第13章 拉普拉斯变换.doc

第 十 三 章 拉 普 拉 斯 变 换重点：1．元件的复频域模型2．拉氏变换及其在电路分析中的意义3．应用拉氏变换分析线性电路在第七章与第八章中，我们看到含有线性元件（RLC 等）的电路的时域方程为线性常系数微分方程，而这类电路的分析最终变成了一系列线性常系数微分方程的求解问题当微分方程的阶数大于 2 或者输入函数比较复杂时，方程的求解就变得比较复杂起来了拉氏变换正是简化这类计算得有效方法之一通过拉氏变换，用电压、电流对应的复频域象函数代替相应的时间函数，即可将原线性微分方程变换为相应的线性代数方程，从而大大简化电路方程的求解13-1 有 关 知 识 的 复 习13.1.1 拉氏变换的定义一、拉氏变换定义在区间 )0[， 内的函数 )(tf，其拉氏变换 )(sF的定义为 0)()(dtefss其中 s为复频率 js， sF为 tf的象函数， tf为 的原函数二、拉氏反变换 jcstjdetf0)(21)(三、表示L )(][sFtf，L )(][1tfs注意：我们用大写的字母表示频域量，如 )(sU、 I等，用小写字母表示时域量，如)(tu、 i13.1.2 拉氏变换的基本性质一、唯一性：原函数 )(tf与象函数 )(sF一一对应。

二、线性性： 11s， 22tf，则：)()()()(21 AtfAtf 三、时域导数特性：L 0]'[fstf四、时域积分特性：L Fdt /)()(0五、卷积定理：L )()]([2121 sFtf13.1.3 常用时间函数及其象函数见书中 P294——一般在电路中不要求多余的计算技巧，只需要可以将最后结果化成表中所示的形式，然后通过查表得到结果 At)(st)(sAet13.1.4 线性动态电路方程的拉氏变换解法以一个典型的二阶电路为例： 80R， 2L， 10C， )(tus，VuC1)0(， mAi2)0( RuC(t) C + + - + iL(t) us (t) _ _ L i 该电路的电路方程为： )(542 tudttCC其中且： VC1)0(，ViCu2)0(1)(' 两边同时拉氏变换： sUusUusUs CCC /5])([4)]0(')()([2 6/54s)54()(/)22sC13.1.5 拉氏反变换的计算一般不再使用原始定义式，而采用部分分式展开，然后查表的方法。

电路响应往往为两个实系数的 s 的多项式之比即 )(sDNF，而在电路分析中，该式一般为真分式 （如果计算式不为真分式，可以将其化成多项式与一个真分式的和）下面我们来看一看真分式的部分分式展开一、当 0)(sD有 n 个不同的实根 1p， ，…， np时 nsksksDNF21)(其中： ])([(limsDNpskii 例题：已知： 654)(2ssF求： tf 32)3(254654)( 12 sksss而： )3(54)(24)( 221 sssk 7)()(5)3( 332 sss因此： 72)(ssF所以： ttetf32)(二、当 0sD有 m 个重实根时  niimm pskpskpsksNF 21211 )()()(其中： 1)((11 psmDNsk1])(([112 psmsd1])(([1213 psmDNsk1])(([)!1(111 psmmmsdk 例题：已知： 126754)(23ssF求： tf解： 3)2()3(25416754)( 211223  sksksssF那么： )()3()( 22221 sssk7])3([ ])3()5414[])(54)(2 2222212  s ssd7)2(54)3(54322 ssk因此：7)(7)(2ssF所以： ttt eetf 32)(三、当 0sD有两个共轭的复根 jp1， jp2时 )cos(|)()()(' 1121 tekjskjkFt其中： jsjsDSNjsk )('])([1，jsjsFjs )(')](([2而： jsjsDSNjsk )(')](([1， 11k例题：P297再以 13.1.4 中的例题为例： )12()12()54(6) 312 jskjskssUC ，即： 0s，jj1|)(01sCk，*3122122 5836)(' kjssDNk jj tetetu tt in90coV13-2 应 用 拉 氏 变 换 分 析 线 性 电 路13.2.1 元件的复频域模型——运算电路各种基本元件的 VCR，即元件的电压象函数与电流象函数之间的关系。

