中考数学分类汇编-解直角三角形的应用.pdf

20102010 中考数学分类汇编中考数学分类汇编一、选择题一、选择题1 1．． （（20102010 辽宁丹东市）辽宁丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为 5m，AB为 1.5mC30°ABDE（即小颖的眼睛距地面的距离） ，那么这棵树高是（）35 33（5 3）m）m B．3225 3C．m D．4m3【答案】A A． （2 2．． （（20102010 江苏宿迁）江苏宿迁）小明沿着坡度为 1:2的山坡向上走了 1000m ，则他升高了A ．200 5mB．500m C．500 3m D ．1000m【答案】【答案】A A3 3．． （（20102010 浙江湖州）浙江湖州）河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5 米，迎水坡AB 的坡比 1：3（坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比） ，则 AC 的长是（）A ．53米 B．10 米 C．15 米 D ．103米【答案】A ．4 4．．5 5．．6 6．．7 7．．8 8．．9 9．．1010．．1111．．1212．．1313．．1414．．1515．．1616．．1717．．1818．．1919．．2020．．2121．．2222．．2323．．2424．．2525．．2626．．2727．．2828．．2929．．3030．．二、填空题二、填空题1 1．． （（20102010 山东济宁）山东济宁）如图，是一张宽m的矩形台球桌ABCD，一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC，然后反弹到边AB上的P点. 如果MCn，CMN.那么P点与B点的距离为.AB·NDM(第 15 题)·C/ 筱*【答案】mntantan2 2．． （20102010 重庆市潼南县重庆市潼南县）如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高， 在点 A 处看电梯楼顶部点 B 处的仰角为 60°，在点 A 处看这栋电梯楼底部点 C 处的俯角为 45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC 为米（精确到 0.1）.（参考数据：2 1.4143 1.732）【答案】82.03 3．． （（20102010 江西）江西）如图，从点C测得树的顶角为 33º，BC＝20 米，则树高AB＝米（用计算器计算，结果精确到 0.1 米）【答案】13.04 4．． （（20102010 湖北孝感）湖北孝感）如图，一艘船向正北航行，在A 处看到灯塔 S 在船的北偏东30°的方向上，航行 12 海里到达 B 点，在 B 处看到灯塔 S 在船的北偏东 60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔 S 的最近距离是海里（不作近似计算） 。

答案】【答案】6 35 5．．6 6．．7 7．．8 8．．9 9．．1010．．1111．．1212．．1313．．1414．．1515．．1616．．1717．．1818．．1919．．2020．．2121．．2222．．2323．．2424．．2525．．2626．．2727．．2828．．2929．．3030．．三、解答题三、解答题1 1．． （20102010 安徽省中中考安徽省中中考）若河岸的两边平行，河宽为 900 米，一只船由河岸的 A 处沿直线方向开往对岸的 B 处，AB 与河岸的夹角是 600，船的速度为 5 米/秒，求船从 A 到 B 处约需时间几分 （参考数据：3 1.7）【答案】2 2．． （20102010 安徽芜湖安徽芜湖） （本小题满分 8 分）图 1 为已建设封项的 16 层楼房和其塔吊图，图 2为其示意图， 吊臂 AB 与地面 EH 平行， 测得 A 点到楼顶 D 点的距离为 5m， 每层楼高 3.5m，AE、BF、CH 都垂直于地面，EF＝16cm，求塔吊的高 CH 的长．解：【答案】3 3．． （2010 广东广州，22，12 分）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图8 所示，新电视塔高 AB 为 610 米， 远处有一栋大楼， 某人在楼底 C 处测得塔顶 B 的仰角为 45°，在楼顶 D 处测得塔顶 B 的仰角为 39°．（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；（2）求大楼的高度 CD（精确到 1 米）【分析】 （1）由于∠ACB＝45°，∠A＝90°，因此△ABC 是等腰直角三角形，所以 AC＝AB＝610； （2）根据矩形的对边相等可知：DE＝AC＝610 米，在 Rt△BDE 中，运用直角三角形的边角关系即可求出BE 的长，用 AB 的长减去 BE 的长度即可．【答案】 （1）由题意，AC＝AB＝610（米） ；（2）DE＝AC＝610（米） ，在 Rt△BDE 中，tan∠BDE＝BE，故 BE＝DEtan39°．DE因为 CD＝AE，所以 CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米）/筱*答：大楼的高度 CD 约为 116 米．