“数与代数、综合与实践“.ppt

数与代数数与代数”“”“综合与实践综合与实践””版块内容分析及教学建议版块内容分析及教学建议北京教育学院宣武分院北京教育学院宣武分院北京教育学院宣武分院北京教育学院宣武分院￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿郑卫红郑卫红郑卫红郑卫红1 1 第二学段第二学段 1.数的认识数的认识 2.数的运算数的运算 3.式与方程式与方程 4.正比例、反比例正比例、反比例 5.探索规律探索规律 第一学段第一学段 1.数的认识数的认识 2.数的运算数的运算 3.常见的量常见的量 4.探索规律探索规律￿￿￿￿￿￿数与代数与代数数 1．调整的内容．调整的内容（（1）第一学段增加了）第一学段增加了““知道用算盘可以表示多位数知道用算盘可以表示多位数”” 这一要求这一要求充分考虑了中国传统文化的因素，以及许多专家学者和一线教师充分考虑了中国传统文化的因素，以及许多专家学者和一线教师对珠算在小学数学教学中的作用问题所提出的建议对珠算在小学数学教学中的作用问题所提出的建议2）将第二学段中）将第二学段中““会口算百以内一位数乘、除两位数会口算百以内一位数乘、除两位数””调整到调整到了第一学段，并降低了要求，调整为了第一学段，并降低了要求，调整为““能口算能口算简单的简单的百以内的一百以内的一位数乘除两位数位数乘除两位数””。

3）第二学段中删去了）第二学段中删去了““会比较百分数的大小会比较百分数的大小””，只要求，只要求““能比能比较小数的大小和分数的大小较小数的大小和分数的大小””4）第二学段增加了）第二学段增加了““经历与他人交流各自算法的过程，并能表经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法达自己的想法新课标中关于新课标中关于““数与代数数与代数””的要求与以往有的要求与以往有何主要不同？何主要不同？ 2．进一步明确的内容．进一步明确的内容（（1）目标的表述更加准确和完整）目标的表述更加准确和完整 第一学段：第一学段：① ① 在对数的认识中，更加强调了在对数的认识中，更加强调了““在现实情境中在现实情境中理解数的意义理解数的意义””② ② 将将““认识认识符号符号<，，=，，>的含义的含义””，调整为，调整为““理解理解符号符号<，，=，，>的的含义含义””③ ③ 将将““能结合具体情境初步能结合具体情境初步理解理解分数的意义，能认、读、写小数分数的意义，能认、读、写小数和简单的分数和简单的分数””，调整为，调整为““能结合具体情境初步能结合具体情境初步认识认识小数和分数，小数和分数，能读、写小数和分数能读、写小数和分数” ” 。

④ ④ 将将““体会体会四则运算四则运算的意义的意义””，调整为，调整为““体会体会整数四则运算整数四则运算的意的意义义””⑤ ⑤ 将将““能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程””，调整为，调整为““能结合具体情境，能结合具体情境，选择适当的单位选择适当的单位进行简单估算，体会估算在进行简单估算，体会估算在生活中的作用生活中的作用””⑥ ⑥ 将将““能灵活运用能灵活运用不同的方法不同的方法解决生活中的简单问题，并能对结解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判断果的合理性进行判断””，调整为，调整为““能运用能运用数及数的运算数及数的运算解决生活解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释””第二学段：第二学段：① ① 将将““进一步体会数在日常生活中的作用，进一步体会数在日常生活中的作用，会运用数表示事物会运用数表示事物，，并能进行交流并能进行交流””，调整为，调整为““会用数描述事物的某些特征会用数描述事物的某些特征，进，进一步体会数在日常生活中的作用一步体会数在日常生活中的作用””② ② 将将““知道整数、奇数、偶数、质数、合数知道整数、奇数、偶数、质数、合数””，调整为，调整为““了解了解自然数、自然数、整数、奇数、偶数、质（素）数和合数整数、奇数、偶数、质（素）数和合数””。

③ ③ 将将““进一步进一步认识小数和分数，认识百分数认识小数和分数，认识百分数；探索小数、分数；探索小数、分数和百分数之间的关系，并会进行转化（不包括将循环小数化和百分数之间的关系，并会进行转化（不包括将循环小数化为分数）为分数）””，调整为，调整为““结合具体情境，理解小数和分数的意结合具体情境，理解小数和分数的意义义，，理解百分数的意义理解百分数的意义；会进行小数、分数和百分数的转化；会进行小数、分数和百分数的转化（不包括将循环小数化为分数）（不包括将循环小数化为分数）””④ ④ 将将““会用负数表示一些日常生活中的问题会用负数表示一些日常生活中的问题””，调整为，调整为““会用会用负数表示日常生活中的一些负数表示日常生活中的一些量量””⑤ ⑤ 将将““会用方程表示简单情境中的等量关系会用方程表示简单情境中的等量关系””，调整为，调整为““能能用方程表示简单情境中的等量关系，用方程表示简单情境中的等量关系，了解方程的作用了解方程的作用””⑥ ⑥ 将将““理解理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程等式的性质，会用等式的性质解简单的方程””，，调整为调整为““了解了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程等式的性质，能用等式的性质解简单的方程””。

⑦ ⑦ 将将““通过通过具体问题具体问题认识成正比例、反比例的量认识成正比例、反比例的量””，调整为，调整为““通过通过具体情境具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量，认识成正比例的量和成反比例的量””⑧ ⑧ 将将““探求给定探求给定事物事物中隐含的规律或变化趋势中隐含的规律或变化趋势””，调整为，调整为““探索给定探索给定情境情境中隐含的规律或变化趋势中隐含的规律或变化趋势””（（2）目标的要求更加明确）目标的要求更加明确对教学中已有的内容，而在对教学中已有的内容，而在《《课标课标》》中没有体现的加以明确中没有体现的加以明确第一学段第一学段①①明确了明确了““能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小个同分母分数的大小②②将将““能计算三位数的加减法，一位数乘三位数、两位数乘两位能计算三位数的加减法，一位数乘三位数、两位数乘两位数的乘法，三位数除以一位数的除法数的乘法，三位数除以一位数的除法””，明确为，明确为““能计算能计算两位两位数和数和三位数的加减法，一位数乘三位数的加减法，一位数乘两位数两位数和三位数、两位数乘两和三位数、两位数乘两位数的乘法，位数的乘法，两位数两位数和三位数除以一位数的除法和三位数除以一位数的除法””。

