第十三讲刚体地运动和动力学问的题目.doc

第十三讲 刚体的运动学与动力学问题一 竞赛内容提要 1刚体；2、刚体的平动和转动；3、刚体的角速度和角加速度； 4、刚体的转动惯量和转动动能；5、质点、质点系和刚体的角动量； 6、转动定理和角动量定理；7、角动量守恒定律二竞赛扩充的内容1、 刚体：在外力的作用下不计形变的物体叫刚体刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定 轴的转动，刚体的任何复杂运动均可由这两种基本运动组合而成2、 刚体的平动；刚体的平动指刚体内任一直线在运动中始终保持平行，刚体上任意两点运动的 位移、速度和加速度始终相同3、刚体绕定轴的转动； 刚体绕定轴的转动指刚体绕某一固定轴的转动，刚体上各点都在与转轴垂直的平面内做圆周运动， 各点做圆周运动的角位移 ①、角速度3和角加速度3相同（可与运动学的s、v、a进行类比）且有:AG Ago1机可；3」円可当3为常量时，刚体做匀加速转动，类似于匀加速运动，此时有:23 = 3 0+ 3 t ； ①=① 0+ 3 0t+ 3 t /2；3 2- 3 02=2 3 （①一①0）式中，①0、3 0分别是初始时刻的角位移和角速度对于绕定轴运动 的刚体上某点的运动情况，有： v= 3 R, aT= 3 R, an=3 2R=v2/R,式中，R是该点到轴的距离，an分别是切向加速度和法向加速度。

例1 有一车轮绕轮心以角速度 3匀速转动，轮上有一小虫自轮心沿一根辐条向外以初速度 V0、加速度a作匀加速爬行，求小虫运动的轨迹方程例2 一飞轮作定轴转动，其转过的角度 B和时间t的关系式为：0 =at+bt2 — ct3,式中，a、b、c 都是恒量，试求飞轮角加速度的表示式及距转轴 r处的切向加速度和法向加速度例3如图所示，顶杆 AB可在竖直槽K内滑动，其下端由凸轮 绕O轴以匀角速度3转动，在图示瞬间， OA=r,凸轮轮缘与 法线n与OA之间的夹角为a，试求此瞬时顶杆 OA的速度例4人在电影屏幕上看到汽车向前行驶，车轮似乎并没有转动时，则汽车运 动的可能的最小速度是多少？已知电影每秒钟放映 24个画面，车轮半径为0.5m.例5在水平路面上匀速行驶的拖拉机前轮直径为 0.8m，后轮直径为1.25m，两轮的轴的距离为 2m，如图所示，在 行驶过程中，从前轮边缘的最高点 A处水平飞出一小石块， 0.2s后后轮边缘的最高点 B处也水平飞出一小石块，这两 块石块先后落在地面上同一处，求拖拉机行驶时速度的大 小例6如图所示，由两个圆球所组成的滚珠轴承内环半径为R2，外环半径为r1，在两环之间分布的小球半径为 r。

外环以线速度 ▼1顺时针方向转动，而内环则以线速度 v2顺时针方向转动，试求小球中心在围绕圆环的中心顺时针 转动的线速度v和小球自转的角速度 3设小球与圆环间无滑动vRRi例7 一木板从空中下落，某时刻，板上 a、b两点速度相同，va=vb=v, a、b两点均位于板面上, 同时还发现板上 c点速度为2v, c点到a和b两点的距离等于 a和b两点间的距离问板上那些 点的速度等于3v ?4、力矩 （1）对转动轴的力矩 如图，转动轴过 O点并垂直于纸面，过P点的力F对O轴的力矩M=Fr其中，r为力臂r= p sin 0 ,••• M=Fsin 0 p即，F对轴O的力矩，等于 F垂直于 OP连线的分力F e与OP的积：M=F「pF当力的作用线不在垂直于轴的直线上时， 可将力F分解为平行于轴的分量 巳 和垂直于轴的分量 F丄，其中，巳对物体绕轴的转动没有贡献， F丄就是F在垂 直于轴的平面上的投影，此时， F对轴的力矩可写成： M= F丄・p sin 02）对参考点的力矩 如图，F对0点的力矩M=Fsin 0 p5、 质点的角动量如右下图，质点 m对 点0的角动量L=r Xp=r psin 0 =mv - r sin 0 ,角 动量又叫做动量矩（与力矩类比）。