【涉及知识点】解直角三角形【点评】 解直角三角形是每年中考的必考知识点之一， 主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，本题是基本概念的综合题， 主要考查考生应用知识解决问题的能力，很容易上手，容易出错的地方是近似值的取舍．4 4．． （（20102010 甘肃兰州）甘肃兰州） （本题满分 8 分）如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为 30°. 已知原传送带 AB 长为 4 米.（1）求新传送带 AC 的长度；（2） 如果需要在货物着地点C 的左侧留出2 米的通道， 试判断距离B 点 4 米的货物 MNQP是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1 米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)【答案答案】 （1）如图，作AD⊥BC于点D……………………………………1 分Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4在 Rt△ACD中，∵∠ACD=30°2 2 22……2 分∴AC=2AD=4 2≈5.6………………………3 分即新传送带AC的长度约为5.6米．………………………………………4 分（2）结论：货物MNQP应挪走．……………………………………5 分解：在 Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4在 Rt△ACD中，CD=AC cos30°=2 2 22……………………6 分4 2 3 2 62∴CB=CD—BD=2 6  2 2  2( 6 2)≈2.1∵PC=PB—CB≈4—2.1=1.9＜2………………………………7 分∴货物MNQP应挪走．…………………………………………………………8 分5 5．． （20102010 江苏南京江苏南京） （7 分）如图，小明欲利用测角仪测量树的高度。

已知他离树的水平距离 BC 为 10m，测角仪的高度 CD 为 1.5m，测得树顶 A 的仰角为 33°.求树的高度 AB参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）【答案】6 6．． （（20102010 江苏南通）江苏南通） （本小题满分 9 分）光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50 m/min 的速度向正东方向行走，在A 处测得建筑物 C 在北偏东 60°方向上，20min 后他走到 B 处，测得建筑物 C 在北偏西 45°方向上，求建筑物 C 到公路 AB 的距离． （已知3 1.732）/筱*北北C60°45°A（第 23 题）B【答案】过 C 作 CD⊥AB 于 D 点，由题意可知 AB=50×20=1000m，∠CAB=30°，∠CBA=45°，AD=CD/tan30°，BC=CD/tan45°，∵AD+BD= CD/tan30°+ CD/tan45°=1000，解得 CD=10003 1=500（3 1）m≈366m．7 7．． （（20102010 江苏盐城）江苏盐城） （本题满分 10 分）如图所示，小杨在广场上的A 处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D 处的仰角为 30º，然后他正对大楼方向前进5m 到达B 处，又测得该屏幕上端 C 处的仰角为 45º．若该楼高为 26.65m，小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离（3≈1.732，结果精确到 0.1m） ．CD【答案】解：设 AB、CD 的延长线相交于点 E∵∠CBE=45º CE⊥AE∴CE=BE………………………（2 分）∵CE=26.65-1.65=25∴BE=25∴AE=AB+BE=30……………………………………………（4 分）在 Rt△ADE 中，∵∠DAE=30º∴DE=AE×tan30 º =30×3=10 3 …………………（7 分）3ABE∴CD=CE-DE=25-10 3 ≈25-10×1.732=7.68≈7.7(m) ……………（9 分）答：广告屏幕上端与下端之间的距离约为7.7m……………………（10 分）（注：不作答不扣分）/筱*CDABE8 8．． （（20102010 山东青岛）山东青岛）小明家所在居民楼的对面有一座大厦 AB，AB＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离， 小明从自己家的窗户 C 处测得大厦顶部 A 的仰角为 37°，大厦底部B 的俯角为 48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度． （结果保留整数）A33711（参考数据：sin37o，tan37o，sin 48o，tan48o）541010【答案】解：设 CD = x．在 Rt△ACD 中，AD，tan37 CD3AD则，4x3∴AD x.4在 Rt△BCD 中，BDtan48°=，CD11BD则，10x11∴BD x.……………………4 分10∵AD＋BD=AB，311∴x x 80．410解得：x≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是 43 米．…………………69 9．． （（20102010 四川凉山）四川凉山）如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45降为30，已知原滑滑板 AB 的长为 4 米，点 D、B、C 在同一水平地面上。

