第四章 受弯截面弹塑性和过程分析.doc

第四章 受弯截面弹塑性和过程分析§4.1 弹性分析4.1.1 第一阶段（开裂前）b0hh 曲率 y sx 0h- xM SA12 sEA截面应变 应力换算截面图 4 - 1 第 Ⅰ 阶段计算图式（一）.基本方程1.平衡方程2.变形条件3.物理条件6 个独立方程包含 13 个参数，即 M，b，h， ， AS， ， ， ， ， 0xss， ，E ，E S，如果已知其中的任意 7 个，则可解出其余 6 个未知数（二）中性轴位置将式（4-3 ） 、 （4-4 ）分别代入式（4-5） 、 （4-6 ）得：再将（4-7 ） 、 （4-8 ）代入（4-1）得：000 0)0(41)((2)xhxxxssbdybdyAMyhx X0 (43)()syhx(45)6ssE0 (47)() 8ssyEh 即：由式（4-9 ）即可求得 x 的值，也即确定了中性轴的位置对于矩形截面，b 为常数，则由式（4-9）可得：解得： 即： 式中： （4-10a）说明：①在第Ⅰ 阶段，中性轴位置 与 无关x② 值略大于而接近于 0.5，且偏于受拉区，若为纯砼截面，0xh则 =0， 0.5（三） 、换算截面其中： 按（4-10）式确定。

x（四） 、弯矩曲率关系 （即内力与变形的关系）将（4-7 ）式、 （4-8 ）式代入（4-2）式得：000 ()0s SxhxybdybdhxA000()(49)SxhxyyAhx2200()0ShyybAhx 20()(410)ShxxbA 2001() ah0(4-1Asb纵 向 配 筋 率 ） （ ）30320(41)()()3ssAbhxAhx 222000)((41)xhxsMybdyAhx曲率 的单位是： 或者 ，且 ， 为曲率半径1m1（五） 、抗弯刚度定义式： 将（4-14 ）式代入上式得：B 的单位为： 或 2Nm2K（六）弯矩与应力的关系（ ）将式（4-14 ）变形得 的表达式，再代入（4-7）式得：由物理条件，变形条件及（4-14）式得：4.1.2 第Ⅰ阶段末（即将开裂）在第阶段末，截面即将开裂，也就是说，受拉边缘的砼拉应力 达到其2抗拉强度 ，裂缝即将出现，此时的弯矩称为 RC 开裂弯矩，记为 ，可由ot cr式（4-16 ）确定：则 0()crotcrhx其中： 由（4-10）式确定。

crx4.1.3 第Ⅱ阶段（开裂后）00yy00()()shxx02()crcrotyhx（一）基本方程计算图式与第一阶段相比有所变化：（受拉区砼退出工作）b0hh ys截面应变 应力图 4 - 2 第 Ⅱ 阶段计算图式sAsEA换算截面x0- xM S（图）1、平衡条件2、变形条件(平截面假定仍成立)3.物理条件（线弹性本构关系）（二） 、中性轴的位置将变形条件，物理条件代入（4-19）得：（消去 ）由式（4-21 ）即可求得中性轴的位置 x对于矩形截面，b 为常数，则由式（4-21）可得：注： 仍为常数，与 无关x由式（4-22 ）求得的 〈〈式（4-10a ）求得的 ，说明砼受拉区开裂时，xx中性轴突然上升，往受压区移动，使得 减小，这是一个非常重要的物理现象x（三） 、换算截面0XM0 0)(419)(20xssbdyAhx0 43()()syhx45(6)ssE 00()(421)SxybdAh20()Sxybh21(42)sA0220()sxbydhxAA对于矩形截面，b 为常数，则其中， 按（4-22）确定。

x（四） 、弯矩曲率关系（ ） 、弯矩刚度关系（ ） 、弯矩应力关系与前式（4-14） 、 （4-15） 、 （4-16） 、 （4-17）相同，只不过式中 应按()s 0式（4-24 ）计算4.1.4 第Ⅱ阶段末（纵向钢筋达到屈服）由于 ，由式（4-17）得sy0(425)()yyhx 其中： 按式（4-21）计算yx§4.2 受弯截面弹塑性分析平衡条件，变形条件与弹性分析时相同，物理关系不用虎克定律的线弹性模型，而采用与实验结果较为吻合的本构关系，即砼本构关系（拉、压）采用非线性模式（二次抛物线） 4.2.1 第Ⅰ阶段（开裂前）b0hh ysx- xM SA截面应变分布 应力分布换算截面图 4 - 3 弹塑性分析第 Ⅰ 阶段的计算图式（一）基本方程1．平衡方程2．相容条件3200()sbxhxA0 0()()yy000 0)0(41)((2)xhxxxssbdybdyAMyhx X0 (43)()syhx3．物理条件a．砼受压 二次抛物线200(426)b．砼受拉 二次抛物线c．钢筋受拉（压）： （理想弹塑性）（二） 、中性轴位置将变形（相容）条件代入物理条件得：压区砼：2002(428)y拉区砼：2(9)ottot 拉区钢筋： （4-30）0shx再将式（4-28、4-29 、4-30 ）代入式（4-1 ）得：上式为 的一元三次方程，如已知材料性能 、 、 、 、 ，几何x s0ot0ot尺寸 b、h、 、 ，曲率 ，则可求解受压区高度 。

