小六数学第17讲：工程问题(教师版).pdf

中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 第十八讲工程问题 工程问题指的是与工程建造有关的数学问题然而其内容已不仅是工程方面的，还包括 水管注水、行路等许多方面 工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式： 工作量 =工作效率工作时间 工作时间 =工作量工作效率 工作效率 =工作量工作时间 工作量指工作的多少，它可以是全部工作量，一般用单位“1”表示；也可是部分工作 量，常用分数表示例如，工程的一半表示成 1 2 ，工程的三分之一表示成 1 3 工作效率指工作的快慢，也就是单位时间里所干的工作量工作效率的单位是一个复合 单位，用“工作量天”或“工作量时”等表示但在不引起误会的情况下，一般不写工 作效率的单位 工程问题可分为两类：一类是已知具体工作量，另一类是未给具体工作量在解答工程 问题时，我们要遵循以下原则：一是工作量没有具体给出的，可设工作量为单位“1” ；二是 由于工作总量为 “1” ，那么，参与这项工作的每个人（队）单独做的工作效率可用此人（队） 单独做的工作时间的倒数表示 解题过程中， 我们会发现，解答工程问题，常常是围绕找工作效率进行中，有些工作效 率可以通过工作时间得到，而有些则要根据“工程”进程变化规律得到。

在解题时，我们要 弄清原来的、现在的之间的关系，以两者关系为突破口解答问题 由于工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者间关系的问题因此我们就要从 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 题目中发掘出三者之中的两者，特别是找出工作效率，这往往是解题的关键，也是本讲的重 点内容 例 1：甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6 天完成了，乙、丙合修2 天完成余下 工程的，剩下的再由甲、 乙、丙三人合修5 天完成， 现领工资共180 元，按工作量分配， 甲、乙、丙应各领多少元？ 思路剖析 此题看上去有点复杂，其实问题的关键在于求出甲、乙、丙三个各自的工作效率 由已知条件， 甲、 乙合作 6 天完成了， 故可求出甲、 乙两人的工作效率和， 即， 同样可求出乙、丙两人工作效率以及甲、乙、丙三人工作效率的和从而可求出甲、乙、丙 三人各自的工作效率，进而根据他们各自完成的工作天数（即工作量） 求出他们应领到的工 资 解答 因为甲、乙合修了6 天完成工作的，所以甲、乙两人的工作效率和为 剩下的工作量为， 剩下工作量的为， 由乙、丙两天完成， 所以乙、 丙的工作效率和为。

最后剩下的工作量为，由甲、乙、丙三人5 天完成，所以甲、乙、丙三个 的工作效率和为因此，甲的工作效率为 因此，甲的工作效率为，丙的工作效率为，乙的工作效率为 进而，甲完成的工作量为，乙完成的工作量为 ，丙完成的工作量为 所以，甲应领工资，乙应领工资，丙应领工资 3 1 4 1 3 1 18 1 6 3 1 3 1 18 1 6 3 1 3 2 3 1 1 4 1 6 1 4 1 3 2 12 1 2 6 1 2 1 6 1 3 1 1 10 1 5 2 1 10 1 5 2 1 60 1 12 1 10 1 45 2 18 1 10 1 180 7 60 1 18 1 60 11 56 60 1 180 91 256 180 7 45 14 52 45 2 元33 60 11 180元91 180 90 180 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 例 2：一项工程， 甲单独完成要30 天，乙单独完成要45 天，丙单独完成要90 天现由甲、 乙、丙三个合作完成此工程在工作过程中甲休息了2 天，乙休息了3 天，丙没有休息，最 后把这项工程完成了问这项工程前后一共用了多少天？ 思路剖析 本题实际上是求丙一共工作了天数，解题的关键在于怎样处理三个人工作时间不一致的 问题。