1）改善后滑滑板会加餐长多少米？（2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6 米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由参考数据：2 1.414，3 1.732，6  2.449，以上结果均保留到小数点后两位） /筱*【答案】1010．． （（20102010 四川眉山）四川眉山）如图， 在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度 AB．小刚在 D 处用高 1.5m 的测角仪 CD，测得教学楼顶端 A 的仰角为 30°，然后向教学楼前进 40m 到达 E，又测得教学楼顶端 A 的D仰角为 60°．求这幢教学楼的高度AB．【答案】解：在 Rt△AFG 中，tanAFG ∴FG A30B45C第 20 题图AGFGAGAG……………（2 分）tanAFG3在 Rt△ACG 中，AG∴CG 3AG…………（4 分）tanACG又CG FG  40AG即3AG  403∴AG  20 3…………………………（7 分）∴AB  20 3 1.5（米）答：这幢教学楼的高度AB 为(20 3 1.5)米． （8 分）1111．． （（20102010 浙江杭州）浙江杭州）(本小题满分 10 分)如图，台风中心位于点P，并沿东北方向 PQ 移动，已知台风移动的速度为 30 千米/时，受影响区域的半径为200 千米，B 市位于点 P 的北偏东 75°方向上，距离点 P 320 千米处.(1) 说明本次台风会影响B 市；（2）求这次台风影响 B 市的时间.【答案】【答案】(1) 作 BH⊥PQ 于点 H, 在 Rt△BHP 中,由条件知, PB = 320, BPQ = 30°, 得 BH = 320sin30° = 160 < 200,∴本次台风会影响 B 市.---4 分(2) 如图, 若台风中心移动到 P1时, 台风开始影响 B 市, 台风中心移动到 P2时, 台风影响结束.由（1）得 BH = 160, 由条件得 BP1=BP2 = 200,/筱*∴P1P2 = 220021602=240,--- 4 分∴台风影响的时间 t =240= 8(小时).--- 2 分301，CD 10．21212．． （（20102010 浙江嘉兴）浙江嘉兴）设计建造一条道路，路基的横断面为梯形ABCD，如图（单位：米） ． 设路基高为 h， 两侧的坡角分别为和， 已知h  2， 45，tan（1）求路基底部 AB 的宽；（2）修筑这样的路基 1000 米，需要多少土石方？DC【答案】【答案】1）作DE  AB于 E，CF  AB于 F，则DE  CF  2，DBAC（第 21 题）AE（第 21 题）FB在 Rt△ADE 中，∵ 45，∴AE  DE  2．1CF1，∴，∴BF  2CF  4．2BF2在 Rt△CFB 中，∵tan在梯形 ABCD 中，又∵EF＝CD＝10，∴AB＝AE＋EF＋FB＝16（米） ． …6 分（2）在梯形 ABCD 中，∵AB＝16，CD 10，DE  2，11∴面积为(CD  AB) DE (10 16) 2  26（平方米） ，22∴修筑 1000 米路基，需要土石方：261000  26000（立方米） ． …4 分1313．． （（20102010 浙江绍兴）浙江绍兴）如图,小敏、小亮从 A,B 两地观测空中 C 处一个气球,分别测得仰角为 30°和 60°,A,B 两地相距 100 m.当气球沿与 BA 平行地飘移 10 秒后到达 C′处时,在 A 处测得气球的仰角为 45°.（1）求气球的高度（结果精确到0.1ｍ） ；（2）求气球飘移的平均速度（结果保留3 个有效数字）.第 20 题图【答案】解:(1) 作 CD⊥AB,C/E⊥AB,垂足分别为 D,E.∵CD＝BD·tan60°,/筱第 20 题图*CD＝（100＋BD） ·tan30°,∴（100＋BD） ·tan30°＝BD·tan60°,∴BD＝50,CD＝503≈86.6 m，∴ 气球的高度约为 86.6 m.(2) ∵BD＝50,AB＝100,∴AD＝150 ,又∵AE＝C/E＝503,∴DE＝150－503≈63.40，∴ 气球飘移的平均速度约为6.34 米/秒.1414．． （（20102010 浙江台州市）浙江台州市）施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两参考数据0.94，cos20°棵树间水平距离 AB=4 米，斜面距离 BC=4.25 米，斜坡总长 DE=85 米．0.34，sin20°（1）求坡角∠D 的度数（结果精确到 1°） ；0.31，sin18°（2）若这段斜坡用厚度为17cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?0.95cos18°AB4【答案】(1) cos∠D=cos∠ABC==0.94，BBC4.25A∴∠D20°．CF（2）EFD=DEsin∠D=85sin20°85×0.34=28.9(米)，（第 19 题）共需台阶 28.9×100÷17=170 级．1515．． （2010 山东聊城）建于明洪武七年 （1374 年） ，高度 33 米的光岳楼是目前我国现存的最高大、最古老的楼阁之一（如图①） ．