③③明确了明确了““认识小括号认识小括号，能进行简单的整数四则混合运算（两步），能进行简单的整数四则混合运算（两步）””第二学段第二学段①①明确了明确了““认识中括号认识中括号””②②明确了明确了““在具体情境中，在具体情境中，了解常见的数量关系了解常见的数量关系：总价：总价=单价单价×数量、路程数量、路程=速度速度×时间，并能解决简单的实际问题时间，并能解决简单的实际问题””③③明确了明确了““结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示表示””④④明确了明确了““在实际情境中理解在实际情境中理解比的含义比的含义””关键的变化之处关键的变化之处:加强对数的意义的理解加强对数的意义的理解 （数感、符号意识）（数感、符号意识）注重提高学生的运算能力注重提高学生的运算能力 第二学段第二学段 1.数的认识数的认识 2.数的运算数的运算 3.式与方程式与方程 4.正比例、反比例正比例、反比例 5.探索规律探索规律 第一学段第一学段 1.数的认识数的认识 2.数的运算数的运算 3.常见的量常见的量 4.探索规律探索规律核心思想核心思想十进位值制思想十进位值制思想代数思想代数思想函数思想函数思想模型模型思想思想￿ ￿研讨的主要问题研讨的主要问题如何在如何在““数的认识数的认识””教学中帮助学生建立教学中帮助学生建立““数数””的概念？的概念？如何在如何在““数的运算数的运算””教学中处理好算理与算法教学中处理好算理与算法的关系？的关系？如何在如何在““式与方程式与方程””教学中帮助学生经历从算教学中帮助学生经历从算术思维向代数思维过渡？术思维向代数思维过渡？如何在如何在““正、反比例正、反比例””教学中体现函数思想？教学中体现函数思想？1111问题一：问题一：如何在如何在“数的认识数的认识”教学教学 中帮助学生建立中帮助学生建立“数数”的概念？的概念？1212一般从两个角度理解数的意义一般从两个角度理解数的意义““数数””的本质结构的本质结构 即即““计数单位与其个数乘积的累加计数单位与其个数乘积的累加”” 2034=2×1000+0×100+3×10+4×1联系生活实际来体会联系生活实际来体会 建立数概念是数的认识教学重点建立数概念是数的认识教学重点在数概念建立的过程中要注意的问题：在数概念建立的过程中要注意的问题：1. 注重借助注重借助具体情境理解数的意义具体情境理解数的意义22里面有里面有2个一个一2个一组成个一组成22. 注重借助动手操作注重借助动手操作理解数的意义理解数的意义心理学家皮亚杰：智慧从动作开始。

心理学家皮亚杰：智慧从动作开始数是数数是数shǔ出来的出来的243.注重借助多种模型注重借助多种模型理解数的意义理解数的意义125125是由是由1个百、个百、2个十和个十和5个一组成的个一组成的12151215是由是由1个千、个千、2个百、个百、1个十和个十和5个一组成的个一组成的分数的面积模型：分数的面积模型：用面积的用面积的““部分部分—整体整体””表示分数表示分数分数的集合模型：分数的集合模型：用集合的用集合的“子集子集—全集全集”来表示分数来表示分数 3.3.分数的分数的““数数线模型线模型””：数：数线上的点表示线上的点表示分数分数 分数墙分数墙（（1 1））重视重视10的概念的建立的概念的建立（（2 2））重视计数单位重视计数单位的累加的累加（（3）重视数位、位值制的理解）重视数位、位值制的理解（（4 4））重视数位顺序表的使用重视数位顺序表的使用4. 注重把握核心概念理解数的意义注重把握核心概念理解数的意义（（1））重视重视10的概念的建立的概念的建立经历经历““10”的形成过程，感受的形成过程，感受10个一是个一是1个十在数的组成中，感受在数的组成中，感受““10”的作用。

的作用 借助手中的学具摆出借助手中的学具摆出11，并想办法让别人一眼就看清是，并想办法让别人一眼就看清是11 1个十个十1个一个一101比眼力的小游戏，要求：只给比眼力的小游戏，要求：只给2秒钟的观察秒钟的观察时间，然后快速说出小方块的个数时间，然后快速说出小方块的个数1个十个十（（2））重视计数单位重视计数单位的累加的累加数位数位是指各个不同的计数单是指各个不同的计数单位所占的位置在记数时，位所占的位置在记数时，按照一定的顺序把各个数字按照一定的顺序把各个数字排列在固定的位置上，一个排列在固定的位置上，一个数字占有一个位置，以区别数字占有一个位置，以区别它们的单位，这些位置都称它们的单位，这些位置都称为数位没有数位的规定就为数位没有数位的规定就没有办法表示更大的数没有办法表示更大的数 （（3）重视数位、位值制的理解）重视数位、位值制的理解99位值制亦称位置制：位值制亦称位置制：指确定数字值的一种原则数指确定数字值的一种原则数字有二值，一是位置值，二是数字值数字值是数字有二值，一是位置值，二是数字值数字值是数学本身所表示的值例如数字学本身所表示的值例如数字6，就是表示，就是表示6个单位。

