微分方程及其分类(§9.1).ppt

§8.1 §8.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念二、几类简单的微分方程二、几类简单的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程齐次微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程微分方程、微分方程、微分方程的解微分方程的解通解与特解、通解与特解、初始条件初始条件 例例1 求过点求过点(1, 3)且切线斜率为且切线斜率为2x的曲线方程的曲线方程 解：解：设所求的曲线方程是设所求的曲线方程是y y(x)，则根据题意有，则根据题意有其中其中y(1)表示表示x 1时时y的值 y  2x，， y(1) 3，， 定定义义8.1 含含有有未未知知函函数数的的导导数数或或微微分分的的方方程程称称为为微微分方程 y  2x 含有待求函数的导数，是微分方程含有待求函数的导数，是微分方程 微分方程：微分方程：一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念 例例2 已已知知质质点点在在时时刻刻t的的加加速速度度为为t2 1，，且且当当t 0时时，，速度速度v 1、距离、距离s 0，求此质点的运动方程。

求此质点的运动方程 s  t 2 1含有待求函数的导数，是微分方程含有待求函数的导数，是微分方程 例例1 y  2x 是微分方程是微分方程 定定义义8.1 含含有有未未知知函函数数的的导导数数或或微微分分的的方方程程称称为为微微分方程微分方程：微分方程： s  t 2 1，， s (0) 1，， s(0) 0 解：解：设此质点的运动方程为设此质点的运动方程为s s(t)，则有，则有一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念 未知函数为一元函数的微分方程称为未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程常微分方程 例如，例如， y  2x 和和s  t 2 1都是常微分方程都是常微分方程 未未知知函函数数为为多多元元函函数数，，从从而而出出现现多多元元函函数数的的偏偏导导数数的方程，称为的方程，称为偏微分方程偏微分方程。

例如例如 zxx  zyy  0，，yzx  xzy  0都是偏微分方程都是偏微分方程常微分方程与偏微分方程：常微分方程与偏微分方程： 例例2 s  t 2 1也是微分方程也是微分方程 例例1 y  2x 是微分方程是微分方程 定定义义8.1 含含有有未未知知函函数数的的导导数数或或微微分分的的方方程程称称为为微微分方程微分方程：微分方程：一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念 微微分分方方程程中中出出现现的的各各阶阶导导数数的的最最高高阶阶数数称称为为微微分分方方程的阶微分方程的阶：微分方程的阶：提问：提问： 方程方程 y  2x 和和 s  t 2 1都是几阶微分方程？都是几阶微分方程？ 例例2 s  t 2 1也是微分方程也是微分方程 例例1 y  2x 是微分方程是微分方程 定定义义8.1 含含有有未未知知函函数数的的导导数数或或微微分分的的方方程程称称为为微微分方程。

分方程微分方程：微分方程：一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念 定定义义8.2 如如果果一一个个函函数数代代入入微微分分方方程程后后，，方方程程两两端端恒等，则称此函数为该微分方程的解恒等，则称此函数为该微分方程的解微分方程的解：微分方程的解： 例例1 求过点求过点(1, 3)且切线斜率为且切线斜率为2x的曲线方程的曲线方程 解：解：设所求的曲线方程是设所求的曲线方程是y y(x)，则根据题意有，则根据题意有 y  2x，， y(1) 3 在方程在方程 y  2x 的两边求不定积分得的两边求不定积分得 y x2 c (c为任意常数为任意常数) 函数函数 y x2 c 就是微分方程就是微分方程y  2x的解 将将 y(1) 3 代入代入 y x2 c，求得，求得c 2 过点过点(1, 3)且切线斜率为且切线斜率为2x的曲线方程为的曲线方程为 y x2 2  s  t 2 1，， s (0) 1，， s(0) 0。

