微分几何曲线论.pdf

赣南师范学院版权所有 All rights reserved 1 第一章 曲线论 §1 . 1 参数曲线 1 . 1 . 1 曲线的参数表示 设（a，b）是直线上的开区间，Г为 R3（欧氏空间）中的点集，若 f： （a，b）→Г是同胚映射（即，f是一一映射，并且 f和 f- 1都是连续映射） ，则称（a，b）在 f 下的象Г为 R3中参数曲线，简称曲线 设在开区间（a，b）上引入坐标 t（a0，它可以看作一个点绕 z 轴作半径为 a 的等速圆周运动与该点沿 z 轴方向作等速直线运动的合成和轨迹 由于欧氏空间中点可以用它的向径表示，因而曲线和参数议程也可以用向量函数表示，即 r =r (t)=(x(t), y(t), z(t)) （adtdu(5) 赣南师范学院版权所有 All rights reserved 3 由于 dudt dtd dudrr= (6) 所以曲线Г的点当取 t 时为正则点，在取参数 u 时也必为正则点，即参数曲线的正则性与容许参数变换无关 1 . 1 . 4 曲线的其他表示 用参数议程表示曲线是一种十分一般的方法，而且使用起来比较方便，特别是在对曲线进行运算和变换时更是如此。

有时候曲线也可以用坐标之间的函数关系来表示： )(),(xzzxyy==. (7) 但是，这只是参数方程的一种特殊情形，即可以把 x 取作曲线的参数，记成 ))(),(,()(xzxyxx =r (8) 曲线的这种表示必定是处处正则的 例 7 证明：若曲线))(),(),(()(tztytxtr=在点 t0有0)(0≠′ tx，则该曲线在 t0的一个邻域内可以表示成 )(),(xzzxyy== 证明：由于0)(0≠′ tx，由反函数存在定理，在 t0的某一邻域内，)(txx =有反函数)(xtt =，从而曲线在 t0的一个邻域内可以表示成 )(),(xzzxyy==. 曲线还能用坐标的隐式方程来表示，例如，一条曲线可以是两个联系方程  == 0),,(0),,( zyxgzyxf(9) 的解（x，y，z）的集合，其中 f（x，y，z）和 g（x，y，z）是两个已知函数，从直观上看，这两个方程分别代表两张曲面，而所考虑的曲线是这两张曲面的交线，当矩阵 ∂∂ ∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂ ∂∂zg yg xgzf yf xf的秩为 2，则由隐函数定理，从方程组(9)可以解出其中两个坐标作为第三个坐标的函数，这时，由方程组(9)表示的曲线就是正则曲线。

§1 . 2 曲线的弧长 1 . 2 . 1 弧长的定义 如果把曲线看作质点运动的轨迹，那么)()(trttr−∆+表示质点在时间t∆内的位移，而 赣南师范学院版权所有 All rights reserved 4 ttttlint t∆−∆+=′ →∆)()()( 0rrr 表示质点在时刻 t 的速度向量，因此，)(tr′表示质点的运动速率质点在时间间隔（t1，t2）内所经过的路程为∫′21)(ttdttr，自然我们可以用它作为曲线)(tr的长度，即质点走过的路程 正则曲线)(:trr =Γ从)(0tr起到)(1tr的弧长定义为 ∫′=10)(ttdttsr. (1) 弧长与空间的运动（平移、旋转、反射的复合）及笛卡儿坐标系的选取无关，因为在运动和坐标变换下，)(tr′是不变的也与曲线的容许参数变换无关，这是因为我们可设参数变换是 t=t(u) a≤t≤b, α≤u≤β (2) 且 t(α) = t0，t(β) = t1. 当0>dudt时，t=t(u)是增函数，当 t 从 a 变到 b 时，u 从β变到α，所以 ∫∫∫==′=βαβαdududdududt dtdu duddttsbarrr )( (3) 当0=aatashtachtr 从 t=0 起计算的弧长 解 因为),0(),,(>=aatashtachtr 于是 ),,()(aachtashtt =′ r所以 ∫∫=+=′=ttashtdtachtdttts00.22)()(r [注 1] 容易证明 ∑∫ =−→∆−=′niiitbattlindtti110max)()()(rrr 其中 a=t0′=tdttdsr 所以(5)式给出了曲线的保持定向的容许参数变换。

换句话说，我们总可以把正则曲线的弧长作为它的参数，这种参数称为弧长参数或自然参数弧长参数的意义在于它是曲线本身决定的（至多差一个常数） ，与曲线的坐标表示和参数选择都是无关的，由(5)式得 dttds)(r ′= (6) 由(3)式和(4)可知，ds 也是曲线的不变量，称为曲线的弧长无素 例 2 将圆柱螺线得),sin,cos()(bttatatr=化为自然参数表示 解：由于),cos,sin()(btatatr−=′，所以圆柱螺线从 t=0 开始计算的弧长是 tbadttSt220)(+=′=∫r 从而 22bast +=，圆柱螺线的自然参数表示是 ).,sin,cos()( 222222babsbasa basas +++=r 从理论上讲，每一条正则曲线都可以选择弧长作为它的参数，但实际上往往是困难的，其一，计算积分(5)有时很困难比如对椭圆)0 ,sin,cos()(tatatr= .cossin)(02222∫+=tdttbtatS 定积分很困难计算出来其二，即使 S(t)求出来了，也可能难以求出其反函数，例如对于抛物线的参数表示)0 ,2,()(2tttr=， ).11ln(12)(22tttts++++= 要从上式解出 t 是很困难的，以后将看到，我们无需求出)(tss =的反函数，只用到 s 对 t 的导数。