0sAx2(427)ottotsssyy u332200 (41)ot ots hxbxbhs02 20022x hxottotssyydybdyhA  AB00t0utAB00t 0utAB0u（三） 、 关系将变形条件代入物理条件，再代入第二个平衡方程式（4-2）得 2 220 00 0)(22x hxottot ssyyMbdybdyhxA   式中： 由式（4-31）确定x由式（4-32 ）可知： 为非线性关系（四）抗弯刚度由 ，将式（4-32）代入该式得B 不再是常数，与 及 有关，且为 的非线性式xx（五） 、钢筋和砼的应力按（4-28 ～30）进行计算4.2.2 第Ⅰ阶段末（即将开裂）b0hh s图 4 - 4 弹塑性分析第 Ⅰ 阶段末的计算图式sA0crhxsSAotcrxcrcrutotcrM1、曲率 ：2、中性轴位置443 22 0(43)3oto sotxbx sx4432 202()(43)3oto ssothbbhx A(43)utcrcrhx将式（4-31 ）类比变形，用 代替式（4-31）中的 ， 代替式（4-31）中的crcrx得：x由式（4-35 ）可解得到 。

（迭代解一个一元三次方程）crx3、M 可由式（4-32）变形改写得到 ， （用 、 代替 ， ）crxx 44 3220 23(46)crut utcrotut utocr crr cr crotutscrscr hbbx hhhx    A3、抗弯刚度 B 4.2.3 第Ⅱ阶段（开裂后） （不计中性轴以下受拉砼的作用）b0hh s图 4 - 5 弹塑性分析第 Ⅱ 阶段计算图式sA0hxsSAoty x M（一）基本方程1．平衡方程2．变形条件 33 220 (435)crututcrotut utocr crcr crottscrsr hxbxbxhhhxAcrr0 0)(438)((9)xxssbdyAMhxX0 43()()syhx3．物理条件a．受压区砼 ： b．受拉钢筋：很显然，以上这些公式是将 4.2.1 第Ⅰ阶段的相应公式删去受拉区砼部分而得，同理可得下面的方程（关系）：（二） 、中性轴的位置（三） 、 关系4.2.4 第Ⅱ阶段末（纵筋屈服）b0hh y图 4 - 6 弹塑性分析第 Ⅱ 阶段末计算图式sA0yhxysAyy yM曲三角1、曲率： 0yyhx2、中性轴位置：将式（4-31）中 用 代替得：xy3、弯矩 （纵筋屈服弯矩）y(427)sssy 200()(6)o320 00 (40)sbxhxsA4220(41)3o sobxshx32000 (43)yysbx A42 000 (4)3yyoyyysyobxxhxhh4、抗弯刚度： (45)y4.2.5 第Ⅲ阶段（纵筋屈服后）b0hh sy图 4 - 7 弹塑性分析第 Ⅲ 阶段计算图式sA0hx1x sysAM1x2x12> 0sysA（一）基本方程1．平衡方程2．变形条件（只有砼）3．物理条件砼受压：200(426)钢筋受拉： (7)sy（二） 、中性轴位置解出 的一元三次方程。

x（二）弯矩—曲率关系（ ）4.2.6 第Ⅲ阶段末（砼压坏）0 0)(438)((9)xyxysbdAMhxX3)y32000(48)ybxsA430 002()(49)ybxshx b0hh y图 4 - 8 弹塑性分析第 Ⅲ 阶段末计算图式sA0uhxysApuy u0 0M1、曲率： (450)ux2、中性轴位置：3、截面破坏时所承受的弯矩 u将式（4-51 ）代入（4-52 ） ，并整理得：如取： =0.002， =0.0033，则ou其中， 0sbhA4、抗弯刚度： (453)uy00 (1)1uysuooxhbhA20(452)34uouuysuobxhxA01.347(451)uyox bh0.586(452)yuy hb00201(452)3uysuys habA§4.3 受弯截面的延性概念：截面的延性是指从纵筋屈服直到砼压坏，截面的变形能力。

定义式： ，即受弯截面的延性等于第Ⅲ阶段末与第Ⅱ阶段末的曲率的比uy值，为一无量纲的数讨论：延性大就是塑性大，延性小表示脆性大，延性在超静定结构的内力重分布及结构的抗震设计中有重要的意义 （抗震的延性设计 倒塌分析）   发 展§4.4 受弯截面的塑性分析图 4 - 9 计算图式b0hhsAysAuMXXuaR0h4.4.1 基本公式1、物理条件受拉区钢筋：受压区砼：2、平衡条件3、。