2.2 离散型随机变量及其分布.ppt

返回返回上页上页下页下页目录目录第二节第二节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布Ø离散型随机变量 随机变量的所有取值是有限个或可列个Ø非离散型随机变量 随机变量的取值有无穷多个，且不可列 8/20/20241返回返回上页上页下页下页目录目录定义：若随机变量X的所有可能取值为xi(i=1,2,…) 而X取值为xi对应的概率为pi ，即或称为离散型随机变量X的分布律或分布列或概率分布分布律具有以下重要性质：即不满足这两条性质，就不能称为随机变量的分布律8/20/20242返回返回上页上页下页下页目录目录例：设随机变量的分布律为：试求常数 .解： 由性质（2），有即所以8/20/20243返回返回上页上页下页下页目录目录几种常见的离散型分布几种常见的离散型分布一、两点分布一、两点分布定义：若随机变量X的分布律为X01P1-pp则称X服从参数为p(0

记为X～B( n, p)注：1.当n=1时，即X～B(1, p)， 2. 恰好是二项式 的展开式中出现 的那一项，这就是被称为二项分布的缘由亦即是两点分布8/20/20245返回返回上页上页下页下页目录目录例：例： 抛5枚均匀的硬币，如果假定各硬币抛的结果相互独立，试求所得正面个数的分布律解： 令X表示所得正面的个数， 则X～B(5, 1/2).于是 注：仔细观察，注意到当k增加时，P{X=k}会先增加，直至最大值，然后减小或 自证:当X～B(n, p) 时，若k为不大于(n+1) p的最大整数， P{X=k}取最大值8/20/20246返回返回上页上页下页下页目录目录例：例： 某人进行射击练习，假设他每次射击的命中率为0.02，现独立射击400次，试求命中目标的概率解： 设命中目标的次数为X ，则X～B(400,0.02).其分布律为于是，所求概率为 注：随着试验次数的增加，小概率事件发生的可能性也将增加即小概率事件不再小概率 若在400次的射击中，没有一次击中目标，根据实际推断原理，我们有理由怀疑原假设（即命中率为0.02） 8/20/20247返回返回上页上页下页下页目录目录 例例 ：：某保险公司有某保险公司有2500个同一年龄和同社会阶层的人参个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险。

在一年时间时每个人死亡的概率为加了人寿保险在一年时间时每个人死亡的概率为0.002，每，每个参加保险的人在个参加保险的人在1月月1日付日付12元保险费，而在死亡时家属可元保险费，而在死亡时家属可从公司领从公司领2000元问：（元问：（1））“保险公司亏本保险公司亏本”（记为（记为A）的）的概率是多少？（概率是多少？（2））“保险公司获利不少于保险公司获利不少于10000，，20000元元”（分别记（分别记B1和和B2）的概率是多少？）的概率是多少？解：解：问题：如何算出精确或近似值问题：如何算出精确或近似值8/20/20248返回返回上页上页下页下页目录目录, 则对固定的 k设Possion定理定理Poisson定理说明若X ~ B( n, p), 则当n 较大，p 较小, 而 适中, 则可以用近似公式问题: 如何计算上述结果？8/20/20249返回返回上页上页下页下页目录目录证: 记8/20/202410返回返回上页上页下页下页目录目录 在实际应用中，，当n较大,p较小，而np适中（一般不超过10）时，即可用泊松定理如前例:n=400,p=0.02二项分布的泊松近似泊松定理： 当n较大的时候，直接计算二项分布的概率值是比较麻烦的．下面介绍一种近似计算方法．近似效果是不错的。

8/20/202411返回返回上页上页下页下页目录目录解：解： 例例 ：：某保险公司有某保险公司有2500个同一年龄和同社会阶层的人参个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险在一年时间时每个人死亡的概率为加了人寿保险在一年时间时每个人死亡的概率为0.002，每，每个参加保险的人在个参加保险的人在1月月1日付日付12元保险费，而在死亡时家属可元保险费，而在死亡时家属可从公司领从公司领2000元问：（元问：（1））“保险公司亏本保险公司亏本”（记为（记为A）的）的概率是多少？（概率是多少？（2））“保险公司获利不少于保险公司获利不少于10000，，20000元元”（分别记（分别记B1和和B2）的概率是多少？）的概率是多少？8/20/202412返回返回上页上页下页下页目录目录三、泊松分布三、泊松分布定义：若随机变量X的分布律为则称X服从参数为λ 的泊松分布记为X～P(λ). 背景：泊松分布主要用于估计某事件在特定时间或空间中发泊松分布主要用于估计某事件在特定时间或空间中发生的次数，如生的次数，如:①①社会服务问题：交换台中的呼叫数、公共汽车的乘客数；社会服务问题：交换台中的呼叫数、公共汽车的乘客数；②②物理学：放射性分裂落在某区间的质点数；物理学：放射性分裂落在某区间的质点数；③③……8/20/202413返回返回上页上页下页下页目录目录例：例： 假设书的某一页上印刷错误的个数服从参数为0.5的泊松分布，求在这一页上至少有一处印刷错误的概率．解：设X表示一页书上印刷错误的个数，则X～P(0.5 ).因此8/20/202414返回返回上页上页下页下页目录目录四、几何分布四、几何分布定义：若随机变量X的分布律为则称X服从几何分布。

记为X～G(p ). 注：重复进行一个每次成功概率为p的独立试验，若前k-1次失败，第k次成功，其概率即为背景：放回抽样8/20/202415返回返回上页上页下页下页目录目录 设箱中有N个白球与M个黑球，每次随机取一个球，直到取出黑球为止．如果每取出一个球后立即放回，再取出一个球，试求下列概率：例：1.正好需要取n次； 2.至少需要取k次解：1.令X表示取到黑球所需的次数，则2.8/20/202416返回返回上页上页下页下页目录目录五、超几何分布五、超几何分布定义：若随机变量X的分布律为则称X服从超几何分布记为X～H(M，N，n ).背景：产品检验和药物试验等实际问题8/20/202417返回返回上页上页下页下页目录目录五、超几何分布五、超几何分布例例: 根据根据1998年统计资料显示，在饮料销售额排名中，年统计资料显示，在饮料销售额排名中，可口可乐和百事可乐位居第一，第二位，假设可口可乐和百事可乐位居第一，第二位，假设10人人中有中有6人偏爱可口可乐，人偏爱可口可乐，4人偏爱百事可乐，先从中人偏爱百事可乐，先从中选出选出3人组成一个随机样本，试问恰好有两人偏爱可人组成一个随机样本，试问恰好有两人偏爱可口可乐的概率是多少？口可乐的概率是多少？ 解解: 设X表示3人中偏爱可口可乐的人数，则X服从超几何分布H(3,6,10),所求的概率为: 8/20/202418返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结8/20/202419。