勒让德变换.doc

勒让德变换武际可. 1 勒让德变换的提出法国数学家、天文学家勒让德（Legendre, Asrien-Marie，1752-1833）出生在一个比较富有的家庭，从小受到良好的教育18岁时，通过了数学物理的毕业论文答辩只后在大学教授过数学，31岁时被选入科学院1789年法国大革命后，于1790年宣布要对当时相当混乱的度量衡制度进行改革科学院组成了一个由拉格朗日为首的委员会委员会建议以从赤道到北极的一千万分之一为长度基本单位――米，这个方案于1791年被法国国民议会通过于是就要着手实际测量从赤道到北极的长度勒让德参加了测量，并且是经度局的一名成员1813年拉格朗日逝世，勒让德接替他成为经度局的主席他在数学上的贡献，勒让德多项式就是在计算地球形状时的一项创造勒让德在数学上的贡献是多方面的，他在解析数论、椭圆函数、几何学、天体力学等方面都有重要的贡献勒让德像1787年，勒让德在蒙日关于最小曲面研究的启发下，给出了勒让德变换勒让德变换在勒让德的贡献中，开始并没有引起人们广泛的注意，而且，开始只是对于几何问题的讨论引进的不过随着历史的发展，它在无论是数学还是力学与物理中都显示了它的重要性，经过人们对它的推广，被广泛应用于许多方面。

勒让德变换是从以下偏微分方程出发的 （1.1）其中若令，再令R、S、T仅是p,q的函数令曲面的切平面为， （1.2）则应当有 （1.3）（1.2）式在变量x,y与它们的对偶变量p,q之间给了一个变换把这个变换具体写出来就是对它求微商得 （1.4）考虑到上面变换的雅科比矩阵应当互逆，即，于是有这个变换把一个拟线性方程（1.1）变到一个线性方程（1.3）2. 勒让德变换令 从（2.2）反解出x为t的函数并代入下式 （2.5）把这个式子微分得，由此，显然得到u是t的函数，并且对t的导数是x2.5）式确定了变量u、y，x、t之间的一个变换它把y＝y(x)变到了 （2.6）同样，由（2.5）可以得，它定义了另一个与上面变换相反的变换所以这两个变换是相互的，它们的关系是对等的勒让德变换有这样一个性质，即如果在x、y平面上的两条曲线是相切的，变换到u、t平面也是相切的，反之亦然具有这种性质的变换称为接触变换。

勒让德变换是接触变换的特殊情形把以上的思想推广到多变量的情形，设有n个变量的函数，它具有直到二阶以上的连续微商，取新的一组变量 （2.7）它们组成对原变量的一组变换其雅科比行列式从（2.7）可以把原变量反解出来得（2.8）考虑新函数 ， （2.9）对上式微分得 由此我们证明了 （2.10）两个函数和的关系由（2.9）给出对应的变量和函数的关系分别由（2.7）和（2.10）给出它们概括了力学与物理中许多对偶关系3 .勒让德变换在力学与物理中的应用 1）.气体的热力学函数在热力学中，常见的自变量或状态变量有：T、S、p、v四个，即温度、熵、压强与体积这四个变量之间两两对偶，前两个之积和后两个之积的量纲都是能量用体积和熵为自变量表示的内能U（S，v），有 （3.1）可以将自变量改变为其对偶的自变量，于是我们还有和内能同一量纲的三个热力学函数F（T，v）、H（S，p）、G（T，p），即亥姆霍兹自由能、焓、吉布斯自由能，它们和内能之间的关系是 （3.2）我们看到，这些热力学函数之间的关系恰好是勒让德变换。

所以，勒让德变换实际上是在我们得到了一个不变量后，要得到它的对偶自变量下的不变量的一个重要的变换2）.哈密尔顿函数在分析力学中，我们有描述n自由度系统的拉格朗日第二类方程 （3.3）其中L＝T－U这里L为系统的拉格朗日函数，T为系统的动能，U为系统的势能，（j＝1,2, ，n）为系统的广义坐标如果我们引进系统的广义动量 （3.4）可以证明，从上式中我们可以把反解出来作为和的函数我们希望引进新的函数H，它是p，q的函数为此令 （3.5）我们把两边进行变分并利用（3.3）与（3.4）得 比较等式两边，我们就得到 （3.6）这就是动力系统的哈密尔顿形式的典则方程我们看到（3.5）也是一个勒让德变换另外，由于拉格朗日函数是与的函数，按照（3.5）转换为哈密尔顿函数是和的函数，所以变换是把部分自变量变量变到自变量而保持自变量不变。

由此可以知，勒让德变换可以把自变量中的任意个变量变换到它的对偶量3).弹性力学的余能原理现在我们来讨论弹性体，在（2.9）中，令U为弹性体的势能，它是广义位移q的函数则就是弹性体的余能对于弹性体来说，因为自变量是坐标的连续函数，这时（2.9）中的求和号，应当改用积分号我们知道弹性体的总势能是 （3.7）其中是应变张量是应力张量，是体力向量场，是位移场，是体积，是表面积，是体积占据的空间区域，是区域的表面，下标t是表面上给定外力t的部分 （3.8）在满足几何约束的条件下，从总势能的变分可以得到弹性体的平衡方程和应力边条件，可以推出在满足平衡条件下，从余能的变分可以得到弹性体的几何关系与位移边条件这就是弹性力学的余能原理4. 广义变分原理我们来考察式（2.9）把所有的项移到一边，然后用一个函数不是它，即令 （4.1）其中是广义位移q的函数，而是广义力的函数显然对求变分，我们得到 考虑到与的任意性，我们就有 （4.2）上式既包含了平衡条件，也包含了几何条件，其中U是应变能，是余应变能。

得到的前一个式子是拉格朗日定理，而后一个式子是卡斯提也努定理对于得到平衡或几何条件来说，相应的广义力与广义位移应当等于零，即（4.2）的左端应当等于零这时对应的（4.1）应当适当修改为 （4.3）一般说来，对于弹性力学的情形，这就相当于Hellinger-Pranger-Reissner两变量的变分原理采用（3.7）和（3.8）的符号，对于弹性力学问题，我们可以把（4.3）写为： （4.4）如果在余能原理的泛函中，通过本构关系把其中都好应力变换为应变然后加入上式中这时，对它进行变分，自变函数是位移、应力和应变我们就得到三变量变分原理它和胡海昌变分原理是等价的5 结论勒让德变换是把一个物理不变量变为其对偶坐标下的不变量由于在物理中，对偶是一个十分基本的概念，所以勒让德变换对于理解这类问题起着重要作用 参考文献〔1〕 菲赫金哥尔茨著，微积分学教程，第一卷第二分册，高等教育出版社，1955，pp.474〔2〕 武际可、王敏中、王炜，弹性力学引论（修订版），北京大学出版社，2001〔3〕 V.I.Arnold，Mathematical Methods of Classical Mechanics，Springer-verlage，1978，pp.66，366。