喜爱数学实践活动的小伟，在 30 米高的光岳楼顶 P处，利用自制测角仪测得正南方向一商店A 点的俯角为 60º，又测得其正前方的海源阁宾馆B 点的俯角为 30º（如图②） ．求商店与海源阁宾馆之间的距离． （结果保留根号）PO30【答案】 由题意知∠PAO＝60º， ∠B＝30º， 在 Rt△POA 中，tanPAO ，tan60 ，OAOAOA＝30÷3＝10 3，在在 Rt△POB 中，tan B POABE17cm，tan30 30OA，OA＝30÷33＝30 3，∴AB＝OB－OA＝30 3－10 3＝20 31616．． （（20102010 湖南长沙）湖南长沙）为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图） ．已知立杆 AB 高度是 3m，从侧面 D 点测得显示牌顶端 C 点和底端 B 点的仰角分别是60和45．求路况显示牌 BC 的高度．【 答 案 】 解 ： 在Rt △ ABD,AB ＝ 3m ， ∠ ADB＝ 45 ° 所 以AD RtAB33 3．tanADBtan451ACD中，AD＝3m，∠ADC＝60°所以△AC  ADtan ADC  3tan60  33  3 3． 所 以 路 况 显 示 牌 BC 的 高 度 为/筱*3 3－3m．1717．． （（20102010 浙江金华）浙江金华）在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C 处(如图).现已知风筝 A 的引线（线段 AC）长 20m，风筝 B 的引线（线段 BC）长 24m，在 C 处测得风筝 A 的仰角为60°，风筝 B 的仰角为 45°.（1）试通过计算，比较风筝A 与风筝 B 谁离地面更高？（2）求风筝 A 与风筝 B 的水平距离.(精确到 0.01 m；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707,tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732）BA60°ED(第 19 题45°C【答案】【答案】解： （1）分别过 A，B 作地面的垂线，垂足分别为D，E．BA60°ED45°C在 Rt△ADC 中，∵AC﹦20，∠ACD﹦60°，∴AD﹦20×sin 60°﹦103≈17.32m在 Rt△BEC 中，∵BC﹦24，∠BEC﹦45°，∴BE﹦24×sin45°﹦122≈16.97m∵17.32>16.97∴风筝 A 比风筝 B 离地面更高．/筱*（2）在 Rt△ADC 中，∵AC﹦20，∠ACD﹦60°，∴DC﹦20×cos60°﹦10 m在 Rt△BEC 中，∵BC﹦24，∠BEC﹦45°，∴EC﹦BC≈16.97 m∴EC－DC≈16.97－10﹦6.97m即风筝 A 与风筝 B 的水平距离约为 6.97m．1818．． （（20102010 山东济南）山东济南）我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=40 米，坡角∠BAD=600，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿 BC 削进到 E 处，问 BE 至少是多少米(结果保留根号)？EBC【答案】【答案】解：作 BG⊥AD 于 G，作 EF⊥AD 于 F，0∵Rt△ABG 中，∠BAD=60 ，AB=40，∴ BG =AB·sin600=203，AG = AB·cos600=20同理在 Rt△AEF 中，∠EAD=450，∴AF=EF=BG=203，∴BE=FG=AF-AG=20(3 1)米.1919．． （2010 江苏泰州）庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚 C 处出发，以 24 米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B 处出发．如图，已知小山北坡的坡度DAi 1 ∶ 3，山坡长为 240 米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶 A？（将山路 AB、AC 看成线段，结果保留根号）【答案】过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，在Rt△ADC中，由i 1:3得tanC=1113∴∠C=30°∴AD=AC=×240=120(米)2233在 Rt△ABD 中，∠B=45°∴AB＝2AD＝1202（米）1202÷（240÷24）＝1202÷10＝122（米/分钟）答：李强以 122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A．2020．． （2010 江苏无锡）在东西方向的海岸线l上有一长为 1km 的码头MN（如图） ，在码头西端M的正西 19.5km 处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西 30°，且与A相距 40km 的B处；经过 1 小时 20 分钟，又测得该轮船位于A的北偏东 60°，且与A相距8 3km 的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果） ；/筱*（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由．【答案】解： （1）由题意，得∠BAC=90°，∴BC 40  (8 3)167．