注重四基四能提升核心素养-新高考解三角形备考策略.docx

    注重四基四能提升核心素养新高考解三角形备考策略    袁小强 蒋爱国(江苏省兴化市楚水实验学校)通过对近四年新高考、全国卷的研究,不难发现解三角形大题的考查方向灵活多变,与其他数学重点知识(函数、方程、向量等)综合考查,试题考查从单一走向复杂,重点考查学生的题意理解能力和化归与转化的思想,因此需培养学生分析问题与解决问题的能力,同时试题考查要求学生在面对综合性较强的问题和新颖、较为复杂情境时,具有一定的探究能力与创新精神.年份题号背景题型条件个数问题个数考点2019全国Ⅰ卷理科17单三角形求角1+12正弦定理、余弦定理、三角函数的性质2019北京卷理科15单三角形求边,求角32正弦定理、余弦定理、两角和差公式2020山东卷17单三角形结构不良题(三选一)2+11(探究性)正弦定理与余弦定理2021八省联考18四边形求边,求角1+12余弦定理2021新高考Ⅰ卷19多三角形证明,求角2+12正弦定理与余弦定理2022新高考Ⅰ卷18单三角形求角,求最值12倍角公式、两角和差公式、余弦定理、基本不等式1.全国卷解三角形题型统计2.题型分析题型一:静态单三角形1.已知三个条件解三角形(Ⅰ)求b,c的值;(Ⅱ)求sin(B-C)的值.∴b=7,∴c=b-2=5.【评注】本题在一个三角形中考查正弦定理、余弦定理,已知三个条件,往往三角形已经确定了,从而研究边和角,考查角时可以利用三角形内角和为π,考查研究两角和与差的正、余弦公式.2.结构不良题添加条件构成三个条件解三角形∴b=1,c=1.【评注】本题考查解三角形中的正弦定理与余弦定理,20年山东卷第一次出现结构不良试题,已知两个条件,再从三个条件中选一个,构成三个条件,若选条件①②三角形确定并且存在,若选条件③三角形确定但不存在,题中给出①②③三个条件对于解题难易差不多,相当于三个变量三个方程,构造方程组解题.题型二:动态单三角形1.已知两个条件求角【例3】(2019·全国Ⅰ卷理·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(Ⅰ)求A;【解析】(Ⅰ)∵(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC,∴sin2B-2sinBsinC+sin2C=sin2A-sinBsinC.【评注】本题考查正弦定理、余弦定理,该题给了一个条件相当于已知了角A,第(Ⅱ)问加了一个条件:三边的关系,三个变量,只有两个方程,本质上一个三角形只给出两个条件不能解三角形,但是本题三角形的形状固定,从而可以求另外两个定角,动态三角形中有“定角”,体现了数学中的“动”中有“静”.2.已知一个条件求范围即cosAcosB-sinAsinB=sinB,∴cos(A+B)=sinB,即-cosC=sinB.时等号成立),题型三:静态四边形【例5】(2021·八省联考·18)在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=CD=BD=1.(Ⅱ)若AB=2BC,求cos∠BDC.∵AB∥CD,∴∠BDC=∠ABD.(Ⅱ)设BC=x,则AB=2x,在△ABD中,由余弦定理得1=(2x)2+1-2·2xcos∠ABD, ①在△BCD中,由余弦定理得x2=1+1-2cos∠BDC, ②∵CD∥AB,∴∠BDC=∠ABD,【评注】本题考查余弦定理,已知四边形ABCD由△BCD和△ABD两个三角形构成,且两个三角形有公共边BD,且易知∠BDC=∠ABD,第(Ⅰ)问在△BCD中,求边BC,已知△BCD中的两边差一个条件,∠ABD转化为求∠BDC,三角形确定了;第(Ⅱ)问已知△BCD和△ABD中一组角相等,一组边有关系,两个变量构造成方程组,消元即可求解,四边形转化为两个三角形,找出两个三角形角和边之间的关系,通过构造方程组求解.题型四:静态多三角形【例6】(2015·全国Ⅱ卷理·17)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.【解析】(Ⅰ)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又AB=2AC,cos∠ADB=-cos∠ADC,∴AC=1.【评注】本题考查三角形的面积公式、正弦定理和余弦定理,已知在△ABC中,AD平分∠BAC,把大三角形分为两个小三角形,两个三角形有公共边AD,两个角∠ADB和∠ADC互补.又易知AB=2AC,从而用余弦定理构造方程组,可以求出边和角,三个未知数三个方程,消元即可求解.本题解题关键是找出两个三角形角和边之间的关系,通过构造方程组求解.题型五:动态四边形【例7】已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(2a-c)cosB=bcosC.(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)如图,AB=AC,在直线AC的右侧取点D,使得AD=2CD=4,求四边形ABCD面积的最大值.∵(2a-c)cosB=bcosC,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA.在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcosD=16+4-2×4×2cosD=20-16cosD,【评注】本题考查正弦定理、余弦定理和三角函数的性质,四边形ABCD因角D的变化而变化,因此四边形ABCD面积可以分解为两个三角形,△ABC和△ACD的面积都可以用一个变量角D来表示,从而化归为三角函数的最值问题.题型六:动态多三角形(Ⅰ)求角B的大小;∴2sinAsinBcosB-sinCsinAcosA=sin2AcosC.∵A∈(0,π),∴sinA≠0,∴2sinBcosB-sinCcosA=sinAcosC,∴2sinBcosB=sin(A+C),∴2sinBcosB=sin(π-B),∴2sinBcosB=sinB.∴a·1·c·cos∠ABD=c·1·a·cos∠CBD,∴cos∠ABD=cos∠CBD.【评注】本题考查正弦定理、余弦定理和函数的性质,已知在△ABC中角B及其平分线长,从而将△ABC分解为两个三角形,因为a和c之间有关系,而边b又可以用a,c表示,所以△ABC周长转化为用a,c表示,可以把ac或a+c看成整体,多元变量最值问题化归为单元变量最值问题,最后应用函数的单调性即可求解.3.教学反思3.1注重四基四能新高考解三角形大题仍然是深化基础性考查,要求学生深刻理解数学的基本概念和基本思想方法,解三角形中重视正弦、余弦定理及三角形相关性质,重视三角形中边、角的内在联系.要求学生深刻理解边、角相互转化的本质,基于探究的三角形中边角教学活动,深化概念,内化方法.要求中学教学在培养学生的知识、见识上下功夫,在数学知识方法应用的灵活性和创造性上下功夫,在培养关键能力上下功夫.3.2把握命题方向解三角形要善于发现三角形图形和三角形基本量边角之间的关系,体会图形与图形、图形和数量的关系,探索图形之间的规律,借助图形探索解决问题的途径,新高考中解三角形已从单三角形向多三角形、从静态向动态、从单元向多元、从简单向复杂等方向进行考查.在教学中,应该鼓励学生多角度思考、主动深化探究,从思维角度研究边角转化关系,从运算角度探究数学运算关系,帮助学生理解其中蕴涵的“数形结合” “化归与转化”等重要数学思想.3.3提高核心素养  -全文完-。