专升本高等数学(二)-求距离专题证明专题综合提升_真题(含答案与解析)-交互.pdf

专升本高等数学 (二)- 求距离专题、证明专题、综合提升( 总分 117, 做题时间 90分钟) 一、选择题1. 极限为_ A1 B C-1 D不存在SSS_SIMPLE_SINA B C D 该题您未回答 : 该问题分值 : 4答案:D 解析 x 包含 x+和 x-两种情况，本题求极限需要分别讨论当 x+时，；当 x- 时，所以不存在，故选 D2. 设，则在点 x=a 处_?*(x) 的导数存在，且 f(a)0?*(x) 取得极大值?*(x) 取得极小值*(x) 的导数不存在SSS_SIMPLE_SINA B C D 该题您未回答 : 该问题分值 : 4答案:B 解析 由极限的保号性知，在x=a 的领域内，恒有，从而f(x)-f(a)0，即f(x) f(a) 故 f(x) 取得极大值3. 设函数，则 x=1 是 f(x) 的_?A.可去间断点?B.跳跃间断点?C.无穷间断点?D.连续点SSS_SIMPLE_SINA B C D 该题您未回答 : 该问题分值 : 4答案:B 解析 因此左右极限不相等，所以x=1 为跳跃间断点4. 当 n时，是_?A.无穷大量?B.无穷小量?C.无界变量?D.有界变量SSS_SIMPLE_SINA B C D 该题您未回答 : 该问题分值 : 4答案:D 解析 因为 n时，5. 数项级数为_?A.发散?B.条件收敛?C.绝对收敛?D.无法判断SSS_SIMPLE_SINA B C D 该题您未回答 : 该问题分值 : 4答案:B 解析 因为，而，级数是的p-级数是发散的，由比较判别法知级数是发散的但是，是交错级数，它满足：(1) ，单调递减；(2) 通项的极限所以交错级数是收敛的故题设所给的级数是条件收敛的6. 下列说法正确的是 _ A对任意给定的正数，在变量 y 的变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻之后， |y-A| 恒成立，则称变量y 在此变化过程中以A为极限，记作 lim y=A B如果在某一变化过程中，变量y 有极限，则变量 y 是有界变量 C对任意给定的正数E，变量 y 在其变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻之后，不等式|y-A| E恒成立，则称变量y 是无穷大量，记作lim y= D如果存在两个常数m ，M(m M)，使对任意的正整数n，恒有m f(n) M ，则 -f(n)为有界数列 E如果数列 yn=f(n) 是单调有界的，则极限一定存在SSS_SIMPLE_MULA B C D E 该题您未回答 : 该问题分值 : 4答案:A,B,C,D,E 7. 设，当 n时，数列 yn_ A收敛于 0.1 B收敛于 0.2 C收敛于 D发散SSS_SIMPLE_SINA B C D 该题您未回答 : 该问题分值 : 4答案:C 解析 因为所以8. 已知，则 a，b 的值是 _?*=-8 ，b=2 ?*=2 ，b 为任意值?*=2 ，b=-8 * ，b 均为任意值SSS_SIMPLE_SINA B C D 该题您未回答 : 该问题分值 : 4答案:C 解析 当 x=2 时，分子必为零，所以4+2a+b=0 ，原极限为型，由洛必达法则知即，从而 a=2，b=-89. 数列，当 n时， f(n) 是_?A.无穷大量?B.无穷小量?C.有界变量，但非无穷小量?D.无界变量，但非无穷大量SSS_SIMPLE_SINA B C D 该题您未回答 : 该问题分值 : 4答案:D 解析 因为 n 是奇数时，n 是偶数时，当 n时， f(n) 极限时为时为 0，所以是无界变量，但非无穷大量10. 当 x时，若，则 a，b，c 的值一定是 _?*=0 ，b=1，c=1 ?*=0 ，b=1，c 为任意常数?*=0 ，b，c 为任意常数* ，b，c 为任意常数SSS_SIMPLE_SINA B C D 该题您未回答 : 该问题分值 : 4答案:B 11. 若要使在 x=0 连续，则 f(0)=_ A B C3 D1 SSS_SIMPLE_SINA B C D 该题您未回答 : 该问题分值 : 4答案:A 解析 因为二、填空题1. 已知，则=_SSS_FILL该题您未回答 : 该问题分值 : 1答案: 解析 由已知直接得，则2. 已知，则=_SSS_FILL该题您未回答 : 该问题分值 : 1答案:-1 解析 这是一个复合函数求导问题，需设中间变量设，则再设 y=f(u) ，而所以由题设知，于是得故3. 已知，则=_SSS_FILL该题您未回答 : 该问题分值 : 1答案: 三、解答题1. 一动点与两定点 (2，3，1)和(4，5，6) 等距离，求这个动点的轨迹方程SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 4x+4y+10z-63=0 2. 求点(1，2，1)到平面 x+2y+2z-10=0 的距离SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 1 3. 求点 P(3，-1，2)到直线的距离SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 4. 求两平行平面 2x-y-5z=1 ，2x-y-5z=3 之间的距离SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 5. 求过点 (0 ，2，4)且与两平面 x+2z=1 和 y-3z=2 平行的直线方程，并求该直线到两已知平面的距离分别是多少SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 直线方程；直线到平行平面距离就是点到两平面的距离，分别是6. 求两平行直线之间的距离SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 距离为7. 求两直线的夹角及距离SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 夹角，距离为8. 求极限SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 解方法一当 x时，原极限为1型，其极限结果一般与e 有关故要考虑用重要极限公式来求解而用此公式的关键是要变换出一个1 出来方法二可以理解为“幂指函数”，可用取对数法来降级先用倒数换元法变形一次，令，有原式9. 