高中数学 第一章 三角函数 6 余弦函数的图像与性质 北师大版必修4.ppt

第一章￿￿￿￿三角函数§6 余弦函数的图像与性质学习目标1.会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数的图像.2.理解余弦函数的性质，会求y＝Acos x＋B的单调区间及最值.3.会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，能根据图像解简单的三角不等式.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1　　知识点一　余弦函数的图像根据y＝sin x和y＝cos x的关系，你能利用y＝sin x，x∈R的图像得到y＝cos x，x∈R的图像吗？答案答答案案　能，根据cos x＝sin(x＋ )，只需把y＝sin x，x∈R的图像向左平移 个单位长度，即可得到y＝cos x，x∈R的图像.思考2　　类比“五点法”作正弦函数图像，那么余弦函数图像能否用“五点法”作图？若能，y＝cos x，x∈[0，2π]五个关键点分别是什么？答案答答案案　能，五个关键点分别是(0，1)，( ，0)，(π，－1)，( ，0)，(2π，1).梳理梳理余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像叫作 .余弦曲线思考1　　知识点二　余弦函数的性质余弦函数的最值是多少？取得最值时的x值是多少？答案答案　对于余弦函数y＝cos x，x∈R有：当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1；观察余弦函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图像：函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图像如图所示.答案思考2　　余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案答案　观察图像可知：当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1；当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1.答案梳理梳理函数y＝cos x定义域R值域[－1，1]奇偶性偶函数周期性以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期单调性当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)时，函数是增加的；当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，函数是减少的最大值与最小值当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1题型探究解答类型一　用““五点法””作余弦函数的图像例例1　用“五点法”作函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图.解解　列表：x0π2πcos x10－1011－cos x01210描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示.作形如y＝acos x＋b，x∈[0，2π]的图像时，可由“五点法”作出，其步骤：①列表，取x＝0， ，π， ，2π；②描点；③用光滑曲线连线成图.反思与感悟解答跟踪训练跟踪训练1　用“五点法”作函数y＝2cos x＋1，x∈[0，2π]的简图.描点，连线得：类型二　余弦函数单调性的应用例例2　(1)函数y＝3－2cos x的递增区间为__________________.[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)答案解析解析解析　y＝3－2cos x与y＝3＋2cos x的单调性相反，由y＝3＋2cos x的递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，∴y＝3－2cos x的递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z).解答单调性是对一个函数的某个区间而言的，不同函数，不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2　比较大小.解答(2)sin 378°与cos(－641°).解答解解　sin 378°＝sin(360°＋18°)＝sin 18°＝sin(90°－72°)＝cos 72°，cos(－641°)＝cos(720°－641°)＝cos 79°，又cos 72°>cos 79°，∴sin 378°>cos(－641°).类型三　余弦函数的定义域和值域解答例例3　(1)求f(x)＝ 的定义域.解答(2)求下列函数的值域.①y＝－cos2x＋cos x；∵－1≤cos x≤1，当cos x＝－1时，ymin＝－2.解答∵－1≤cos x≤1，∴1≤2＋cos x≤3，求值域或最大值、最小值问题的依据(1)sin x，cos x的有界性.(2)sin x，cos x的单调性.(3)化为sin x＝f(y)或cos x＝f(y)，利用|f(y)|≤1来确定.(4)通过换元转化为二次函数.反思与感悟答案解析当堂训练A.－1，3 B.－1，1C.0，3 D.0，1√√22334411答案解析55∴ymin＝－1，ymax＝3.答案√√2.下列函数中，周期为π，且在 上为增函数的是2233441155答案解析2233441155解析解析　∵0°<15°<35°<90°，且y＝cos x在[0°，90°]上是减少的，∴cos 15°>cos 35°.4.比较大小：(1)cos 15°___cos 35°；>2233441155答案解析<2233441155答案解析22334411555.函数y＝cos(－x)，x∈[0，2π]的递减区间是______.[0，π]解析解析　y＝cos(－x)＝cos x，其递减区间为[0，π].答案解析规律与方法1.对于y＝acos x＋b的图像可用“五点法”作出其图像，其五个关键点是最高点、最低点与x轴相交的点.2.通过观察y＝cos x，x∈R的图像，可以总结出余弦函数的性质.3.利用余弦函数的性质可以比较三角函数值的大小及求最值.本课结束。