一、电阻因为： )()(tiRtu，两边同时取拉氏变换： L )]([tuR= L )]([tiR这样)(sIsUR即：iR(t) R IR(s) + uR(t) - + UR(s) -二、电容因为： tCCdtit0)(1)()两边同时取拉氏变换：L )]([tuC= L tCCdti0])(1)([这样： sIsUC01)(即：iC(t) C IC(s) 1/sC + uC(t) - + - + u)0( -根据源变换的原则： + UC(s) - iC(t) C IC(s) 1/sC + - uC(t) CuC(0-)当电容的初始储能为零时：iC(t) C IC(s) + uC(t) - + UC(s) -三、电感因为： dtiLtu)()(两边同时取拉氏变换：L )]([tuL= L ])([dti这样 0()(LLisIsU即： iL(t) L IL(s) sL + uL(t) - + sLIL(s) - + Li(0-) -根据源变换的原则： + UL(s) - iL(t) L IL(s) sL + - uL(t) iL(0-)/s当电容的初始储能为零时： iL(t) L IL(s) sL + uL(t) - + sLI(s) -四、耦合电感i1 M i2 + + L1 L2 u1 M u2 _ _ I1(s) I2(s) + + U1(s) U2(s) _ _ L1i1(0-) L2i2(0-) + + _ _ Mi2(0-) Mi1(0-) _ + + _ dtitiLu211M122两边同时取拉氏变换有： )0()()0()()( 22111 MisIiLsIsU11222这样其运算等效电路为图所示。

五、独立电源直接将独立源的函数进行拉氏变换常用稳恒电源（电压源、电流源）：A sA六、受控源直接加上系数即可13.2.2 线性电路的分析一、分析步骤1．根据换路前一瞬间的工作状态，计算 )0(Cu及 )(Li；2．将各个元件转换为复频域模型，绘出电路的运算电路（复频域模型） ；3．根据一般的电路分析方法——如节点法、回路法、戴维南-诺顿等效法等等对原电路的运算电路进行分析，计算出响应的象函数4．借助拉时变换表及部分分式展开，对响应的象函数进行反变换，得出时域响应二、例题1．已知： 0.1H 1 + i(t) US=0.1e-5t _ 2 0.5F 0.1s 1 + I(s) _ 2 5求：电路的零状态响应解：绘出电路对应的复频域模型（运算电路） 232122)5()()6()5(61)(5)(1 )301)(52.015.)(   sksksss ssssI其中： )(621sk 1])([][ 5252 ssd1)6(53sk所以： 2)5(1)()6()ssI )5Ateetitt 2．已知： 0.5 + + iC2(t) 10V 1 _ uR(t) 0.5 -20/s IC2(s) + + 10/s 1 _ UR(s) 20/s -求： )(tuR， 2iC解： 1， )(因此可以绘出原电路对应的复频域模型所以 10521020)( sssUR 105.2.402102)( ssssIC所以： VtetuR )(5)(10， AtettiC )(5.2)(.)(102 3．已知： C3， AiL iL(t) +(t) 0.2 0.5 1/6 uC(t) _1/s IL(s) + sL 0.5- 1/6 + UC(s) 0.6 2/s + - _求：电路的零状态响应解：绘出电路对应的复频域模型（运算电路） 。

根据节点电压法： ssssUC 02.61)5.02.16)(  222 8)6(18)6(1045.0631)(  sssssC 222 )(4)()(36.)( sssSsUICL所以： )( 1358sin(2.ico)(66VtettuotttC )( 4.si(4.1i)(66Attti otttL。