我们可进行如下处理：以丙的工作天数为所求，把甲、乙两人看作未休息，在工作总 量上加上甲、 乙丙人未休息所作的工作量，这样就可以看作三个人的工作时间相同，即丙的 工作时间，从而求出这个数 解答 把这项工程看作“1” ，指甲休息2 天，乙休息 3 天的工作量加在总工作量上，看成三人 的工作时间与丙相同 答：完成这项工程前后一共用了17 天 例 3：一项工程，乙队先单独做4 天，继而甲、丙两队合做6 天，剩下的工程甲队又独做9 天才全部完成 已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2 倍甲、乙、 丙三队独做，各需要多少天完成？ 思路剖析 已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2 倍，按“甲、乙、丙三 队共同完成一项工程”为等量关系列方程分别求出甲、乙、丙各完成全部工程的几分之几 然后用甲、乙、丙完成任务的几分之几：即甲、乙、丙各自的工作量，分别除以各自的工作 时间，就可得到他们各自的工作效率，进而求出甲、乙、丙三队独做各需要多少天 解答 设甲队完成了x，则乙队完成了，丙队完成了 因此，甲队独做时间为：，乙单独做时间为： ，丙队独做时间为： 答：甲、乙、丙独做分别需要30、24、18 天。

例 4：一个水池装了一根进水管和3 根粗细相同的出水管单开一根进水管20 分钟可将水 池注满，单开一根出水管45 分钟可将水池的水放完现在水池中有池水， 4 根水管一起 元56 45 14 180 )(17 15 1 15 2 1 90 1 45 1 30 1 3 45 1 2 30 1 1天 3 1 3 1 x 3 1 x 3 2 2 1 x1x 3 2 x 3 1 x解得 天3096 2 1 1 天244 2 1 3 1 1天1862 2 1 3 1 1 3 2 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 打开，多少分钟后水池的水还剩下？ 思路剖析 由题目条件知， 水池原有水，减至，所以水池的水减少了，因此我们要从 “放水” 这个角度来考虑问题由于既有进水， 又有出水， 所以放水的工作效率应为放水效率与进水 效率的差 解答 因为一根进水管20 分钟可将水池注满，所以它的进水效率为一根出水管45 分钟 可将水池水放完所以一根出水管放水效率为水池原有水，后减少到，所以放水 量为4 根水管齐开，流水的工作效率为所以，花 费的时间为 答：需 16 分钟 例 5：2 个蟹将和4 个虾兵能打扫龙宫的，8 个蟹将和10 虾兵在同样的时间里就能打扫 完全部龙宫， 如果单让蟹将去打扫与单让虾兵去打扫进行比较，那么要打扫完全部龙宫，虾 兵比蟹将要多几个？ 思路剖析 我们把打扫完全部龙宫的工作量看作“ 1” ， 那么由题目知， 2个蟹将和 4个虾兵完成， 8 个蟹将和 10 个虾兵完成“1” 。

两相比较可知，当把第一个条件转化成24 个蟹将和4 4 个虾兵完成，就能消去蟹将，得出（4410）个虾兵完成这既可看作 （4410）个虾兵能打扫完全部龙宫的，也可看作（4 410）个虾兵占所需 虾兵总数的根据后者就可以比较简捷地求出单让虾兵打扫需要多少个，进而求 出单让蟹将打扫需要多少个，使问题得到解决 解答 单让虾兵打扫所需要的个数为 单让蟹将打扫所需要的个数为 所以，虾兵与蟹将要多3012=18（个） 5 2 3 2 5 2 20 1 45 1 3 2 5 2 15 4 5 2 3 2 60 1 20 1 15 1 20 1 3 45 1 分钟16 60 1 15 4 10 2 10 3 4 10 3 14 10 3 14 10 3 14 10 3 个30 5 1 614 10 3 1044 个12 6 1 24 30 1 10 3 2 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 例 6：一比工人到甲、 乙两上工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的倍 上午去甲工地，其他工人到乙工地，到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4 名工人再做一天。