43127km/时．22∴轮船航行的速度为167 (2)能．……（4 分）作BD⊥l于D，CE⊥l于E，设直线BC交l于F，则BD=AB·cos∠BAD=20，CE=AC·sin∠CAE=43，AE=AC·cos∠CAE=12．∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDF=∠CEF=90°．又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF，∴DFEFBDCE,∴EF 32EF20 343，∴EF=8．∴AF=AE+EF=20．∵AM＜AF＜AN，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸．2121．． （2010 湖南邵阳，22，8 分）如图（十二） ，在上海世博会场馆通道建设中，建设工人将`坡长为 10 米 （AB＝10 米） ， 坡角为 20°30（∠BAC＝20°30`） 的斜坡通道改造成坡角为12°30`（∠BDC＝12°30`）的斜坡通道，使坡的起点从点Ａ处向左平移至点Ｄ处， 求改造后的斜坡通道 BD 的长。

（结果精确到 0.1 米,参考数据:sin12°30`＝0.21,sin20°30`＝0.35,sin69°30`＝0.94）【答案】由题意，BC＝AB×sin20°30`＝10×0.35＝3.5（米） ；BCBC在 Rt△BDC 中，sin12°30`＝，故 BD＝≈16.7．BDsin1230`答：履行后斜坡通道 BD 的长约为 16.7 米．2222．． （2010 重庆綦江县） 据交管部门统计， 高速公路超速行驶是引发交通事故的主要原因． 我县某校数学课外小组的几个同学想尝试用自己所学的知识检测车速， 渝黔高速公路某路段的限速是：每小时 80 千米（即最高时速不超过 80 千米） ，如图，他们将观测点设在到公路 l的距离为 0.1 千米的 P 处．这时，一辆轿车由綦江向重庆匀速直线驶来， 测得此车从 A 处行1小时） ，并测得∠PAO＝59°，∠BPO＝45°．1200试计算 AB 并判断此车是否超速？（精确到0.001） ．（参考数据：sin59°≈0.8572，cos59°≈0.5150，tan59°≈1.6643）【答案】设该轿车的速度为每小时v 千米∵AB＝AO－BO，∠BPO＝45°∴BO＝PO＝0.1 千米又 AO＝OP×tan59°＝0.1×1.6643∴AB＝AO－BO＝0.1×1.6643－0.1＝0.1×0.6643＝0.06643即 AB≈0.0066 千米驶到 B 处所用的时间为 3 秒（注：3 秒＝1小时1200∴v＝0.06643×1200≈79.716 千米/小时∵79.716＜80而 3 秒＝/筱*∴该轿车没有超速．2323．． （（20102010 江苏连云港）江苏连云港） （本题满分 10 分）如图，大海中有 A 和 B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点 E 处测得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在点F 处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝1km．（1）判断 ABAE 的数量关系，并说明理由；（2） 求两个岛屿 A 和 B 之间的距离 （结果精确到 0.1km） ．（参考数据： 3≈1.73， sin74°≈，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）A【答案】【答案】2424．． （（20102010 湖南衡阳）湖南衡阳）为申办 2010 年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。

在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离 B 点 3 米远的 D 处， 从 C 点测得树的顶端 A 点的仰角为 60°， 树的底部 BB点的俯角为 30°.问：距离 B 点 8 米远的保护物是否在危险区内？9 分【答案】在 Rt△BDC 中，BC=BD3=23，cos3032PEFQ在 Rt△ABC 中，AB=2BC=43＜8所以离 B 点 8 米远的保护物在危险区内.2525．． （（20102010 黄冈）黄冈） （9 分）如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北 30°方向直线延伸，测绘员在 A 处测得要安装天然气的 M 小区在 A 市东偏北 60°方向，测绘员沿主输气管道步行 2000 米到达 C 处，测得小区 M 位于 C 的北偏西 60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长.第 23 题图【答案】【答案】解：过 M 作 MN⊥AC，此时 MN 最小，AN＝1500 米2626．． （（20102010 山东莱芜）山东莱芜）2009 年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为 36 米的 A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部 B 的仰角是 37°，底部 C 的俯角是 60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到 0.1 米）（参考数据：sin37  0.60,cos37  0.80,tan37  0.75,3 1.73）/筱*BAC【答案】【答案】解：过 A 作 AD⊥CB，垂足为点 D．