求解微分方程 y2dx+(xy-1)dy=0 SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 解按常规思路变形得此种状态x 与 y 无法分离换一种思维，视 y 为自变量， x 为函数，变形得 (视 x 为 y 的函数 )，解这个一阶微分方程，得10. 设 x=y2+y，u=(x2+x)3/2，求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 解由于 y 用 x 不易表示，且 x 用 u 也不易表示改换思维角度，设u=f(x) ，x=(y) ，产生复合函数u=f( (y) ，再用复合函数求导法则所以11. 已知函数 g(x) 在区间 (- ，+)上连续，且 g(1)=5 ，设 f(x)=，求f(x)，并求 f(1)与(1) SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 解关于 t 求积分时视 x 为常数则两边对 x 求导得12. 求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 解因为当 x1 时，所以13. 已知 y1=xex+e2x，y2=xex+e-x，y3=xex+e2x-e-x是二阶线性非齐次方程的3 个解，求此微分方程SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 解y1-y2=e2x-e-x，y1-y3=e-x分别为对应齐次方程的解，故齐次方程的通解为y=C1e2x+C2e-x齐次方程为y-y-2y=0 将 y3=xex+e2x-e-x代入上面齐次方程左边，求得y-y-2y=(1-2x)ex，即为所求14. 设函数 f(x) 在0 ，1 上有连续导数，满足0f(x)1 且 f(0)=0 求证：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 证明令，显然 F(0)=0 因为 0f(x)1 且 f(0)=0 所以当 x0 时，f(x) 0令(z)-2f(t)dt-f2(x) ，显然 (0)=0 (x)=2f(x)-2f(x)f(x)=2f(x)(1-f(x)0 所以当 x0 时，(x) 0由题设知 F(x) 0(x 0)当 x0 时 F(x) F(0)=0所以 F(1) F(0)=0，即 解析 把原命题推广到一般情况，即把求证问题放宽至任意x0 ，1 都有再把原命题当作推广命题的特殊情况15. 设，求f( x)dx SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 解考虑连续性，则 C=3+C1，C1=-3+C16. 设函数 f(x) 满足 f(0)=0 ，f(0)存在，令 F(x)=tn-1f(xn-tn)dt ，求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 解用换元法和凑微分法令xn-tn=u，则当 t=0 时，u=xn；当 t=x 时，u=0于是故17. 讨论在 x=0 处的可导性SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 结论： n1 时可导； n1 时不可导因为由导数定义有对 n-1 进行讨论便得结论18. 讨论在，x=0处的连续性与可导性SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 结论：连续不可导因为( 无穷小与有界函数之积还是无穷小)，所以连续；而不存在，所以不可导19. 由拉格朗日公式 f(b)-f(a)=f()(b -a) ，其中 ab，求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 可能存在，也可能不存在如，f(0)根本不存在即使 f( )存在，但导函数f( )不一定连续，不一定成立20. 若 f(x) 为(a，b) 内单调递增的函数，则在 (a ，b)是否一定有 f(x)0? SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 不一定如单调递增函数在x=0 处导数不存在正确命题：在 (a ，b)内处处可导的单调递增函数，必有f(x)021. 求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 解方法一y(x)=sin(t-x)dt是一个复合函数，不能直接写成y=sin(x-x)=0先展开得 sin(t-x)=sintcosx-costsinx，t 为积分变量，则=-sinx(-cosx4+1)+cosxsinx-cosxsinx-sinxcosx =-sinx 方法二因为，所以22. 若，求 f(x) SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 解由两边同时求导得 f(x2)2x=cosx22x，即 f(x2)=cosx2，从而f(x)=cosx 23. 若(4t-1)dt=2x2-1，求 xSSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 解(4t-1)dt=2x2-1，是关于 x 的方程，右边含常数项，两边不能求导左端用定积分可得于是得同解方程2x2-x=2x2-1，解得 x=124. 求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 解由联想到级数先考虑级数的收敛性由于所以级数收敛，由收敛的必要条件知通项必趋于零，即25. 求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 解因为而由夹逼准则知，26. 求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 解这是一个 1型极限为了能用到公式，利用恒等变形先把底数变出一个1出来而27. 已知，求 c 的值SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 解方法一由，而则 e2c=4，得 c=ln2 方法二，故 c=ln2 28. 求的导数SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : 该问题分值 : 2答案: 解采用换元法降幂设 cos2x=u，则，由。