个单位位值制是数字本身与其位置结合起来所表示的值位值制是数字本身与其位置结合起来所表示的值例如：例如：626这个数中，两个这个数中，两个6都表示都表示6个单位，左边个单位，左边的的6表示表示6个百，右边的个百，右边的6表示表示6个一这种对于一个一这种对于一个数字，由其本身和位置结合起来确定数值的原则个数字，由其本身和位置结合起来确定数值的原则称为位值制也称位值原则在位值制记数法中，称为位值制也称位值原则在位值制记数法中，由于所取进率的不同而有所不同，其中十进位制记由于所取进率的不同而有所不同，其中十进位制记数法是最常用的一种有了位值制，就可以用有限数法是最常用的一种有了位值制，就可以用有限的数字表示出无限的自然数，这是计数历史上的一的数字表示出无限的自然数，这是计数历史上的一个创造，一个奇迹因此马克思在他的个创造，一个奇迹因此马克思在他的《《数学手稿数学手稿》》一书中称十进位值制记数法为一书中称十进位值制记数法为““最妙的发明之一最妙的发明之一””整数部分整数部分小小数数点点小数部分小数部分数数位位┄ ┄千千位位百百位位十十位位个个位位.十分十分位位百分百分位位千分千分位位万分万分位位┄ ┄计计数数单单位位┄ ┄千千百百十十一一（个）（个）十分十分之一之一百分百分之一之一千分千分之一之一万分万分之一之一┄ ┄ 7 20.58（（4））重视数位顺序表的使用重视数位顺序表的使用分数认识的五个阶段：分数认识的五个阶段：平均分，初步认识，意义、性质，平均分，初步认识，意义、性质，与除法的关系，运算、解决问题。

与除法的关系，运算、解决问题5. 注重在循序渐进中理解数的意义注重在循序渐进中理解数的意义两个基本线索：两个基本线索： 即即““比的线索比的线索””和和““数的线索数的线索””““比比””指的是一部分与另一部分之间的关系；指的是一部分与另一部分之间的关系；““数数””指的是以有理数形式出现的分数，此指的是以有理数形式出现的分数，此时的分数表现的是一个结果时的分数表现的是一个结果四个基本维度：四个基本维度：““比率比率””是指部分与整体的关系和部分与部分的关系是指部分与整体的关系和部分与部分的关系““度量度量””指的是可以将分数理解为分数单位的累积（突指的是可以将分数理解为分数单位的累积（突 出分数单位的作用）出分数单位的作用） ““运作运作””指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程 ““商商””是指分数转化为除法之后运算的结果它使学生是指分数转化为除法之后运算的结果它使学生 对于分数的认识由对于分数的认识由““过程过程””凝聚到凝聚到““对象对象””，即分数，即分数也是也是 一个数，也可以和其他数一样进行运算。

一个数，也可以和其他数一样进行运算  1. 要注重培养学生的数感要注重培养学生的数感 2. 要整体把握内容之间的联系要整体把握内容之间的联系 3. 要鼓励学生进行数学交流关注数的应用要鼓励学生进行数学交流关注数的应用对如何建立数概念的教学建议：对如何建立数概念的教学建议：问题二：问题二：如何在如何在““数的运算数的运算””教学中处理好算理与算法教学中处理好算理与算法的关系？的关系？3535《《课标课标》》对对““数的运算数的运算””有什么新要求？有什么新要求？ 注重发展学生的运算能力注重发展学生的运算能力3636运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力培养运算能力有助于学生理解运算的算运算的能力培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题理，寻求合理简洁的运算途径解决问题￿ ￿应当淡化对运算的熟练程度的要求，选择正确的计算应当淡化对运算的熟练程度的要求，选择正确的计算方法，准确地得到运算结果，比运算的熟练程度更重方法，准确地得到运算结果，比运算的熟练程度更重要应当重视学生是否理解了运算的道理，是否能准要。

应当重视学生是否理解了运算的道理，是否能准确地得出运算的结果，而不是单纯地看运算的速度确地得出运算的结果，而不是单纯地看运算的速度在数的运算教学中，不能仅仅关注于学生运算技能的在数的运算教学中，不能仅仅关注于学生运算技能的掌握，更要注重学生理解算理、掌握算法的学习过程，掌握，更要注重学生理解算理、掌握算法的学习过程，也就是在教学中要注重将算理与算法有机的结合在一也就是在教学中要注重将算理与算法有机的结合在一起，从而发展学生的运算能力起，从而发展学生的运算能力  策略一：借助动手操作或直观情境，处理好策略一：借助动手操作或直观情境，处理好 运算教学中算理与算法的关系运算教学中算理与算法的关系 如何处理运算教学中算理与算法的关系？如何处理运算教学中算理与算法的关系？3838《《20以内的进位加法以内的进位加法》》 北京小学北京小学￿￿￿￿￿￿魏来红魏来红策略二：借助直观模型，处理好运算教学中策略二：借助直观模型，处理好运算教学中 算理与算法的关系算理与算法的关系3939《《两位数乘两位数两位数乘两位数》》 皇城根小学皇城根小学￿￿￿￿￿￿史冬梅史冬梅方法一：方法一：12 ×7 +12 ×7 12 ×7 +12 ×7 方法二：方法二：12 ×6+12 ×812 ×6+12 ×8方法三：方法三：12 ×4+12 ×1012 ×4+12 ×10方法四：方法四：14 ×7+14×514 ×7+14×5方法六：方法六：12 ×10+12×412 ×10+12×4方法五：方法五：6 ×7×46 ×7×4先分先分 后合后合4040策略三：借助学生已有的认知基础和生活策略三：借助学生已有的认知基础和生活经验，处理好运算教学中算理与经验，处理好运算教学中算理与算法的关系。