B在 Rt△ADC 中，∵CD=36，∠CAD=60°．∴AD=（第 20 题图）CD3612 3≈20.76．Dtan603A在 Rt△ADB 中，∵AD≈20.76，∠BAD=37°．∴BD=ADtan37≈20.76×0.75=15.57≈15.6（米） ．C答：气球应至少再上升 15.6 米．2727．． （（20102010 福建宁德）福建宁德）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁 1.60 米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A 处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E 处，且与 AD 垂直.已知装饰画的高度 AD 为0.66 米，求：⑴ 装饰画与墙壁的夹角∠CAD 的度数（精确到 1°） ；⑵装饰画顶部到墙壁的距离DC（精确到 0.01 米）.CDEBA【答案】解：⑴∵AD＝0.66，∴AE＝1CD＝0.33.20.33AE＝，AB1.6在 Rt△ABE 中，………………1 分∵sin∠ABE＝∴∠ABE≈12°. ………………4 分/筱*∵∠CAD＋∠DAB＝90°，∠ABE＋∠DAB＝90°，∴∠CAD＝∠ABE＝12°.∴镜框与墙壁的夹角∠CAD 的度数约为 12°.⑵ 解法一：在 Rt△∠ABE 中，∵sin∠CAD＝CD，AD∴CD＝AD·sin∠CAD＝0.66×sin12°≈0.14.解法二：∵∠CAD＝∠ABE，∠ACD＝∠AEB＝90°，∴△ACD∽△BEA.∴∴CDAD.AEABCD0.66.0.331.6∴CD≈0.14.∴镜框顶部到墙壁的距离CD 约是 0.14 米.2828．． （（20102010 四川巴中四川巴中））巴中市某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基3.3 米的一平坝内(如图 11)．测得树顶 A 的仰角∠ACB=60°，沿直线 BC 后退 6 米到点 D，又测得树顶 A的仰角∠ADB=45°．若测角仪 DE 高 1.3 米，求这棵树的高 AM．(结果保留两位小数， 3≈1.732)【答案】设AB=x米，∠ACB=60°，则 BC=3x米，∠ADB=45°，则 BD=x米，∴3x 3x  6，x=93 3，AM=9 3 3  (3.31.3)  7 3 3 12米3答：这棵树的高 AM 为 12 米。

2929．． （（20102010 江苏淮安）江苏淮安）某公园有一滑梯，横截面如图薪示，AB 表示楼梯，BC 表示平台，CD表示滑道．若点 E， F 均段 AD 上， 四边形 BCEF 是矩形， 且 sin∠BAF=(1)∠D 的度数；(2)线段 AE 的长．题 25 图【答案】解： （1）∵四边形 BCEF 是矩形，∴∠BFE=∠CEF=90°，CE=BF，BC=FE，/筱2， BF=3 米， BC=1 米， CD=6 米． 求：3*∴∠BFA=∠CED=90°，∵CE=BF，BF=3 米，∴CE=3 米，∵CD=6 米，∠CED=90°，∴∠D=30°.（2）∵sin∠BAF=2BF292，∴，∵BF=3 米，∴AB=米，AB323∴AF93 52米，∵CD=6 米，∠CED=90°，∠D=30°， 322∴cos 30DE39 3  2∴DE 3 3米，∴AE=米.CD223030．． （（20102010 山东潍坊）山东潍坊）路边的路灯的灯柱 BC 垂直于地面，灯杆 BA 的长为 2 米，灯杆与灯柱 BC 成 120°角， 锥形灯罩的轴线 AD 与灯杆 AB 垂直， 且灯罩轴线 AD 正好通过道路里面的中心线（D 在中心线上） ，已知 C 点与 D 点之间的距离为 12 米，求灯柱 BC 的高（结果保留根号）【答案】解：设灯柱BC 的长为 h 米，过点 A 作 AD⊥CD 于点 H，过 B 作 BE⊥AH 于点 E，∴四边形 BCHE 为矩形，∵∠ABC＝120°，∴∠ABE＝30°，又∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ADC＝60°， 在 Rt△AEB 中， ∴AE＝ABsin30°＝1， BE＝ABcos30°＝3， ∴CH＝3，又 CD＝12，∴DH＝12－3，在Rt△AHD 中，tan∠ADH＝h 1AH3，解得，＝HD123h＝123－4（米） ，∴灯柱 BC 的高为（123－4）米．31.31.（（20102010 湖南郴州）湖南郴州）一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接， 转动手柄可改变ADC的大小（菱形的边长不变） ，从而改变千斤顶的高度（即 A、C 之间的距离）.若 AB=40cm，当ADC从60变为120时，千斤顶升高了多少？（21.414,31.732，结果保留整数）ABC第 22 题D手柄【答案】解: 连结 AC，与 BD 相交于点 O四边形 ABCD 是菱形ACBD,ADB=CDB,AC=2AO当ADC=60时，ADC 是等边三角形AC=AD=AB=40当ADC=120时，ADO=60/筱ABCOD手柄*AO=AD sinAC=403ADO=40×3=2032因此增加的高度为 40340=400.73229（cm）(说明：当ADC=120时，求 AC 的长可在直角三角形用勾股定理)32.32.