大白本解答(10年9月版,第九章曲线积分和曲面积分).docx

精品文档第九章、曲线积分与曲面积分曲线积分部分一、(1)直接计算：［f(yXdy=j°f(ydy+jf(yV?dy=2(f(y)/Vdy10nlec1(f(yXdy=Lf(xXdx=J」2xf(xdx=4(xf(xdx,故选项B是对的2)直接由Green公式，应选D3)设Li：x2+4y2=a2,a>0适当小，使Li在L所围区域内，Li取顺时针方向，再设D为L,Li包含的平面区域，则由Green公式:所以,xdy - ydx 4-2 , . ~2~ Lt x +4y■:y一 y~2 2

6 .应填：工，直接计算得:353 2 c 2x 2x - x 3xdxccc1-iiy-zdx2yzdy-xdz=0x-x2x10-11[(3x-2x)dx二一035三、1.解:—y—dx 2xydy 二L x 12x x22x dx= 21x-12xdx+；4x4dxl+ln20 102.解:本题中电=.=12xy—3y2,补从B(1,2)到A(0,1)的直线段y二xL1:y=x+1,x从0至M则由Green公式得：2322.2322166xy-ydxr6xy-3xydy=-6xy-ydx6xy-3xydyLL11 1.二.2一3.2.一一21._3_2一一=J6x(x+1)-(x+1)+(6x(x+1)-3x(x+1))dx=J(8x+9x-1)dx=40J-03 .证：因为x>0时,上yrl=~T=~~~~\所在xa0内fgdx-」dy与路径无关22.22H-u।22J2 3Fdx =--x 2cy

由Green公式口 (xe2y y)dx (x2e2y -y)dy = 1dxdy 二二L (-L1) ( -L2) D所以，(xe2y y)dx (x2e2y - y)dy -二 (xeL L1 ,L2/ y)dx (x2e2y -y)dy =二 2e4 -28.解:当(x,y) #(0,0)时,-:P _ y2 -x2 2xy _ ；:Q口― 2 2 . 2X2 一心y (x y ) 二x补线段L1:从B(1,T)到A(-1,-1);逆时针的小圆周L2:x2+y2=a2,aa0适当小,使L2在L、Li所围区域内则由Green公式:(x -y)dx (x y)dy(x - y)dx (x y)dyI二(x-y)dx弋y)dy一Lx2yL1二11」21 (x 1dx 二_ (x -y)dx (x y)dy _ _一 L 2 一一L2 a .1一当[1-(J)]dxdy=2x2 -y2 .::a2 a所以,I -I1 I29.解:P(x,y)y2 xf -,Q(x, y) = y - xf,问题化为确定f ,使■:y.:Q 日口——，即::xf要?两足:l"i)=「⑴=1z= f (u)得:Id z 2 z 门—二2解此一阶线性方程得：z = 3u2-2u。

即：z(1》1_ . 2f (u) = 3u-2u,利用初始条件f(1)=1,解得:f (u) = u3-u2+1,所以，fI+1Wwxx)曲面积分部分、1.因工是平行于yoz坐标面的一个柱面，故直接计算曲面积分口f(x,y,z)ds时，可将£分为从z轴来看的上、下两部分，然后再往xoy面上投影注意到在上半部分,z是非负的，在下半部分，z是负的故选Co2 .易知在心上的点(x,y,z)处的单位向量n=-^S,T,-1｝故由两类曲面积分的关系:211Pdydz Qdxdz Rdxdy =,2口(Q+R)ds,所以选项A是正确的B的错误在于，工1是上侧，故右边是正号;精品文档C的错误在于，在工上，关系式x=，z-y2是不成立的;D的错误在于，在£1上，y二Jz-x2是不成立的3 .因在前、后球面上，xcosx是反对称的，故选项A的积分为零；同理选项B及C的积分都是零故选项D是对的，原因是口xds和口yds这两个积分都是0,显然x2-y2：i)z21x2-y2z21jj(x2+y2)ds〉0x2y2z244 .易知，在Z的柱面部分£1上：〃(x2+y2+z2)dxdy=0,而在两个顶面Z2：z=1及工：z=-1上，JJ(x2+y2+z2)dxdy=-1(x2+y2+z2)dxdy，故选项A的积分为0;对于B,在£上，z=0,故〃xdydz二"ydxdz=0,jfzdxdy=H0dxdy=0,故积分为0;将££££1.工按x轴方向分为前、后各'个球面£1P2,则£1为前侧，工2为后侧。

有：11 x 二收 y2 z24dydz=2JJ「xdydz〉0,故选项C的积分不为0;若将工「x2y2z2按x轴方向分为前、后两个对称的半椭球面£1工2,则£1是前侧的，而工2是后侧的，冉由于x2是x的偶函数故(ffx2dydz=0,同理，9Jy2dxdz=0,知z2dxdy=0ZZZ5 .注意到旬Pdxdy+Qdydz+Rdzdx能用Gauss公式的两个前提条件：Z是外侧(或内侧曲面)，P、Q、R在Z所围的G内一阶偏导数连续，容易知道选项D是对的A不对：£的球面部分和平面部分的定向不能保证工同时是外侧(或内侧)的B,C不对：P、Q、R不可偏导的点(0,0,0)在内6 .注意到在£上：x2+y2+z2=1直接计算得：精品文档精品文档x书-2^dydz=阴xdydz=〃dv(gauss公式)

二、1.解：设£表示上半球面z=Ja2-x2-y2则由对称性，22原式二2口x2ds=2口x2J1+—2~2L+-_y22dxdy工x2y2西2a-X-ya-x-y2a21.. - r3.解： gradu =  2 2(x i y j zk).x y - z2-22-12-二211xdxdy=2d^a:cos:a：d：2220-02x2y2w、a-x-y1-:=a4cos2X।dP2001一：21 1 1sin f cos- _2 2一 2 31Ri)24,2一44=a(――'2)=-a33'(xy2)Myez)“xln(1z2))2z2xz2.用车：div(u)==ye二x二y二z1z—fddiv(u)(1,1,0)=2,x、三，y、：z、div(gradu)=(-222)’(-222)’(-222)=二xxyz二yxyz二zxyz4.解：注意到在£上，x2+y2+z2=a22 ,, axdydz (z a) dxdy,2 2 2 . 12(x y z )二-(axdydz(za)2dxdy)ra精品文档补£1为xoy平面上的圆x2+y2

为£工1所围立体，D:x2+y2