算法的关系4141《《小数加减法小数加减法》》北京小学北京小学￿￿￿￿￿￿于萍于萍0.8+3.74=0.8+3.74= 0 0 . .8 8+ 3 + 3 . .7 47 4 4 4 . .5 45 44.544.54生：生：整数的末位是个位，末整数的末位是个位，末位对齐也就是个位对齐了位对齐也就是个位对齐了而小数的末位不一定是相同而小数的末位不一定是相同的，所以不能末位对齐的，所以不能末位对齐把小数点对齐，也就是把小数点对齐，也就是相同数位对齐相同数位对齐如果不把小数点对齐，而如果不把小数点对齐，而把末位对齐的话，十分位把末位对齐的话，十分位的的8就和百分位的就和百分位的4对齐了，对齐了，相加之后肯定就不对了相加之后肯定就不对了元元角角 分分小数点对齐小数点对齐相同数位相同数位对齐对齐计数单位计数单位4242对对““数的运算数的运算””教学的建议：教学的建议：1 1. . 处理好算理直观与算法抽象的关系处理好算理直观与算法抽象的关系2 2. . 处理好算法多样与算法优化的关系处理好算法多样与算法优化的关系3 3. . 处理好技能训练与思维训练的关系处理好技能训练与思维训练的关系。

4 4. . 注重计算与日常生活及解决问题的联系注重计算与日常生活及解决问题的联系4343问题四：如何在方程教学中帮助问题四：如何在方程教学中帮助学生经历从算术思维向代数思维学生经历从算术思维向代数思维过渡（渗透代数思想）？过渡（渗透代数思想）？4444数学思想方法是人们对数学知识和本质规律的认识，数学思想方法是人们对数学知识和本质规律的认识，是分析、处理与解决数学问题的根本途径代数思是分析、处理与解决数学问题的根本途径代数思想是数学思想方法的重要内容之一，也是培养学生想是数学思想方法的重要内容之一，也是培养学生抽象思维能力重要素材抽象思维能力重要素材代数思想是运用字母来代替具体数值进行思考的思代数思想是运用字母来代替具体数值进行思考的思维形式它是一种特殊的抽象思维形式它是一种特殊的抽象思维形式算术是算术是““数数””的运算，代数是的运算，代数是““式式””的运算，这是的运算，这是算术与代数的一个根本的差别算术与代数的一个根本的差别算术是代数的基础，方程则是代数的主题算术是代数的基础，方程则是代数的主题算术思维方法：是从具体问题的已知数出发，通过对算术思维方法：是从具体问题的已知数出发，通过对已知数或计算产生的中间数进行一系列的计算而达到已知数或计算产生的中间数进行一系列的计算而达到问题的解。

思考的过程往往是从已知数出发，最后达问题的解思考的过程往往是从已知数出发，最后达到未知数它建立在数的运算之上到未知数它建立在数的运算之上方程思想方法：是从设立未知数出发，根据未知数所方程思想方法：是从设立未知数出发，根据未知数所应满足的条件，把问题表示为含有未知数的等式关系应满足的条件，把问题表示为含有未知数的等式关系（建立数学模型）利用等式的性质对方程进行同解（建立数学模型）利用等式的性质对方程进行同解变形，在变化的过程中始终保持方程两端对称的等量变形，在变化的过程中始终保持方程两端对称的等量关系从表示等量关系、保持等量关系，到求得方程关系从表示等量关系、保持等量关系，到求得方程的解，体现了方程的结构特点的解，体现了方程的结构特点维果茨基：代数对算术就像书面语言对口头语言维果茨基：代数对算术就像书面语言对口头语言如何在方程教学中帮助学生经历从算术思维向如何在方程教学中帮助学生经历从算术思维向代数思维过渡（渗透代数思想）？代数思维过渡（渗透代数思想）？建议一：打好算术的基础，为学生从算术建议一：打好算术的基础，为学生从算术￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿思维向代数思维过渡做好思维向代数思维过渡做好积淀。

积淀建议二：用字母代表数是从算术思维迈向建议二：用字母代表数是从算术思维迈向￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿代数思维的起步，要提前做好代数思维的起步，要提前做好孕伏用括号表示未知数用括号表示未知数5050用符号表示未知数用符号表示未知数用实物图片表示未知数用实物图片表示未知数用字母表示运算定律用字母表示运算定律a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)a-b-c=a-(b+c)唱儿歌：唱儿歌：““数青蛙数青蛙””《《用字母表示数用字母表示数》》 赵震赵震（（ ）只青蛙（）只青蛙（ ）张嘴）张嘴,（（ ）只眼睛（）只眼睛（ ）条腿生生1：无数只青蛙无数张嘴，无数只眼睛无数条腿无数只青蛙无数张嘴，无数只眼睛无数条腿生生2：：a只青蛙只青蛙b张嘴，张嘴，c只眼睛只眼睛d条腿生生3：：a只青蛙只青蛙a张嘴，张嘴，b只眼睛只眼睛c条腿生生4：：a只青蛙只青蛙a张嘴，张嘴，aa只眼睛只眼睛aaaa条腿生生5：：a只青蛙只青蛙a张嘴，张嘴，2a只眼睛只眼睛4a条腿5555生生6：：a只青蛙只青蛙a张嘴，张嘴，a只眼睛只眼睛a条腿。

条腿建议三：抓住方程思想的本质、核心，建议三：抓住方程思想的本质、核心，￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿体现它的价值和意义体现它的价值和意义什么是方程？什么是方程？教材：含有未知数的等式叫方程教材：含有未知数的等式叫方程西南大学陈重穆教授：这样的定义要淡化，不要记，西南大学陈重穆教授：这样的定义要淡化，不要记，无须背，更不要考，关键要理解方程思想的本质，它无须背，更不要考，关键要理解方程思想的本质，它的价值和意义的价值和意义函数也是含有未知数的等式，如：函数也是含有未知数的等式，如：s=vt，容易和方程，容易和方程混淆；用字母表示运算定律：混淆；用字母表示运算定律：a+b=b+a，是不是方程，是不是方程？？X=0是不是方程？不研究，它们不能帮助寻求未知的是不是方程？不研究，它们不能帮助寻求未知的信息 方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系方程是一种关系，其特征是等式关系方程是一种关系，其特征是““等式等式””关系，这种关系，这种等式关系，把未知数和已知数联系起来，使我们借助这一关等式关系，把未知数和已知数联系起来，使我们借助这一关系，找到了我们需要的未知数。