同一质点对不同的参考点的角动量 是不同的特别地，当 p丄r时，角动量L=mvr6、 质点系（或刚体）的角动量I是刚体的转动惯量（I的数值不即各质点角动量的总和， L=刀imv『i= （ Emiri2） « =I 3其中, 要求会计算）质点对轴的转动惯量为：I=mr2, r是转动半径7、刚体的转动动能 中，转动动能的大小：冈U体的动能包括质心的平动动能（ EK=mv2/2 ）和相对质心的转动动能，其2 2 2 2Ek= E miVi/2=1/2 （E m『i ） 3 = （1/2） I 38刚体绕定轴转动的基本规律（1） 力矩M和角加速度B的关系 M=l 3 （类比于F=ma）; （2）合力矩做的功和刚体转动动能 的关系 W=F • S=F • r 0 =M 0 = （1/2） I 3 f—（ 1/2） I 32 （与动能定理类比）2） 质点、质点系或刚体的角动量定理 L= Emiviri （若是质点则不用E符号），U L/"t= E" L/"t= E（ Fi + fi） ri，式中，Fi表示第i个质点受到的外力，fi表示该质点受到的系统内力•••内力矩为零，•••" L/" t= E Firi=M外，即M外"t=Lt— L。

与动量定理类比）角动量定理可写成分 量式3）质点、质点系或刚体的角动量守恒定律 当M外=0时，L=恒量（与动量守恒类比），即系统的角动量守恒其中， M外=0有以下三种情况：（i）体系不受外力，即 Fi=o （合外力为零工合力矩为零，如力偶矩的情况）；（ii）所有外力都通过定点（这种外力叫有心力，如卫星所受的万 有引力），尽管外力的矢量和不为零， 但每个外力的力矩都为零；（iii）每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零 a , .一m，1“0例8、质量为m,长为I的均质细杆，绕着过杆的端点且与杆垂直的轴以角速度3转动时，它的动能和相对端点的角动量的大小分别为Ek=I 3 2/2, L=I 3，其中，I=ml 2/3，现将此杆从水平位置由静止释放，设此杆能绕着过 A的固定光a滑细轴摆下，当摆角从 0达0时，试求：（1）细杆转动的角速度 3和角加速度3 ； （2）固定光滑 细轴为杆提供的支持力例9、质量为M,半径为R的均质圆盘，绕过圆心且与圆盘垂直的轴以角速 度3旋转时的角动量大小为 L=I 3 ,其中，I=MR 2/2，如图，细绳质量可忽略, 绳与圆盘间无相对滑动，滑轮与轴之间无摩擦， mj>m2,试求物体运动的加速度。

例10、在光滑的水平面上，两个质量分别为 mi和m2的小球，用长为I的轻线连接，开始时, 线正好拉直，m1和m2的速度分别为v1和v2 （v1> v2）,它们的方向相同，并垂直于连线，试求：系统相对质心的角动量为多大？ （ 2）线中的张力为多大？例11、如图所示，在光滑水平面上，质量均为 M的两小球用长为I的轻杆相连，另一质量为 m的小球以v0的速率向着与杆成 0角的方向运动，若（1）碰后m以Vo/2的速率沿原路线反弹， 试求碰后轻杆系统绕其质心转动的角速度 32）若M=m，且0 =45小球m以某一速率Vo与杆上一球发生弹性碰撞后，沿垂直于原速度 的方向运动，如图虚线箭头所示方向，求碰后小球的速度及轻杆绕其质心转动的角速度例12、一质量m=1 .40 >104kg的登陆飞船，在离月球表面高度 h=100km处 绕月球做圆周运动，飞船采用如下登月方式：当飞船位于图中 A点时，它向外侧（即沿 OA方向）短时间喷气，使飞船与月球相切地到达 B点，且OA丄OB，试求飞船到达月球表面时的速度已知月球半径 R=1700km，月球表面的重力加速度为 g=1.62m/s2B'AAR例13、如图，一长为 L,质量为m的均质棒被两根细线水平悬挂在天花板 上，某时刻，右边的线断了，问线断瞬间，左边线中的张力是多大？已知棒 绕其一端的转动惯量l=ml 2/3。