用弧长作为曲线的参数，将使计论和计算大为简化 下面的命题给出了参数 t 是弧长参数的特征，是十分有用的 赣南师范学院版权所有 All rights reserved 6 定理 1 设btatrr≤≤=),(是 E3中的一条正则曲线，则 t 是它的弧长参数的充分必要条件是. 1)(=′ tr 证明： “⇒”由于 . )(tdtdsr ′= t 是弧长参数，即 t=s，所以. 1=dtds. 1)(=′ tr “⇐”设. 1)(=′ tr则 0 0)(ttdttstt−=′=∫r s 是从 t0开始计算的弧长 上述命题的直观意义是：曲线以弧长为参数的充要条件是它的切向量场是单位切向量场为了强调已经把弧长作为曲线的参数，通常用“· ”表示对弧长参数的微商，例如22 ,dsrd dsdr==rr? ??等等 §1.3 曲线的曲率和 Frenet 标架 1.3.1 曲率 设曲线 C 的方程是 r=r(s)，其中 s 是曲线的弧长参数，由上节的定理 1 可知，r ?(s)是曲线 C 的 单位切向量场命 )()(srs?=α (1) 下面我们要研究如何刻划曲线的弯曲程度。

从直观上看，α(s)是曲线 C 在 s 处的方向向量，因此当一点沿曲线以单位速率行进时，方向向量转动的快慢反映了曲线的弯曲程度，而方向向量α(s)转动的快慢恰好是用)(sα ?来衡量的 图 7 定理 1 设α(s)是曲线 r=r(s)的单位切向量场,s 是弧长参数,用θ∆表示向量)()(sssαα与∆+之赣南师范学院版权所有 All rights reserved 7 间的夹角,则 )(lim 0sssαθ?=∆∆→∆(2) 证明 我们把曲线上的单位切向量α(s)平行移动到原点 O,则它的端点便描出一条单位球面上的曲线, θ∆就是)(ss∆+α与)(sα所张的角(见图 7),而)()(sssαα−∆+正好是它所对的弦长,所以 ssssssssss∆∆=∆∆=∆−∆+=→∆→∆→∆θθααα000lim2sin2 lim)()(lim)( ?定义 命)(skα ?=,我们称 k 为曲线 r＝r(s)在 s 处的曲率,称)(sα ?为该曲线的曲率向量 把曲线 C 的单位切向量)(sα ?平行移动到原点，其端点所描出的曲线称为曲线的切线象， 它的参数方程就是 )(srα= (3) 一般说来，s 不会是切线象的弧长参数，切线象的弧长元素是 kdsdsssd==)(~α ? (4) 所以 dssdk~ =(5) 即曲线的曲率 k 是曲线的切线象的弧长元素与曲线的弧长元素之比。

1.3.2 Frenet 标架 因为1)(=sα，由第一章§2 的定理 2 可知0)()(=⋅ssαα?，所以曲率向量)(sα ?是曲线的一个法向量场如 k≠0，则向量)(sα ?有完全确定的方向向量，将这个方向向量记作β(s)，称为曲线的主法向量这样，曲率向量)(sα ?可以表示为 )()(sksβα=? (6) 由曲线的单位切向量场α(s)和主法向量β(s)，唯一地确定了曲线的第二个法向量场 )()()(sssβαγ×= (7) 称为曲线的次法向量场这样，在正则曲线上曲率 k≠0 的点有一个完全确定的右手单位正交标架)}(),(),();({ssssrγβα，它的确定不受曲线的保持定向的参数变换的影响我们把它称为曲线在该点 Frenet 标架 如上所述，在 k＝0 的点，Frenet 标架是没有定义的如果 k＝0，则0)(≡sα ?，于是=)(sα常赣南师范学院版权所有 All rights reserved 8 向量，该曲线是一条直线通常我们在该直线的任意一点取定两个彼此正交的单位法向量γβ,，然后将它们平行移动， 把所得到的平行的右手正交标架场看成是沿直线的 Frenet 标架场。

但是若使 k(s0)＝0 的点 s0是孤立点，则情形就变得十分复杂了在 s0的两侧，由于曲线的曲率不等于零，故有确定的 Frenet 标架场如果在00±→ ss时，它们的极限是同一个标架，则可以把 Frenet 标架场的定义域扩充到这个孤立点 s0.但是在十分一般的情况，s0两侧的 Frenet 标架场00±→ ss时的极限是不一致的，因此不可能把 Frenet 标架场的定义域扩充到 s0（见习题 5） 因为沿着曲率不等于零的曲线可以内在地确定它的 Frenet 标架场， 所以原来在 E3中的一条曲线便变成了 E3上的正交标架空间中的一条曲线这种看法有基本的重要性，因为我们讨论 E3中曲线的存在性和唯一性都是把它看成正交标架空间中的曲线来进行的 在曲率 k≠0 的点， Frenet 标架{r(s);α(s),β(s),γ(s)}的三根轴分别称为曲线的切线、 主法线和次法线；三个坐标面分别称为曲线在该点的法平面(以α(s)为法向量)、从切平面(以β(s)为法向量)和密切平面(以γ(s)为法向量)，它们的方程分别为 法平面 (X- r(s)·α(s)=0, 从切平面 (X- r(s)·β(s)=0， 密切平面 (X- r(s)·γ(s)=0. 其中 X 是平面上动点的向径。

现在我们叙述曲线的曲率和 Frenet 标架的计算方法， 如果曲线 r=r(s)以弧长 s 为参数， 则曲线的曲率及 Frenet 标架可以根据定义直接算出，实际上， ).(,)()()(srk dssdrss? ??===αα 。