方程的核心是要求未知数，系，找到了我们需要的未知数方程的核心是要求未知数，把未知当成已知对待并参与运算，进而求出未知数把未把未知当成已知对待并参与运算，进而求出未知数把未知量先等同于已知量，和已有的已知量进行相关运算，形成知量先等同于已知量，和已有的已知量进行相关运算，形成等量关系；从而之后能帮助解答出未知量）等量关系；从而之后能帮助解答出未知量）而在教材的定义中却没有很好的体现而在教材的定义中却没有很好的体现学生学习方程的困难点：学生学习方程的困难点：1、不能很快理解已知数和未知数的平等关系不能很快理解已知数和未知数的平等关系 一本书共一本书共100页，小明每天看页，小明每天看20页，页，3天后还剩天后还剩 多少页？多少页？ 列方程：列方程：X=100-20×3 披着代数外衣的披着代数外衣的““算术解法算术解法”” 解决的办法一解决的办法一: : 利用直观，利用直观，使学生感受使学生感受““= =”” 表示相等关系。

表示相等关系 案例分析：案例分析：《《方程方程》》中关村一小中关村一小￿￿￿￿￿￿陈千举陈千举（（6））+3=9（只）（只）答：还剩下答：还剩下6只小鹿9-3=6（只）（只）解决的办法二解决的办法二: : 将模型与生活建立起联系将模型与生活建立起联系￿（（1）指名让学生为站在一起的老师和学生构造方程，师在其中有目的）指名让学生为站在一起的老师和学生构造方程，师在其中有目的￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿地追问相应的等量关系地追问相应的等量关系2）同学身高）同学身高x厘米，我们两个相差厘米，我们两个相差32厘米，陈老师身高厘米，陈老师身高180厘米￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿师：这次你都能列出哪些方程？师：这次你都能列出哪些方程？￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿（（x＋＋32=180 180－－x=32 ））解决的办法三：在算术法和方程法的比较解决的办法三：在算术法和方程法的比较 对比中强化认识对比中强化认识一本书共一本书共100页，小明每天看页，小明每天看20页，页，3天后还剩多天后还剩多少页？少页？ 方程：方程：X+20×3=100 部分（未知）部分（未知）+部分部分=整体整体 100-X=20×3 整体整体-部分（未知）部分（未知） =部分部分 算术：算术：100-20×3 整体整体-部分部分=部分（未知）部分（未知） 数量关系相同数量关系相同思维方法不同思维方法不同2 2、书写格式的错误，不能区分恒等变换和同解变换。

书写格式的错误，不能区分恒等变换和同解变换 恒等变换：恒等变换： 式的相等是恒等变换：式的相等是恒等变换：3X+2X+9+3=5X+123X+2X+9+3=5X+12 我我= =某某某某某某= =某某某的唯一孩子某某某的唯一孩子= =某校某班学号某校某班学号=┄ =┄ X+6=10=10-6=4 X+6=10=10-6=4，把，把““= =””看成一个指示去做运算的记号看成一个指示去做运算的记号 （算术思想，四则运算各部分间的关系）（算术思想，四则运算各部分间的关系） 同解变换：同解变换： 2X+6=30 2X+6=30 它们有相同的解它们有相同的解X X，彼此间是同解变换，彼此间是同解变换 2X=24 2X=24 X=12 X=12 我是我爸爸的儿子，爸爸是爷爷的儿子，我是我爸爸的儿子，爸爸是爷爷的儿子， 所以我是爷爷的孙子，但爸爸的儿子不能等于爷爷的孙子，所以我是爷爷的孙子，但爸爸的儿子不能等于爷爷的孙子， 爷爷还会有其他的孙子爷爷还会有其他的孙子。

解决的办法：发挥等式性质的作用解决的办法：发挥等式性质的作用 “等式性质等式性质””的教学价值的教学价值1、用四则运算各部分间的关系（算术思路），不利于、用四则运算各部分间的关系（算术思路），不利于 中小的衔接，不利于中学代数起步的教学中小的衔接，不利于中学代数起步的教学2、更好的体验、感受方程左右两边、更好的体验、感受方程左右两边““相等的关系相等的关系”” 从表示等量关系、保持等量关系，到求得方程的从表示等量关系、保持等量关系，到求得方程的 解，体现了方程的结构特点解，体现了方程的结构特点对对““方程方程””教学的建议：教学的建议：1 1. . 准确把握内容定位，正确理解其价值准确把握内容定位，正确理解其价值2. 2. 有效开发教学内容，为学生代数思维有效开发教学内容，为学生代数思维 的形成做好铺垫和孕伏的形成做好铺垫和孕伏6666问题五：如何在正、反比例教学问题五：如何在正、反比例教学 中渗透函数思想？中渗透函数思想？6767一、对函数思想的认识一、对函数思想的认识《《数学课程标准（数学课程标准（2011年版）年版）》》世界是运动变化世界是运动变化的，函数是研究运动变化的重要数学模型，与实的，函数是研究运动变化的重要数学模型，与实际的联系十分紧密，它来源于实际又服务于实际，际的联系十分紧密，它来源于实际又服务于实际，从实际中抽象出函数的有关概念，又运用函数解从实际中抽象出函数的有关概念，又运用函数解决实际问题，这是学习函数的主要目标。