那么这批工人有多少人？ 思路剖析 题目本身比较复杂，涉及的“量”与“关系”比较多，然而解题的关键在于抓住“甲工 地的工作做完， 乙工地的工作还需4 名工人再做1 天”找到乙工地剩余工作量相当于甲工地 的几分之几 解答 根据上午去甲工地人数是去乙工地人数的3 倍， 可知上午去甲工地人数是这批工人的， 去乙工地人数是这批工人的又下午去甲工地人数是这批工人，可知去乙工地人数是 这批工人的 由此可知， 甲工地上、 下午所完成的工作量之比是，即上午完成甲工地总工 作量的，下午完成甲工地总工作量的这样，上午乙工地完成的工作量相当于甲工 地的，下午乙工地完成的工作量相当于甲工地的，这 样乙工地剩余的工作量相当于甲工地的 因为乙工地剩下的工作量还需要4 名工人再做1 天，所以这批工人数是 例 7：一个空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管，单开甲管需5 分钟注满水池，单开乙 管需 10 分钟注满水池，满池水如果单开排水管需要6 分钟流尽某次池中无水，打开甲管 若干分钟后，发现排水管未关上，随即关上排水管，同时打开乙管又过了同样时间，水池 的注了水如果继续注满水池，前后一共花了多少时间？ 思路剖析 一方面，可以根据：，列出方程来求解。

另外， 由题目知甲、 乙管及排水管的工效率以及两上阶段所用时间相等，可求出工作效 率和，进而求解 解答 解法一：设打甲管未发现排水管关上这段时间为x 分钟，列出方程得： 2 1 1 4 3 4 1 12 7 12 5 79 12 7 4 3 ：： 16 9 16 7 16 3 4 3 4 1 16 9 16 5 12 7 12 5 16 7 6 1 16 5 16 3 2 1 11 人36410404 6 1 2 1 1114 4 1 4 1 第二段注入的水第一段注入的的水 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 那么注满水池共需 解法二：由题目知：甲管的工作效率为，排水管的工作效率为，那么在单开甲 管， 没有发现排水管未关上这段时间内，每分钟只能注入：的水；又关上排水管， 同时打开乙管后每分钟注入：的水 我们又知道这段时间相等所以，可以认为用的工作效率之和注水若干分钟后， 水池注入， 以后继续注水时间为 因此，注满水池，前后一共花了1.5+2.5=4( 分钟 ) 答：注满水池共用4 分钟 例 8：一件工作，甲做了5 小时以后由乙来做，3 小时可以完成乙做9 小时后由甲来做， 也是 3 小时可以完成，那么甲做1 小时后由乙来做，多少小时可以完成？ 思路剖析 我们根据题目条件可以利用下面两个等式来解题： 甲 5 小时的工作量 +乙 3 小时的工作量 =“1”（1） 甲 3 小时的工作量 +乙 9 小时的工作量 =“1”（2） 比较（ 1）式、（2）式可得：甲的工作效率是乙的3 倍。

因此，甲做了5 小时工作后， 由乙接做 3 小时可以完成 可以看作甲单独做6 小时完成全部工作， 所以甲的工作效率为， 那么乙的工作效率为 解答 解法一：因甲的工作效率是乙的（93）（ 53）=3（倍），甲的工作效率是 所以，乙要完成全部工作还需 解法二：因甲的工作效率是乙的（93）（ 53）=3（倍），乙的工作效率是 75. 0 x 4 1 x 10 3 x 30 1 4 1 x 10 1 5 1 x 6 1 5 1 )(4 10 1 5 1 4 1 1275.0分钟 5 1 6 1 30 1 6 1 5 1 10 3 10 1 5 1 10 3 30 1 分钟5.12 10 3 30 1 4 1 分钟5.2 10 1 5 1 4 1 1 6 1 18 1 3 6 1 6 1 3351 小时153 6 1 6 1 1 18 1 3391 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 所以，乙要完成全部工作还需 点津 工程问题往往数量关系复杂，题型多样， 富于变化， 这就要求我们在解答过程中抓。