行插值插值，所，所 构造的曲线称为构造的曲线称为插插 值曲线值曲线青岛农业大学6.1.2 6.1.2 插值插值 – –线线线线性插性插值值值值n线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点 x1和x2的值，用线形函数 y=Φ(x)=ax+b近似 代替，称Φ(x)为f(x)的线性插值函数。

青岛农业大学6.1.2 6.1.2 插值插值 – –抛物抛物线线线线插插值值值值¨抛物线插值(二次插值)已知f(x)在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3， 要求构造函数 y =Φ (x)=ax2+bx+c,使得Φ (x)在xi处与 f(x)在xi处的值相等青岛农业大学6.1.3 6.1.3 逼近逼近n逼近n构造一条曲线使之 在某种意义下最接近 给定的数据点，称对 这些数据点进行逼近 ，所构造的曲线称为 逼近曲线n用这种方法建立的 曲线数学模型只是近 似地接近已知的控制 点，并不一定完全通 过所有的控制点控制点控制多边形 或 特征多边形青岛农业大学6.1.4 6.1.4 拟合拟合 n拟合： 在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的 曲线曲面达到某些设计要求青岛农业大学6.1.5 6.1.5 曲线的连续性曲线的连续性 n构造复杂曲线时，可以首先构造一些简单的自 由曲线,然后将这些简单曲线段连接成复杂曲线 n拼接条件：首先必须有连接点，其次必须在连 接点处平滑过渡，即需要满足连续性条件n连续性条件有两种：参数连续性和几何连续性 青岛农业大学6.1.5 6.1.5 曲线的连续性曲线的连续性 – –参数参数连续连续连续连续 性性n零阶参数连续性（记作C0）：n指相邻两个曲线段在交点处具有相同的坐 标。

青岛农业大学6.1.5 6.1.5 曲线的连续性曲线的连续性——参数连续性参数连续性 n一阶参数连续性（记作C1）n相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶导 数青岛农业大学6.1.5 6.1.5 曲线的连续性曲线的连续性——参数连续性参数连续性 n二阶参数连续性（记作C2）n指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一 阶和二阶导数青岛农业大学6.1.5 6.1.5 曲线的连续性曲线的连续性——几何连续性几何连续性 n几何连续性只要求导数成比例，而不是相等 n零阶几何连续性（记作 G 0）：n与零阶参数连续性相同，即相邻两个曲线段 在交点处有相同的坐标 青岛农业大学6.1.5 6.1.5 曲线的连续性曲线的连续性——几何连续性几何连续性 n一阶几何连续性（记作 G 1）n指相邻两个曲线段在交点处的一阶导数成比 例，但大小不一定相等 青岛农业大学6.1.5 6.1.5 曲线的连续性曲线的连续性 – –几何几何连续连续连续连续 性性n二阶几何连续性（记作 G 2）n指相邻两个曲线段在交点处的一阶和二阶 导数成比例，即曲率一致 青岛农业大学样条曲线样条曲线 n在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制曲线的形状。

n绘图员弯曲样条（如弹性细木条）通过各实测点，其它地方自然过渡，然后沿样条画下曲线，即得到样条曲线（Spline Curve)n在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲线段（可为规则/自由曲线段）连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续性条件 青岛农业大学样条曲线样条曲线 n次样条参数多项式曲线：矩阵形式：青岛农业大学样条的插值样条的插值n通常：进行分段插值nn+1个控制点进行分段，建立简单的数学模型 ；n段交点处，设置边界条件进行光滑连接 青岛农业大学构造通过5个型值点的抛物线参数样条曲线P1P2P3P4P5这样构造出来的抛物线参数样条曲线完全通过给定的5型 值点，除了P1到P2的区间, P4到P5的区间其他两个型值点 之间都是重合区间青岛农业大学6.1.6 6.1.6 三次三次HermiteHermite样条曲线样条曲线 n从a3x到a0z有12个系数为代数系数，它们确定 了这条参数曲线的形状和位置系数不同则曲线 不同n把上述的代数方程改写为矢量形式nP(t)表示曲线上任一点的位置矢量；系数a0表 示(a0x,a0y,a0z)一般的三次参数样条曲线的代数形式青岛农业大学6.1.6 6.1.6 三次三次HermiteHermite样条曲线样条曲线 n n给出给出端点坐标、端点坐标的切矢量，端点坐标、端点坐标的切矢量，即：即：n nP(0),P(1), P’(0),P’(1)P(0),P(1), P’(0),P’(1)根据条件，得出方程：根据条件，得出方程：青岛农业大学6.1.6 6.1.6 三次三次HermiteHermite样条样条曲曲线线线线矩阵形式：则：青岛农业大学6.1.6 6.1.6 三次三次HermiteHermite样条曲线样条曲线 令三次参数样条曲线方程可以写成：根据：Hermite矩阵三次Hermite样 条曲线的方程青岛农业大学6.1.6 6.1.6 三次三次HermiteHermite样条样条曲曲线线线线n n上式展开上式展开因为它们调和了边界约束值，使在整个参数范围内产生曲线的 坐标值。

调和函数仅与参数t有关，而与初始条件无关其中:称为Hermite样条调和函数青岛农业大学6.1.6 6.1.6 三次三次HermiteHermite样条样条曲曲线线线线nHermite 样条曲线通过给定的N个型值点构造， 每两个型值点之间生成一条Hermite曲线段， Hermite 样条曲线由N-1条首尾相连的Hermite曲 线构成，并且相邻的Hermite曲线段在连接点处 二阶导数相等（C2连续性）nHermite曲线段定义：给定曲线段的两个端点Pi 、 Pi+1和两端点处的一阶导数Ri和Ri+1构造而 成青岛农业大学6.1.6 6.1.6 三次三次HermiteHermite样条样条曲曲线线线线例1：给定9个型值点，其中起始点和终止点是同一个点，从而其特 征多边形是一个首尾相接的封闭多边形，具体坐标位置如下： （100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）,（ 420,200）,（420,300）,（220,280）,（100,300） 假定各点处的一阶导数数值如下： （70,-70）, （70,-70）, （70,-70）,（70,-70）, （70,70）, （70,70）, （-70,70）,（-70,70）, （70,-70） 用Hermite插值方法绘制曲线。

解：p0=(100,300)p1=(120,200)p0’=(70,-70)p1’=(70,-70) For(t=0;t 两段三次Hermite曲线：Q1(t1)=a3t1 + a2t1+ a1t1+ a0 t1∈[0 1]Q2(t2)=b3 t2 + b2t2+ b1t2+ b0 t2∈[0 1]要达到C1连续，其系数必须满足下列关系式：a3 + a2 + a1 + a0 = b03a3 + 2a2 + a1 = b16a3 + 2a2 =2 b2青岛农业大学6.2 6.2 BezierBezier曲线曲线 1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier提出了一种函数逼近和几何表示相结合的参数曲线表示方法，用这种方法生成的曲线称为Bezier曲线这种方法的特点是所输入型值点与生成曲线之间的关系明确，能比较方便地通过修改输入参数来改变曲线的形状和阶次青岛农业大学6.2.1 6.2.1 BézierBézier曲线的定义曲线的定义由一组多边折线的顶点定义,在多边折线的各顶点中，只有第一点。