在建立决实际问题，这是学习函数的主要目标在建立和运用函数模型的过程中，和运用函数模型的过程中，变化和对应的思想变化和对应的思想是是重要的基础，重要的基础，函数就是从数量的角度反映变化规函数就是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型律和对应关系的数学模型 函数思想重要体现在函数思想重要体现在:认识到这个世界是普遍联系的，各个量之间总是有互相依存的关认识到这个世界是普遍联系的，各个量之间总是有互相依存的关系，即系，即““普遍联系普遍联系””的观点；的观点；于于““变化变化””中寻求中寻求““规律规律(关系式关系式)”，即，即““模式化模式化””思想；思想；于于““规律规律””中追求中追求““变化变化”“”“对应对应””等思想；等思想；根据根据““规律规律””判断发展趋势，预测未来，并把握未来，即判断发展趋势，预测未来，并把握未来，即““预测预测””的思想于的思想于““变化变化””中把握中把握““规律规律””，并根据规律做出预测，，并根据规律做出预测，不仅仅是重要的数学思想，更是人类生存的基本原则不仅仅是重要的数学思想，更是人类生存的基本原则函数的核心就是函数的核心就是““把握并刻画变化中的不变，其中变化的是把握并刻画变化中的不变，其中变化的是‘‘过过程程’’，不变的是，不变的是‘‘规律规律’’(关系关系)”。

学生愿意去发现规律，并能将学生愿意去发现规律，并能将规律表述出来的意识和能力，就是函数思想在教学中的渗透规律表述出来的意识和能力，就是函数思想在教学中的渗透 在小学数学中并没有正式学习函数，它是中学的重要在小学数学中并没有正式学习函数，它是中学的重要内容之一但是在小学数学的学习中却处处体现和渗内容之一但是在小学数学的学习中却处处体现和渗透着函数思想如：低年级的具体实物与抽象数的一透着函数思想如：低年级的具体实物与抽象数的一一对应，和、差的变化规律，百数表的变化规律，乘一对应，和、差的变化规律，百数表的变化规律，乘法口诀，找规律等等；中年级的速度、时间和路程，法口诀，找规律等等；中年级的速度、时间和路程，单价、数量和总价，工总、工效和工时，折线统计图单价、数量和总价，工总、工效和工时，折线统计图中数据与点的一一对应，长、正方形的周长与面积，中数据与点的一一对应，长、正方形的周长与面积，积的变化规律、商不变的性质等等；高年级的平面图积的变化规律、商不变的性质等等；高年级的平面图形的面积，立体图形的体积，比的基本性质，用数对形的面积，立体图形的体积，比的基本性质，用数对确定位置，正、反比例的意义等等内容中都渗透着函确定位置，正、反比例的意义等等内容中都渗透着函数思想。

教师在教学中要善于做用心之人，在点滴之数思想教师在教学中要善于做用心之人，在点滴之中渗透函数思想，做到润物细无声中渗透函数思想，做到润物细无声在六年级的教学内容中正比例和反比例一直是一在六年级的教学内容中正比例和反比例一直是一个重要的内容，这部分内容同样肩负了一次认识个重要的内容，这部分内容同样肩负了一次认识上飞跃的重要任务学生将从大量对上飞跃的重要任务学生将从大量对““常量常量””的的认识经验中逐步过渡到认识认识经验中逐步过渡到认识““变量变量””，这是函数，这是函数思想渗透的重要契机思想渗透的重要契机二、在二、在““正、反比例正、反比例””的教学的教学中中 渗透函数思想渗透函数思想 1、表格法（具体）、表格法（具体）利用函数的多重表示方式渗透函数思想利用函数的多重表示方式渗透函数思想2、解析式法（抽象、简洁）、解析式法（抽象、简洁）小学数学教学中的许多计算公式，都是函数小学数学教学中的许多计算公式，都是函数解析式解析式 s=ab b v= v=shsh ┄┄ ┄┄ 路程路程= =速度速度××时间时间 单价单价= =总价总价÷÷数量数量 ┄┄ ┄┄ y/xy/x=k=k（一定）（一定） x x××y y=k(=k(一定）一定）3、图像法（形象、直观）、图像法（形象、直观）《《课标课标》》：通过具体情境，认识成正：通过具体情境，认识成正￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿比例的量和成反比例的量和成反比例的量。

比例的量北京实验一小北京实验一小￿￿￿￿￿￿￿￿郭雯砚郭雯砚 《《正比例和反比例正比例和反比例》》对对““正、反比例正、反比例””教学的建议：教学的建议：1.1.让抽象的直观起来让抽象的直观起来2.2.让静止的动态起来让静止的动态起来3.3.让零散的连续起来让零散的连续起来7676““综合与实践综合与实践””研讨的主要话题：研讨的主要话题：““综合与综合与实践实践””的的目的和内涵目的和内涵““综合与实践综合与实践””的要求的要求““综合与综合与实践实践””各学段的具体目标各学段的具体目标““综合与实践综合与实践””的教育价值的教育价值““综合与实践综合与实践””教学建议教学建议￿￿￿￿￿￿综合与实综合与实践践一、把三个学段的名称作了统一，统称为一、把三个学段的名称作了统一，统称为““综合与综合与￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿实践实践””（（￿ ￿实践活动、综合应用、课题学习）实践活动、综合应用、课题学习）￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿进一步明确了进一步明确了““综合与实践综合与实践””的目的和内的目的和内涵涵       ““综合与实践综合与实践””是一类以问题为载体，学生主是一类以问题为载体，学生主动参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验、动参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验、培养学生应用意识与创新意识的重要途径。

