高中数学解题方法技巧汇总-3.pdf

目录第一章高中数学解题基本方法一、配方法二、换元法三、待定系数法四、定义法五、数学归纳法六、参数法七、反证法八、消去法九、分析与综合法十、特殊与一般法十一、类比与归纳法十二、观察与实验法第二章高中数学常用的数学思想一、数形结合思想二、分类讨论思想三、函数与方程思想四、转化（化归）思想第三章高考热点问题和解题策略一、应用问题二、探索性问题三、选择题解答策略四、填空题解答策略2第一章高中数学解题基本方法一、配方法配 方 法 是 对 数 学 式 子 进 行 一 种 定 向 变 形(配 成“完 全 平 方”)的 技 巧，通过配方找 到 已 知 和 未 知 的 联 系，从 而 化 繁 为 简何 时 配 方，需 要 我 们 适 当 预 测，并且合理 运 用“裂 项”与“添 项”、“配”与“凑”的 技 巧，从 而 完 成 配 方有 时 也 将 其 称 为“凑配法工最 常 见 的 配 方 是 进 行 恒 等 变 形，使 数 学 式 子 出 现 完 全 平 方它 主 要 适 用 于：已知 或 者 未 知 中 含 有 二 次 方 程、二 次 不 等 式、二 次 函 数、二 次 代 数 式 的 讨 论 与 求 解,或 者 缺 孙 项 的 二 次 曲 线 的 平 移 变 换 等 问 题。

配 方 法 使 用 的 最 基 本 的 配 方 依 据 是 二 项 完 全 平 方 公 式(a+b)2 =a 2 +2油+b 2 ,将 这 个 公 式 灵 活 运 用，可 得 到 各 种 基 本 配 方 形 式，如：a+b2 =(a+b)2 -2ab=(a-b)2+2ab；b/oa2+tzb+b2=(a+b)2-ab=(a-b)2+3ab=(a+)2+(b)2；a2+b2+c2+6ib+bc+c6!=y(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+be+ca)=(z+b-c)2-2(ab-be-ca)结 合 其 它 数 学 知 识 和 性 质，相 应 有 另 外 的 一 些 配 方 形 式，如：1 +sin2a=1 +2sinacosa=(sina+cosa)2；X 3 4-2 =(x+)2-2=(x-)2+2；.等 等X X XI、再 现 性 题 组：1.在 正 项 等 比 数 列 a“中，5+2a3+7=25,贝！a3+a5=2.方 程X 2+)，2-4日-2)，+5攵=0表示圆的充要条件是_ _ _ _A 4 1 CMWR D M=/或攵=13.已知 sin 4 a+cos 4 a=1,则 sina+cosa 的值为A.1 B.-1 C.1 或-1 D.04.函 数y=log!(-2x 2+5x+3)的单调递增区间是_ _ _ _A.(，B.九+8)C.(-i J D.岛3)35.已知方程x2+(a-2)x+a-1 =0的两根x、/，贝 U 点 P(x i，壬)在圆x2 2=4 ,则实数a=【简解】1小题：利用等比数列性质a m_p a In+p=a2 ,将等式左边后配方(a 3+a$”易求。

答案是：52 小题:配方成圆的标准方程形式(x-炉+(y-旷=产，解产 ()即可，选及3 小题：已知等式经配方成(sin 2 a+cos%)-2sin2acos2a=1 ,求出 sinacosa,然后求出所求式的平方值，再开方求解选 Co4 小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解5 小题：答案3-VTTOI I.示范性题组：例 1.已知长方体的全面积为11,其 12条棱的长度之和为2 4,则这个长方体的一条对角线长为A.243 B,V14 C.5 D.6【分 析】先 转 换 为 数 学 表 达 式：设 长 方 体 长 宽 高 分 别 为 x,y,z,则“2)=24 1 1，而欲求对角线长 +,将其配凑成两已知式的组合形式可得解】设长方体长宽高分别为X,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其 12条棱 “2(XV+V Z 4-XZ)=11的长度之和为24”而得：/)、；4(x+y+z)=24长方体所求对角线长为：战+z?=(x+y+z _2(孙+yz+x z)=A/62-11=5所以选B注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。

这也是我们使用配方法的一种解题模式4例2.设方程1 +依+2=0的两实根为p、q,若（）2+（幺）2s7成 立，求实数人q p的取值范围解】方 程A2+kx+2=0的两实根为p、q,由韦达定理得：p+q=-A,pq=2,（2 ）2+（幺）2 =/+/=（夕2+q 2）2 2洒2=（+/2-2 肝-2闷2=q p（pq（pqY （pq（k ：）s 7,解 得 心-或后o4又 ,p、q为方程x 2 +依+2=0的两实根4=1 -8N0即 行2后 或 依-2夜综合起来，k的取值范围是：-V10女S-2A/2 或 者2叵 k V10 o【注】关于实系数一元二次方程问题，总 是 先 考 虑 根 的 判 别 式；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理本题由韦达定理得到p+q、pq后，观察已知不 等 式，从其结构特征联想到先通分后配方，表 示 成p+q与pq的组合式假如本题不对“”讨 论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“”的 讨 论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视例3.设非零复数a b满 足2+qb +b J O,求（T）频+（-）须a+b a+b【分析】对已知式可以联想：变形为4）2+4）+1=0,则?=3（3 为1b b b的立方虚根）；或配方为（+切2=油。