（（20102010 湖北鄂州）湖北鄂州）如图，一艘舰艇在海面下 500 米 A 点处测得俯角为 30°前下方的海底 C 处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行 4000 米后再次在 B 点处测得俯角为60°前下方的海底 C 处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子 C 点距离海面的深度（结果保留根号） ．【答案】解 法 一 ： 作CF ⊥ AB于F ， 则tan30 CFCF,tan60 AFBF， ∴AF CFCF33CF,BF CF， ∵AF BF  AB  4000， ∴tan30tan6033CF  4000，∴CF  2000 3，∴海底黑匣子 C 点距离海面的深度33CF  5002000 3解法二： 作CF⊥AB于F， ∵CBF  BAC  BCA， ∴BCA  30， ∴BCA BAC，∴BA BC  4000， ∵BCF  90 CBF  30， ∴BF  2000， ∴CF BC2BF2 2000 3，∴海底黑匣子 C 点距离海面的深度 5002000 333.33.（（20102010 江苏扬州）江苏扬州）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌 CD．小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部 D 的仰角为 60°，沿山坡向上走到 B处测得宣传牌顶部 C 的仰角为 45°．已知山坡AB 的坡度 i＝1: 3，AB＝10 米，AE＝15米，求这块宣传牌 CD 的高度． （测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米．参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732）CDB45°60°【答案】解：作 BF⊥DE 与点 F，BG⊥AE 于点 G/筱AE*在 Rt△ADE 中∵tan∠ADE=DE,AE∴DE=AE ·tan∠ADE=153∵山坡 AB 的坡度 i=1：3，AB=10∴BG=5，AG=5 3，∴EF=BG=5，BF=AG+AE=5 3+15∵∠CBF=450∴CF=BF=5 3+15∴CD=CF+EF—DE=20—103≈20—10×1.732=2.68≈2.7答：这块宣传牌 CD 的高度为 2.7 米．34.34.（（20102010 云南红河哈尼族彝族自治州）云南红河哈尼族彝族自治州）如图 5，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D处的俯角为 60°，此后飞机以 300 米/秒的速度沿平行于地面 AB 的方向匀速飞行，飞行 10秒到山顶 D 的正上方 C 处， 此时测得飞机距地平面的垂直高度为12 千米， 求这座山的高 （精确到 0.1 千米）C【答案】解：延长 CD 交 AB 于 G，则 CG=12（千米）P60°依题意：PC=300×10=3000（米）=3（千米）在 Rt△PCD 中：DPC=3，∠P=60°CD=PC·tan∠P12 千米=3×tan60°=3 3∴12-CD=12-3 3≈6.8（千米）AGB答：这座山的高约为 6.8 千米.图PQ5上有一排小树，已知35.35.（（20102010 云南楚雄）云南楚雄）如图，河流的两岸PQ，MN 互相平行，河岸相邻两树之间的距离 CD＝50 米，某人在河岸 MN 的 A 处测的∠DAN＝35°，然后沿河岸走了 120 米到达 B 处，测的∠CBN＝70°，求河流的宽度 CE（结果保留两个有效数字） ．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70Sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【 答 案 】 解 ： 过 点C作CH //DA， 则CHB  DAB  35． 因 为CBE  CHBBCH，所以BCH  CBE CHB  70 35  35，所以BCH  CHB，所以BC  BH因为CD// AH，所以四边形CDAH是平行四边形，所以AH  CD  50，所以BC  BH  AB AH 12050 70．/筱*CE，CB所以CE  BCsinCBE  70sin70  700.94  65.8≈66 ．在直角三角形BEC中，因为sinCBE 所以河流的宽度 CE 为 66 米．36.36.（（20102010 湖北随州）湖北随州）如图，某天然气公司的主输气管道从 A 市的东偏北 30°方向直线延伸，测绘员在 A 处测得要安装天然气的 M 小区在 A 市东偏北 60°方向，测绘员沿主输气管道步行 2000 米到达 C 处，测得小区 M 位于 C 的北偏西 60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长.第 23 题图【答案】解：过 M 作 MN⊥AC，此时 MN 最小，AN＝1500 米3737．． （（20102010 四川乐山）四川乐山）水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库进行加固。