针对问题培养学生应用意识与创新意识的重要途径针对问题情境，学生综合所学的知识和生活经验，独立思考或情境，学生综合所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与生活实际之间、数学与其他学科之间的联系，加深与生活实际之间、数学与其他学科之间的联系，加深对所学数学内容的理解对所学数学内容的理解综合与实践活动要突出综合与实践活动要突出““综合综合”” 这种综合不仅表现为数学内部各这种综合不仅表现为数学内部各分支（如几何、代数、三角）之间的综合，分支（如几何、代数、三角）之间的综合，数学与其他学科的综合、数学与学生日常生数学与其他学科的综合、数学与学生日常生活实际的综合；还表现为解决问题的过程要活实际的综合；还表现为解决问题的过程要求学生的各种能力、各种方法、各种工具的求学生的各种能力、各种方法、各种工具的综合综合与实践活动要突出综合与实践活动要突出““过程过程”” ““综合与实践综合与实践””的实施是以问题为载体、以学生的实施是以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。

它有别于学习具体知识的自主参与为主的学习活动它有别于学习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授教师通探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授教师通过问题引领，让学生全程参与、实践过程，经历相对过问题引领，让学生全程参与、实践过程，经历相对完整的学习活动它的核心是学生在老师的引导和帮完整的学习活动它的核心是学生在老师的引导和帮助下有目标的、自主的实践活动助下有目标的、自主的实践活动二、二、《《课标课标》》提出了明确的要求提出了明确的要求 ““综合与实践综合与实践””应当保证每学期至少一次应当保证每学期至少一次它可以在课堂上完成，也可以在课外完成，它可以在课堂上完成，也可以在课外完成，还可以课内外相结合还可以课内外相结合三、各学段的具体目标三、各学段的具体目标 对三个学段的差异作了进一步的明确，一方对三个学段的差异作了进一步的明确，一方面突出了创新的核心是面突出了创新的核心是““发现和提出问题、分析和解发现和提出问题、分析和解决问题决问题””，另一方面突出了不同学段的特点另一方面突出了不同学段的特点 第一学段：第一学段：        内容安排应强调问题情境相对简单、生动有趣、内容安排应强调问题情境相对简单、生动有趣、学生容易参与，可以把操作活动作为主要形式。

教师学生容易参与，可以把操作活动作为主要形式教师在组织教学活动时要力求使学生明白解决问题的目标在组织教学活动时要力求使学生明白解决问题的目标和步骤，引导学生多动手、多思考、多提问题，争取和步骤，引导学生多动手、多思考、多提问题，争取更多的学生获得成功的体验，鼓励学生之间的合作交更多的学生获得成功的体验，鼓励学生之间的合作交流流1.通过实践活动，感受数学在日常生活中的作用，体通过实践活动，感受数学在日常生活中的作用，体验运用所学的知识和方法解决简单问题的过程，获验运用所学的知识和方法解决简单问题的过程，获得初步的数学活动经验得初步的数学活动经验2.在实践活动中，了解要解决的问题和解决问题的办在实践活动中，了解要解决的问题和解决问题的办法3.经历实践操作的过程，进一步理解所学的内容经历实践操作的过程，进一步理解所学的内容第一学段第一学段具体目标具体目标：：第二学段：第二学段：  学生将在教师的指导下，经历有目的、有设学生将在教师的指导下，经历有目的、有设计、有步骤的综合与实践活动，进一步获得数学活动计、有步骤的综合与实践活动，进一步获得数学活动的经验通过应用和反思，加深对所学知识的理解；的经验。

通过应用和反思，加深对所学知识的理解；通过探索，引发学习的兴趣和培养思考的习惯；通过通过探索，引发学习的兴趣和培养思考的习惯；通过交流，发展理解他人、团结互助的合作精神交流，发展理解他人、团结互助的合作精神        教师应通过问题设计、求解过程的引导，教师应通过问题设计、求解过程的引导，鼓励学生多动手、多思考；发现问题、提出问题；克鼓励学生多动手、多思考；发现问题、提出问题；克服困难、积极进取；主动与同伴合作、积极与他人交服困难、积极进取；主动与同伴合作、积极与他人交流第二学段第二学段具体目标具体目标：：1. 经历有目的、有设计、有步骤、有合作的实践活动经历有目的、有设计、有步骤、有合作的实践活动2 .结合实际情境，体验发现和提出问题、分析和解决问结合实际情境，体验发现和提出问题、分析和解决问 题的过程题的过程3 .在给定目标下，感受针对具体问题提出设计思路、制在给定目标下，感受针对具体问题提出设计思路、制 定简单的方案解决问题的过程定简单的方案解决问题的过程4. 通过应用和反思，进一步理解所用知识和方法，了解通过应用和反思，进一步理解所用知识和方法，了解 所学知识之间的联系，获得数学活动经验。

所学知识之间的联系，获得数学活动经验（（一）一）综合与实践有助于学生的发展综合与实践有助于学生的发展 ““综合与实践综合与实践””是指一类以问题为载体、以学生自是指一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动主参与为主的学习活动《《标准标准》》在教学建议部分指在教学建议部分指出：出：““综合与实践综合与实践””的教学，重在实践、重在综合的教学，重在实践、重在综合重在实践是指在活动中，注重学生自主参与、全过程重在实践是指在活动中，注重学生自主参与、全过程参与，重视学生积极动脑、动手、动口在学生自主、参与，重视学生积极动脑、动手、动口在学生自主、积极主动参与活动的过程中，可以发展学生的动手、积极主动参与活动的过程中，可以发展学生的动手、动口能力；培养学生学习数学的兴趣动口能力；培养学生学习数学的兴趣，培养学生的应，培养学生的应用意识、创新意识、模型思想用意识、创新意识、模型思想；增强学生学习数学的；增强学生学习数学的信心等四、四、““综合与实践综合与实践””的教育价值的教育价值（（二二）综合与实践有助于学生对数学全面理解综合与实践有助于学生对数学全面理解 ““综合与实践综合与实践” ” 通过问题让学生把学习的数学整通过问题让学生把学习的数学整合起来，在解决问题过程中体会数学，比较完整理解合起来，在解决问题过程中体会数学，比较完整理解数学。