则代入所求式即得解】由a2+ab +b 2=0变 形 得：（%2+（为+=0,b b设 3=?,则3?+8+1 =0，可 知 3为1的立方虚根，所 以：-=-,（03=3b co a=l o又由+ab +b 2=0 变 形 得：（a+b）2 =ab ,所 以（:严8+（严8=（1严+（与 严=（严+（2）999=8须+a+b a+b ab ab b a石 购=2 o【注】本题通过配方，简化了所求的表达式；巧 用1的立方虚根，活 用 3的性 质，计算表达式中的高次幕一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开5【另解】由/+a b +b2=0变形得：(*)2+4)+1=0，解出2 =二!业 后,b b a 2化成三角形式，代入所求表达式的变形式(2 严+(2)期 后，完成后面的运算此b a方法用于只是未二产联想至U 3 时进行解题假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还 可 由/+如+y=0 解出：a=二叵b,直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算m,巩固性题组：1.函数y=(x-a)2+(x-b)2(a、b 为 常 数)的 最 小 值 为。

A.8 B.S 3 c.-+D.最小值不存在2 22.a、P 是方程-2 以+6=0 的两实根，贝(Ka-佚1)2的最小值是A.-普 B.8 C.18 D.不存在3.已 知-yR+,且满足x+3 y-1=0,则函数t=2,+8、有A.最大值2&B最大值也 C.最小值2&B.最小值也2 24.椭圆/-2or+3y2+a2-6=0 的一个焦点在直线x+y+4=0上，则“=_,A.2 B.-6 C.-2 或-6 D.2 或 65.化 简：2 石 前+J2+2COS8的结果是_ _ _ oA.2sin4 B.2sin4-4cos4 C.-2sin4 D.4cos4-2sin46.设巳和F,为双曲线且-y2=l 的两个焦点点P在双曲线上且满足NFPF,4=90,贝！k F|PF?的面积是_ _ _ _ _ _ _ _7.若x-1 ,则 f(x)=/+2%+的最小值为 oX+8.已知 2(Ba 2兀，cos(a-B)=,sin(a+B)=-,求 sin2a 的值2 4 13 59.设二次函数 f(x)=Ar2+Bx+C,给定 m、n(m0；6是否存在一个实数t，使 当te(m+t,n-t)时，f(x)l,tl,m R,x=logs t+log,s,y=log$4t+log,4s+m(logs 21 +log,2s),将y表示为x的函数y=f(x),并 求 出f(x)的定义域；若关于x的方程f(x)=0有且仅有一个实根，求m的取值范围。

二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到 简 化，这叫换元法换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量 代 换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理换元法又称辅助元素法、变量代换法通过引进新的变量，可以把分散的条件联 系 起 来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来或者变为熟悉的形 式，把复杂的计算和推证简化它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现例如解不等式：4,+2 J 2K),先变形为设2=t(t0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元如 求 函 数y=+g 的值域时，易发7 T现xW 0,l,设 =如 问题变成了熟悉的求三角函数值域。

为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要如变量X、y适合条件/+y?=r?(r0)时，则可作三角代换x=rcosO.y=rsinO化为三角问题均值换元，如遇到x+y=S形 式 时，设 犬=-+t,y=-t等等7我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也JI不能扩大如上几例中的to和 a eI、再现性题组：1 j =sinx-cosx+sinx+cosx 的最大值是_ _ _ _ _ _ _2.设 f*2+l)=loga(4-/)(1 ),则 f(x)的值域是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ O3.已知数列%中，/=-1 ,a-an=a+l-an,则数列通项a“=-4.设实数x、y 满足/+2xy-1 =0,则 x+y 的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _1 +3r5方 程 4r=3 的解是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _o1 +36.不等式 log2(2 v-l)-log2(2 v+1-2)(2 的解集是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ o【简解】t21 小题：设 sinx+cosx=tG -贝 U y=5+t-e ,对称轴 t=-1 ,当t=V2,ymax=-+V2；2 小题:设 Y+1 =t(乏 1),则 f(t)=loga-(t-1)2+41,所以值域为(-oo,log a 4l 或 kS-1 ；5 小 题：设 3*=y,则 3y2 +2y-1 =0,解得 y=1,所以x=-1 ；6 小题 设 log2。

l)=y 则 y(y+l)2 解 得-2yl 所以xHlog?：,log2 3)n、示范性题组：例 1.实数、丫满足4/-5 母+4/=5 (式)，设 S=/+y 2，求 白+，一的值)m in8【分析】由 S=x?+/联 想 到 cos2 a+sin 2 a=1,于是进行三角换元，设x=Vs cos a”代入式求S.和 S 口 血 的值y=vS sin a 解设解 得 S=X =Vs cos a 小卡曰I-.代入。