例14、一颗卫星沿椭圆轨道绕地球运行，在近地点，卫星与地球中心的距离为地球半径的 3倍,卫星的速度为在远地点时速度的 4倍，求在远地点时卫星与地球中心的距离为地球半径的多少倍例15、两个质量均为 m的小球，用长为I的绳子连接起来，放在一光滑的水平桌面上，给其中一个小球以垂直于绳子方向的速度 V如图所示，求此系统的运动 ||规律和绳中的张力大小IA例16、小滑块A位于光滑的水平桌面上， 小滑块B位于桌面上的光滑小槽 中，两滑块的质量都是 m，并用长为I、不可伸长的、无弹性的轻绳相连， 如图所示，开始时，A、B间的距离为I/2，A、B间的连线与小槽垂直，今给滑块A 一冲击，使其获得平行于槽的速度 Vo,求滑块B开始运动时的速度例17、如图所示，质量均为 m的两小球系于轻弹簧的两端，并置于光滑水平桌面 上弹簧原长为a，劲度系数为k今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等 值反向的初速度，若在以后运动过程中弹簧的最大长度 b=2a，求两球的初速度V锥顶 h高处以一定初速度沿内壁水平射出 冒的 （1）为使小球在h处的水平面上做（2）若初速 w=2vo，求小球在运动过程中例18、在半顶角为a的圆锥面内壁离锥顶 一质量为m的小球，设锥面内壁是光滑的。

匀速圆周运动，则初速 vo为多少？（ 2） 的最大高度和最小高度例19、（ 1）质量为m的人造地球卫星作半径为 r0的圆轨道飞行，地球质量为 M，试求卫星的总 机械能；（2）若卫星运动中受到微弱的磨擦阻力 f （常量），则将缓慢地沿一螺旋轨道接近地球，因f很小，轨道半径变化非常缓慢，每周的旋转都可近似处理成半径为 r的圆轨道运动，但 r将逐周缩短，试求在r轨道上旋转一周，r的改变量"r及卫星动能Ek的改变量"Ek例20、图中a为一固定放置的半径为 R的均匀带电球体，O为其球心，已知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为 U=1000V在离球心O很远的O'点附近有一质子 b，它以EK=2000eV的动能沿与 O' O . I平行的方向射向a,以L表示b与O' O线间的垂直距离 1 要使质子b能够与带电球体 a的表面相碰，试求 L的最大值把质子换成电子，再求 L的最大值例21、由火箭将一颗人造卫星送入离地面很近的轨道，进入轨道时，卫星的速度方向平行于地i面，其大小为在地面附近做圆运动的速度的 3/2倍，试求该卫星在运行中与地球中心的最远距离例22,如图所示，在水平光滑平面上开有一个小孔，一条绳穿过小孔，其 两端各系一质量为 m的物体，桌上的物体则以 vo=3 2gr0 2的速率做半 径为ro (即桌上部分的绳长)的匀速圆周运动，然后放手，求以后的运动 中桌上部分绳索的最大长度和最小长度。

例23, 一块半径为 R的水平轻质圆盘，可绕过其圆心 0的竖直轴自由旋 转，在圆盘下面的边缘处等间隔地系有四个质量都为 m的小球，如图所示开始时，圆盘静止，一辆质量也为 m的玩具汽车从 0出发，以恒定 的相对于盘的速率 vo沿半径驶往盘边，并沿盘边行驶，试求：(1)当玩具汽车沿半径行驶时，圆盘的转动角速度 3 1； (2)当玩具汽车沿盘边行驶时，圆盘的转动角速度 3 2例24，若上题中的竖直轴不经过圆心，而经过某一小球的位置处，玩具汽车从该轴处以恒定的相对于圆盘的速率 V沿盘边行驶，试求：(1)当玩具汽车行驶到第二小球位置处(即行驶了半圈)时，圆盘的转动角速度 3 1； ( 2)当玩具汽车行驶到第三小球位置处(即行驶了 3/4圈)时,圆盘的转动角速度 3 2； (3)当玩具汽车回。