了解数学的应用是全面了解数学另一个重要方数学了解数学的应用是全面了解数学另一个重要方面，数学不仅仅是自成逻辑体系学科，应用广泛、与面，数学不仅仅是自成逻辑体系学科，应用广泛、与其他学科密切联系是数学最主要的特点，其他学科密切联系是数学最主要的特点，““综合与实综合与实践践””可以帮助学生了解这些，不是字面上的理解，而可以帮助学生了解这些，不是字面上的理解，而是感悟、体验数学应用，不做就不能有真切体会，学是感悟、体验数学应用，不做就不能有真切体会，学生需要在这方面积累经验生需要在这方面积累经验（（三三）综合与实践有助于学生情感态度价值观的形成）综合与实践有助于学生情感态度价值观的形成积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心困难的意志，建立自信心体会数学的特点，了解数学的价值体会数学的特点，了解数学的价值养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯形成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度。

形成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度 《课标》在学生情感价值观的要求，通过综合与实《课标》在学生情感价值观的要求，通过综合与实践的过程都能得以很好的形成和培养践的过程都能得以很好的形成和培养（（四四）综合与实践有助于教师的发展综合与实践有助于教师的发展 《标准》在教学建议部分指出：要使学生能充《标准》在教学建议部分指出：要使学生能充分、自主地参与分、自主地参与““综合与实践综合与实践””活动，选择恰当的问活动，选择恰当的问题是关键这些问题既可来自教材，也可以由教师、题是关键这些问题既可来自教材，也可以由教师、学生开发提倡教师研制、开发、生成出更多适合本学生开发提倡教师研制、开发、生成出更多适合本地学生特点的、有利于实现地学生特点的、有利于实现““综合与实践综合与实践””课程目标课程目标的好问题对问题的选择有利于教师开阔视野，提升的好问题对问题的选择有利于教师开阔视野，提升自己的知识及素养自己的知识及素养 同时同时““综合与实践综合与实践””重在实践，注重学生自主参重在实践，注重学生自主参与、全过程参与，重视学生积极动脑、动手、动口。

与、全过程参与，重视学生积极动脑、动手、动口因此，因此，““综合与实践综合与实践””的实施有助于教师改变教学方的实施有助于教师改变教学方式，转变教育理念式，转变教育理念 有一块平行四边形的菜地，有一块平行四边形的菜地， 底底100米，高米，高30米 在菜地里挖了一个长方形水池，在菜地里挖了一个长方形水池， 长长20米，宽米，宽10米 将这块菜地平均分成两份，分别种西红柿将这块菜地平均分成两份，分别种西红柿 和黄瓜，种黄瓜的面积是多少平方米？和黄瓜，种黄瓜的面积是多少平方米？《《问题的解决问题的解决》》北京小学北京小学￿￿￿￿￿￿于萍于萍（（五五）综合与实践有助于课程的建设综合与实践有助于课程的建设 ““综合与实践综合与实践””是数学课程中的一个较新的领域，是数学课程中的一个较新的领域，这一领域的设置沟通了生活中的数学与课堂上数学的这一领域的设置沟通了生活中的数学与课堂上数学的联系，使得数与代数、几何与图形、统计与概率的内联系，使得数与代数、几何与图形、统计与概率的内容以综合的形式出现，丰富和完善了课程的结构。

通容以综合的形式出现，丰富和完善了课程的结构通过过““综合与实践综合与实践””，会帮助、探索创造一些新的教、，会帮助、探索创造一些新的教、学的模式学的模式《《冬夜读书示子聿冬夜读书示子聿》》 陆游陆游 　　 古人学问无遗力，少壮工夫老始成古人学问无遗力，少壮工夫老始成 　　 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿从书本上得到的知识终归是浅薄的，最终要想认识事物从书本上得到的知识终归是浅薄的，最终要想认识事物或事理的本质，还必须自己亲身的实践或事理的本质，还必须自己亲身的实践要躬行要躬行””有两层意有两层意思：一是学习过程中思：一是学习过程中““要躬行要躬行””，在学习过程中的动脑、动手、，在学习过程中的动脑、动手、动嘴就是学生的一种动嘴就是学生的一种““躬行躬行””￿ ￿二是获取知识后还要二是获取知识后还要““躬行躬行””这个这个““躬行躬行””就是社会实践（综合与实践），要通过社会实践就是社会实践（综合与实践），要通过社会实践去检验已学的知识，要通过社会实践把书本知识化为己有，去检验已学的知识，要通过社会实践把书本知识化为己有，为己所用，还要通过社会实践去巩固、深化已学的知识。

为己所用，还要通过社会实践去巩固、深化已学的知识五、五、““综合与综合与实践实践””教学建议教学建议““综合与实践综合与实践””的内容应立足于小学生的知识经验、的内容应立足于小学生的知识经验、生活经验、思维经验生活经验、思维经验问题的求解过程要有利于学生理解数学，有利于学问题的求解过程要有利于学生理解数学，有利于学生综合利用所学知识，有利于学生个性和不同特长生综合利用所学知识，有利于学生个性和不同特长的发挥，有利于培养学生的合作精神和创新意识的发挥，有利于培养学生的合作精神和创新意识注重调动学生的参与热情，挖掘学生自主学习和研注重调动学生的参与热情，挖掘学生自主学习和研究的潜能，帮助学生积累数学活动经验究的潜能，帮助学生积累数学活动经验多维教学目标的达成离不开教师对多维教学目标的达成离不开教师对《《数学数学课程标准课程标准》》全面清晰的认识和准确到位的全面清晰的认识和准确到位的把握，这就需要教师对课程中每部分内容把握，这就需要教师对课程中每部分内容有深入的分析，挖掘其背后的价值，为学有深入的分析，挖掘其背后的价值，为学生长远发展奠定重要的基础生长远发展奠定重要的基础9595老师们再见！老师们再见！。