《高等数学(一)》期末试题解答2n.doc

1《高等数学》期末闭卷考试题参考解答一. 填空题（请将正确答案填在题中的横线上，每小题 2 分，共 20 分）：1．设已知 则 ＝ .12(log)1,afx()fxlog(1)2ax2． . 0limcsx3．若 ，则 a = ，b = .5)(onlibxae144．.函数 的可去间断点是 x0 = 0 , 补充定义 f (x0) = – 2 , 21())xf则函数 f (x)在 x0 处连续.5．设函数 ，则 – 2 . )sin1l(2x)4('f6．设五次方程 有五个不同的实根，则方程54320250axaax最多有 4 个实根. 43201340ax7．设函数 ＝ .()() nffxx、 则 1(1))!nnx8．已知 f (x)的一个原函数为 ln 2 x，则 2ln x  ln 2 x + C .(fd9． . 300(),1,)aaffdfx设 则 4(1)a10． . 2lim(axtxe若 ,则 常 数 52二、单项选择题（每小题 2 分，共 10 分）：1．设函数 的定义域是[-4，-π]∪[0，π]，则 =（ ① ()16ygx ()gx）.① ② ③ ④ sincosxtanxcot2． “ 为无穷小量”是“ ”的( ③ ) .0()xfA当 时 ， － 0lim()xfA① 充分但非必要 ② 必要但非充分 ③ 充要条件 ④ 既非充分也非必要 3．设 , 则 ( ④ ) . ()xyfedy2① ② '()xfed '()xfed③ ④ ' '4． 1() ())(01).nfxn Rx 的 阶 麦 克 劳 林 展 开 式 的 拉 格 朗 日 型 余 项 　 　① ② 1()nx 1(1)n③ ④ 12()n　 12()nx5．在开区间 内， 和 满足 ，则一定有（ ④ ）,ba)(xfg''gxf① ； ② ； )(gxf 1)(x③ ； ④ .'' )]([][xd df三、计算下列各题（每小题 7 分，共 49 分）：1．求极限 .01limsinxxe解： 3 分200()liliixxx e6 分0limxxe7 分1.22. 已知 在 x = 0 处可导，求常数 .arcos,()xfxb ba,解：因为 f(x)在 x = 0 处可导必连续，所以2 分0lim()li()xfff3 分 2b得又因为 f(x)在 x = 0 处可导，所以 4 分0()lixf存 在37 分2000arcos12limli()li, (0).xxxbaf＋＋3. . arctn2 '"yxey设 方 程 确 定 是 的 函 数 ,求 与解： 2 分arct 22' 1'()yxxyx4 分arctn2(')(') ' yxxye化 简 得7 分222(1')()1'(')"' "()xyxyy又将 代 入 上 式 化 简 得 4. .dxtAyttfyextftf tf )()()(cos0)()( 2)(  使试 求若可 微 且设解： 5 分2 2() ()sin'sin()'ft ftdyAtxee＝7 分2()iftdx5. 求 . dx2ln解： 2 分2lnlxd4 分1l＝6 分2lnx＝7 分＝ ＋ C46. 20(),(1);(2)()xtFedFxyFx设 试 求 ： 的 极 值 曲 线 的 拐 点 的 横 坐 标3 分24401'[]'0 "()1),"()2()0.xtxexFFF 解 ： 令是 的 极 小 值 点 的 极 小 值 为7 分4121 (2)"()2)0,1 "(), 0,21 "(),1 () .2xexxFxxyx又 令当 -时 , 当 时 当 时 ,曲 线 拐 点 的 横 坐 标 为7．计算 .21sin()xfd解： 3 分2211i()xf dx5 分12()7 分10arctnx四、应用题（每小题 8 分，共 16 分）：1. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半园.截面的面积为 5m2. 问底宽 x 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？解：设截面的周长为 l , 已知 1 分2xly截面的面积为 ,即 3 分2()5xy8故 4 分1040,,4xl因为 ， 令 得驻点 6 分22',"llx'l0x5又因为 ，驻点唯一，故极小值点就是最小值点. 7 分"0l所以截面积的底宽为 才能使截面的周长最小，从而使建造时所40x用的材料最省. 8 分(不考)2. 求抛物线 及其在点 和 处的切线所围成的243yx(0,3)(,0)图形的面积 .解： 2 分003'(),'2xxxy所以抛物线 在点 和 处的切线方程分别为243y(,)(,0)2 分,6xx且这两条切线的交点为 ，则所求图形的面积为()28 分3 3220 2 9(4(643)4Sxxdxxd五、证明题（5 分）：证明：当 x > 0 时， . x1ln)(证明 令 ， 1 分()ftt在区间 上满足拉格朗日中值定理，于是在 中存在至少()ft]1,[x ),(x一点 ，使得  xxf 1ln)l(1ln)(即 2 分ln()xx而 ，又因为 ，所以 ，10lxln)l(即 .（ x > 0） 2 分xln)(。