原大坝的横断面是梯形 ABCD，如图（9）所示，已知迎水面 AB 的长为 10 米，∠B＝60，背水面 DC的长度为 103米，加固后大坝的横断面为梯形ABED若 CE 的长为 5 米1）已知需加固的大坝长为100 米，求需要填方多少立方米；（2）求新大坝背水面DE 的坡度 （计算结果保留根号）【答案】解： （1）分别过 A、D 作 AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为 F、G，如图（1）所示在 Rt△ABF 中，AB＝10 米，∠B＝60所以 sin∠B＝AF3,AF 10 5 3AB2DG＝531125CEDG 55 3 3DCE22225需要填方：1003 1250 3（立方米）2所以 S（2）在直角三角形 DGC 中 ，DC＝103，所以 GC＝DC DG 所以 GE＝GC＋CE＝20所以坡度 i＝2210 35 32215DG5 33GE20434答： （1）需要土石方 12503立方米 （2）背水坡坡度为38.38. （（20102010 江苏徐州）江苏徐州） 如图， 小明在楼上点 A 处观察旗杆 BC， 测得旗杆顶部 B 的仰角为 30°，测得旗杆底部 C 的俯角为 60°，已知点 A 距地面的高 AD 为 12m．求旗杆的高度．【答案】/筱*39.39.（（20102010 云南昆明）云南昆明）热气球的探测器显示，从热气球 A 处看一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，A 处与高楼的水平距离为 60m，这栋高楼有多高？（结果精确到 0.1m，参考数据：2 1.414,3 1.732）【答案】解：过点A作BC的垂线，垂足为D点由题意知：∠CAD=45°, ∠BAD=60°,AD=60m在Rt△ACD中，∠CAD=45°, AD⊥BC∴ CD = AD = 60在Rt△ABD中，∵tanBADBDAD∴BD=AD·tan∠BAD=603∴BC=CD+BD=60+603≈163.9 (m)答：这栋高楼约有 163.9m．40.40. （（ 20102010 陕陕 西西 西西 安安 ））在 一 次 测 量 活 动中 ， 同 学 们 要 测 量 某公 园 湖 的 码 头/筱*A 与它正东方向的亭子 B 之间的距离，如图，他们选择了与码头 A、亭子 B 在同一水平面上的点 P，在点P 处测得码头 A 位于点 P 北偏西 30°方向，亭子B 位于点 P 北偏东 43°方向；又测得点P 与码头 A 之间的距离为 200 米。

请你运用以上测得的数据求出码头 A 与亭子 B 之间的距离 （结果精确到 1 米，参考数据：3 1.732,tan43 0.933）【答案】解：过点 P 作 PH⊥AB，垂足为 H，则∠APH=30°，∠BPH=43°在 Rt△APH 中，AH=100，PH=APcos30 100 3.在 Rt△PBH 中，答：码头 A 与亭子 B 之间的距离约为 262 米4141．． （（20102010 四川内江）四川内江） （9 分）为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点 A，再在河这边沿河边取两点B、C，在 B 处测得点 A 在北偏东 30°方向上，在点 C 处测得点 A 在西北方向上，量得 BC 长为 200 米求小河的宽度(结果保留根号).解：A北北C东南西 B东南西【答案】解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.································································· 1 分A北北C东南西 B东南D西根据题意，∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝45°. ··················································· 2 分∴∠CAD＝45°，∴∠ACD＝∠CAD，∴AD＝CD，∴BD＝BC－CD＝200－AD. ················································································ 4 分/筱*在 Rt△ABD 中，tan∠ABD＝AD，BD∴AD＝BD·tan∠ABD＝(200－AD)·tan60°＝ 3(200－AD)， ··································· 7 分∴AD＋ 3AD＝200 3，200 3∴AD＝＝300－100 3. ············································································ 9 分3＋1答：该河段的宽度为(300－100 3)米.4242．． （（20102010 湖北襄樊）湖北襄樊）如图 4， 热气球的探测器显示， 从热气球 A 看一栋大楼顶部 B 的俯角为 30°，看这栋大楼底部C 的俯角为 60°，热气球A 的高度为 240 米，求这栋大楼的高度．图 4【答案】解：过点 A 作直线 BC 的垂线，垂足为 D．则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=240 米．在 Rt△ACD 中，tan∠CAD=CD，AD∴AD=CD24080 3．tan603在 Rt△ABD 中，tan∠BAD=BD，AD380．3∴BD=AD·tan30°=803∴BC=CD－BD=240－80=160．答：这栋大楼的高为 160 米．4343．．4444．．4545．．4646．．4747．．4848．．4949．．5050．．/筱。