第四节函数得连续性.docx

第四节函数得连续性1.4函数的连续性1.4.1函数的连续性定义1.7(函数在一点的连续性)设在x0的某一邻域内有定义,)(xf时函数的极限存在,)(xf0xx如果当且)()(lim00xfxfxx则称函数在点连续,)(xf0x称为的连续点.)(xf0x;)()1(0处有定义在点xxf;)(lim)2(0存在xfxx)()(lim)3(00xfxfxx处连续必须满足三个条件:0)(xxf在点说明:函数),()(00xfxxfy所以,在点连续等价于:)(xf0x,0xxx若设00xxx.0lim0yx),()(lim00xfxfxx若;)(0处左连续在点则称xxf),()(lim00xfxfxx若.)(0处右连续在点则称xxf0x左连续0x右连续xyOxyO显然,00)()(xxfxxf在处连续在定义1.8(函数在一点左右连续)又右连续.处既左连续,或称函数在该区间上连续.在区间上每一点都连续的函数,称该区间上的在开区间),(ba右连续)(lim(xfax)(lim(xfbx左端点ax右端点bx,)(baCxfcontinuous左连续连续函数,),()(baCxf)(af)(bf内连续)(xf连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.定义1.9(函数在区间连续)例如,多项式函数内是连续的.因此,有理分式函数在其定义域内的每一点都是连续的.有理分式函数,),(0xnnnxaxaaxP10)(),()()(lim00xPxPnnxx,)()()(xQxPxRmn只要,0)(0xQm都有).()(lim00xRxRxx因此,多项式函数在例1证明函数内连续.证,00处在x.),(,内连续在故xy.0,,0,xxxxxy,0)(limlim00xyxx,0limlim00xyxx所以).0(0lim0yyx,00时当x);(limlim0000xyxxyxxxx,00时当x);()(limlim0000xyxxyxxxx),(在xy证),(0x.sinsinlim00xxxx2sin2cos2sinsin0000xxxxxx002sin2xxxx由夹逼定理,有.),(sin,内连续在所以xy.),(cos内连续在xy因例2证明函数内连续.),(sin在xy同理,定理1.14(函数四则运算的连续性)例如,,),(cos,sin内连续在xx则点连续在设函数,)(),(0xxgxf;)()()1(0连续在xxgxf;)()()2(0连续在xxgxf).0)()()()3(00xgxxgxf若连续在故在其定义域内连续.xxxxcsc,sec,cot,tan,)(,)(000uxxxu且连续点在设函数定理1.15(复合函数的连续性))(lim)(lim00xfxfxxxx.)(,)(00点也连续在则复合函数点连续在而函数xxfyuufy).(0xf定理1.16设函数在区间I上单调而且连续,则其反函数也单调且连续.)(xfy由此,反三角函数在其定义域内皆连续.即三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.)1,0(aaayx;,),(且连续内单调在)1,0(logaaxya;,),0(且连续内单调在可以证明:xyxeln,ueyxuln,),0(内连续在均在其定义域内连续.指数函数对数函数定理1.17(初等函数的连续性)初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.注1.初等函数仅在其定义区间内连续,例如,,)1(32xxy),10:D在0点的邻域内没有定义,.),1内连续函数在注2.初等函数的连续性提供了简单极限的求法.)(),()(lim000某定义区间若xxfxfxx在其定义域内不一定连续;例3求.1sinlim1xxe1sin1e原式.1sine例4求.11lim20xxx解解)11()11)(11(lim2220xxxxx原式11lim20xxx020例5(非初等函数的例子),0,10,00,1sgnxxxx证明符号函数是非初等函数.证因为),(sgn的定义域是而x,11limsgnlim00xxx1)1(limsgnlim00xxx.sgnlim0不存在所以xx.0sgn处不连续在因此xx,sgn初等函数是若x.),(sgn连续在则x矛盾,.sgn非初等函数是所以x;)()1(0处有定义在点xxf;)(lim)2(0存在xfxx)()(lim)3(00xfxfxx),()(0或间断处不连续在点则称函数xxf1.4.2函数的间断点)(0xfx为并称点的间断点.