考研数学线性代数考试大纲.doc

线性代数  一、行列式  考试内容  行列式的概念和基本性质(转置不变 交 换两行变号 公因子 成比例 分行可加 性 一行乘数加另一行不变) 行列式按 行（列）展开定理(余子式 代数余子式) 行列式的计算(三角式 反的猛 数学归 纳法)  考试要求  1．了解行列式的概念，掌握行列式的性 质．2．会应用行列式的性质和行列式按行 （列）展开定理计算行列式．  二、矩阵  考试内容 矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的 乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩 阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩 阵的初等变换(求逆矩阵 解方程组 求行 列式 求向量组极大无关组) 初等矩阵 矩阵的秩( 对非零子式的理解) 矩阵等价 分块矩阵及其运算(相互的分块之间也是 同型矩阵)  考试要求  1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数 量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称 矩阵和反对称矩阵，以及它们的性 质． 2． 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置， 以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方 阵乘积的行列式的性质3． 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的 性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴 随矩阵求逆矩阵． 4．掌握矩阵的初等变换，了解初等矩 阵的性质和矩阵等价的概念，理解 矩阵的秩的概念，掌握用初等变换 求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5． 了解分块矩阵及其运算． 三、向量考试内容向量的概念 向量的线性组合和线性表示 (不考虑系数是否为零) 向量组的线性相 关与线性无关(考虑是否存在一组系数不 为零) 向量组的极大线性无关组 等价向 量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的 秩之间的关系 向量空间以及相关概念 n 维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩 阵 向量的内积 线性无关向量组的正交 规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其 性质 考试要求1．理解 n 维向量的概念、向量的线性组 合与线性表示的概念． 2．理解向量组线性相关、线性无关的 概念，掌握向量组线性相关、线性无关的 有关性质及判别法． 3．了解向量组的极大线性无关组和向 量组的秩的概念，会求向量组的极大线性 无关组及秩． 4．了解向量组等价的概念，了解向量组 的秩与与其行（列）向量组的关系．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩 与其行(列)向量组的秩之间的关系(矩阵 的秩等于行向量组的秩也等于其列向量 组的秩 极其注意与最高非零子式的关 系)5．了解 n 维向星空间、子空间(数乘封 闭 加法封闭)、基底(极大无关组中 的向量) 、维数(秩) 、坐标( 系数) 等 概念． 6．了解基变换和坐标变换公式，会求 过渡矩阵．7．了解内积(交换 线形 分配) 的概念， 掌握线性无关向量组标准规范化的施密特 （SChnddt）方法． 8．了解标准正交基(不是对称阵的特权) 、 正交矩阵的概念，以及它们的性质．四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆(又译：克拉默) （Cramer）法则 齐次线性方程组有非 零解的充分必要条件 非齐次线性方程 组有解的充分必要条件 线性方程组解 的性质和解的结构 齐次线性方程组的 基础解系( 单个解向量)和通解 解空间 (解向量的线形组合) 非齐次线性方程 组的通解( 行变换 最简型)考试要求  l．会用克莱姆法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充 分必要条件及非齐次线性方程组有解的充 分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系、 通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程 组的基础解系和通解的求法。

4．理解非齐次线性方程组解的结构及 通解的概念．5．掌握用初等行变换求解线性方程组 的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容 矩阵的特征值和特征向量的概念及性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质(相似 同秩，但同秩未必相似) 矩阵可相似对角 化的充分必要条件(存在 n 个线形无关特 征向量) 及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵考试要求1 ．理解矩阵的特征值和特征向量的概 念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量 2 ．了解相似矩阵的概念、性质及矩阵 可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩 阵化为相似对角矩阵的方法3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向 量的性质(n 重特征值有 n 个线形无 关的特征向量 不同特征值所对应 的特征向量必正交)六、二次型 考试内容 二次型及其矩阵表示 合同变换与合同 矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的 标准形( 只反映特征值的正负个数) 和规范形(系数只能是 1，-1，0) 用正交变 换(系数是特征值)和配方法化二次型为 标准形 二次型及其矩阵的正定性考试要求  1．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次 型秩的概念(与其矩阵表示同秩) ，了 解合同变化和合同矩阵的概念 了解 二次型的标准形、规范形的概念以及 惯性定理( 涉及到正负惯性系数) ． 2．掌握用正交变换化二次型为标准形 的方法( 仅此法能判定二次型形状) ，会用配 方法化二次型为标准形． 3．理解正定二次型、正定矩阵的概念， 并掌握其判别法(定义 秩 与 E 合同 正惯 性系数为零 顺序主子式)。