例例2 已已知知质质点点在在时时刻刻t的的加加速速度度为为t2 1，，且且当当t 0时时，，速度速度v 1、距离、距离s 0，求此质点的运动方程求此质点的运动方程 解：解：设此质点的运动方程为设此质点的运动方程为s s(t)，则有，则有由由s(0) 0可得可得c2 0 由由s (0) 1可得可得c1 1；； 如果微分方程的解中所含任意常数的个数等于微分如果微分方程的解中所含任意常数的个数等于微分方程的阶数，则此解称为微分方程的通解在通解中给方程的阶数，则此解称为微分方程的通解在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解称为特解予任意常数以确定的值而得到的解称为特解通解与特解：通解与特解： 函数函数y x2 c和和y x2 2都是微分方程都是微分方程 y  2x 解；解； 函数函数y x2 c是微分方程是微分方程 y  2x 的通解；的通解； 函数函数y x2 2是微分方程是微分方程 y  2x 的特解。

的特解都是微分方程都是微分方程s  t 2 1的解，的解，前者是通解，后者是特解前者是通解，后者是特解 例如，在例例如，在例1中中 >>>>>> 例如，在例例如，在例2中中 >>>>>> 求求一一阶阶微微分分方方程程的的特特解解需需要要一一个个初初始始条条件件，，求求二二阶阶微分方程的特解需要两个初始条件，依此类推微分方程的特解需要两个初始条件，依此类推初始条件：初始条件： 用于确定通解中的任意常数的条件称为初始条件用于确定通解中的任意常数的条件称为初始条件 例如，在例例如，在例1中中 >>>>>> 例如，在例例如，在例2中中 >>>>>> y(1) 3是初始条件是初始条件 s (0) 1，，s(0) 0都是初始条件都是初始条件二、几类简单的微分方程二、几类简单的微分方程 如果一个一阶微分方程如果一个一阶微分方程F(x, y, y ) 0能写成能写成 g(y)dy f(x)dx的的形形式式，，那那么么原原方方程程F(x, y, y ) 0就就称称为为可可分分离离变变量量的的微分方程。

微分方程 方程方程g(y)dy f(x)dx称为变量已分离的微分方程称为变量已分离的微分方程可分离变量的微分方程：可分离变量的微分方程：例如：例如： 如果一个一阶微分方程如果一个一阶微分方程F(x, y, y ) 0能写成能写成 g(y)dy f(x)dx的的形形式式，，那那么么原原方方程程F(x, y, y ) 0就就称称为为可可分分离离变变量量的的微分方程微分方程 方程方程g(y)dy f(x)dx称为变量已分离的微分方程称为变量已分离的微分方程可分离变量的微分方程：可分离变量的微分方程：例如：例如：是可分离变量方程是可分离变量方程 二、几类简单的微分方程二、几类简单的微分方程的形式，则称原方程为齐次微分方程的形式，则称原方程为齐次微分方程 如果一阶微分方程可写成如果一阶微分方程可写成齐次微分方程：齐次微分方程：例如：例如：二、几类简单的微分方程二、几类简单的微分方程 形如形如 y p(x)y  q(x)的方程称为一阶线性微分方程。

的方程称为一阶线性微分方程 如如果果q(x) 0，，则则方方程程称称为为一一阶阶线线性性齐齐次次方方程程，，否否则则方程称为方程称为一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程一阶线性微分方程：一阶线性微分方程：例如：例如： y y cos x e sin x ，， 是一阶线性非齐次方程是一阶线性非齐次方程 二、几类简单的微分方程二、几类简单的微分方程 形如形如 y   py  qy f(x) ( p、、q均为常数均为常数)的方程称为二阶常系数线性微分方程的方程称为二阶常系数线性微分方程 如如果果f(x) 0，，则则上上述述方方程程称称为为二二阶阶常常系系数数线线性性非非齐齐次微分方程次微分方程；； 如如果果f(x) 0，，则则上上述述方方程程称称为为二二阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次微分方程微分方程二阶常系数线性微分方程：二阶常系数线性微分方程：例如：例如： y  2y  5y  0是二阶常系数线性齐次微分方程是二阶常系数线性齐次微分方程。

y  2y  3y 3x 1是二阶常系数线性非齐次微分是二阶常系数线性非齐次微分方程二、几类简单的微分方程二、几类简单的微分方程。