处连续必须满足三个条件:0)(xxf在点函数如果上述三个条件中有一个不满足,间断点分为两大类:第一类间断点:)0(0xf和)0(0xf都存在的间断点,若则称为可去间断点;若则称为跳跃间断点.其中称为第一类间断点.例6讨论.00,10,)(处的连续性在xxxxxxf解,0)00(f,1)00(f)00()00(ffoxy所以,为函数的跳跃间断点.0x例7讨论函数1,11,110,2)(xxxxxxfoxy112xy1xy2解,2)01(f2)01(f1)1(2)(lim1fxfx所以,为函数的可去间断点.1x在处的连续性.1x如例7中,,2)1(f令1,110,2)(xxxxxfoxy112注意:可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.则在处连续.1x第二类间断点:和中至少一个不)0(0xf)0(0xf若其中有一个为,称为无穷间断点.称为第二类间断点.存在的间断点,例8讨论函数.00,0,1)(处的连续性在xxxxxxf解oxy,0)00(f)00(f所以,为函数的无穷间断点.0x是无理数时当是有理数时当xxxD,0,1)(狄利克雷函数定义域内每一点都是第二类间断点.是无理数时当是有理数时当xxxxxf,,)(注意:不要以为函数的间断点只是个别的几个点.仅在处连续,其余各点处处间断.0x初等函数无定义的孤立点是间断点.分段函数的分段点可能是间断点,也可能是连续点,需要判定.求函数的间断点的方法的间断点.例如,求解0,1,1xxx是间断点.111)(xxexf10011lim)(limxxxxexf)(lim1xfx11111limxxxe11111lim)(limxxxxexf0解例9求函数的间断点,并判断其类型.1,0xx是间断点.所以,x=0为第二类无穷间断点.内连续.由初等函数的连续性,),0,(函数在其定义区间)(xf),1,0(),1(所以,x=1为第一类跳跃间断点.,0Ix若)()()()(00xfxfxfxf1.4.3闭区间上连续函数的性质设在区间I有定义,)(xf,Ix使得则称是函数在区间I的最大值(最小值).)(xf)(0xf定理1.18(最大最小值定理)设在a,b上连续,则在a,b上有)(xf)(xf最大值最小值.有ab21xyo)(xfy,21ba则,bax使得,)(baCxf).()(),()(21xffxff注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;推论1.5(有界性定理)2.若区间内有间断点,定理不一定成立.设在a,b上连续,则在a,b上有界.)(xf)(xf有若显然,函数的最大、最小值分别是它的一个上界和一个下界..),(0)(内至少存在一个实根在即方程baxf定理1.19(零点定理)设函数在闭区间a,b上连续，)(xf,0)()(bfaf若.0)(f使得),(ba则至少有一点如果的一个零点.)(,0)(00xfxxf为函数则称ab321几何解释:xyo)(xfy定理1.20(介值定理)设函数在闭区间上连续,)(xf,ba若),()(bfaf,)()(之间的任一值与是介于bfafC),(ba则至少有一点.)(Cf使得两个端点位于x轴的两侧,则曲线弧与x轴至少有一交点.连续曲线弧的)(xfyMBCAmab1232x1xxyo)(xfy证,)()(Cxfx设,)(上连续在则baxCafa)()(且CACbfb)()(CB,0)()(ba由零点定理,),(ba,0)(使得,0)()(Cf即Cf)(故推论1.6闭区间上连续的函数,必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.例10证明方程内至少有在区间)1,0(4123xx证,14)(23xxxf令,1,0)(上连续在则xf,01)0(f又,02)1(f由零点定理,),1,0(,0)(f,01423即.)1,0(4123内至少有一根在xx一根.所以,方程使得例11设函数,)(,)(aafbaxf且上连续在区间证,)()(xxfxF令,)(上连续在则baxFaafaF)()(而,0由零点定理,),(ba,0)()(fFbbfbF)()(,0.)(f.)(),(.)(fbabbf使得证明使得即例12设.,)(21baxxxbaxfn上连续在证,)(上连续在因baxf由最大最小值定理,该函数闭区间上必取得最大值M与最小值m..,2,1,)(nkMxfmk,)(11Mxfnmnkk故由介值定理,,ba.)(1)(1nkkxfnf,ba使得于是证明.)(1)(1nkkxfnf使得4Word版本。