九年级数学下册第3章圆3.4弧长和扇形的面积圆锥的侧面展开图3.4.1弧长和扇形的面积课件湘教335.ppt

3.4 弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图3.4.1 弧长和扇形的面积1.1.探索弧长和扇形面积的计算公式，理解并掌握弧长和扇形面探索弧长和扇形面积的计算公式，理解并掌握弧长和扇形面积的计算公式积的计算公式.(.(重点重点) )2.2.会运用公式解决问题会运用公式解决问题.(.(重点、难点重点、难点) )1.1.弧长公式：半径为弧长公式：半径为r,r,圆心角为圆心角为n°n°的弧的弧长的弧的弧长_________._________.2.2.扇形的面积公式：扇形的半径为扇形的面积公式：扇形的半径为r,r,圆心角为圆心角为n°n°，弧长为，弧长为l. .(1)S(1)S扇扇=______;=______;(2)S(2)S扇扇=_____(=_____(l为扇形的弧长，为扇形的弧长，r r为圆的半径为圆的半径).).(1)(1)弧长公式是弧长公式是l= ( )= ( )(2)(2)扇形的面积公式是扇形的面积公式是S= ( )S= ( )(3)(3)半径为半径为3 cm3 cm，弧长为，弧长为6 cm6 cm的扇形的面积为的扇形的面积为9 cm9 cm2 2.( ).( )(4)(4)扇形的圆心角越大，扇形的面积越大扇形的圆心角越大，扇形的面积越大.( ).( )(5)(5)弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差或和弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差或和.( ).( )××××××√√√√知识点知识点 1 1 弧长公式及应用弧长公式及应用【【例例1 1】】如图，一块等边三角形的木板，如图，一块等边三角形的木板，边长为边长为1 1，现将木板沿水平线翻滚，那，现将木板沿水平线翻滚，那么么B B点从开始至结束点从开始至结束(B′)(B′)所走过的路径所走过的路径长度是多少？长度是多少？【【解题探究解题探究】】1.1.找到等边找到等边△△ABCABC每一次翻转的中心，画出点每一次翻转的中心，画出点B B所走的路径所走的路径. .提示：提示：2.2.等边等边△△ABCABC每一次旋转的角度是多少？旋转的半径是多少？每一次旋转的角度是多少？旋转的半径是多少？提示：提示：等边等边△△ABCABC每一次旋转的角度是每一次旋转的角度是120120°°，旋转的半径是，旋转的半径是1.1.3.3.计算计算B B点从开始至结束点从开始至结束(B′)(B′)所走过的路径长度是多少？所走过的路径长度是多少？提示：提示：B B点从开始至结束走过的路径长度点从开始至结束走过的路径长度【【互动探究互动探究】】点点A A所走过的路径长度是多少？所走过的路径长度是多少？提示：提示：如图，如图， 为点为点A A所经过的路径，所经过的路径， 的长度为的长度为【【总结提升总结提升】】求与弧长相关的计算的两个步骤求与弧长相关的计算的两个步骤知识点知识点 2 2 扇形的面积公式及应用扇形的面积公式及应用【【例例2 2】】如图，点如图，点A A，，B B，，C C在半径为在半径为2 2的的⊙⊙O O上，上，∠∠BAC=30°BAC=30°，求阴影部分弓形，求阴影部分弓形的面积的面积. .【【思路点拨思路点拨】】连结连结OBOB，，OCOC，得，得△△OBCOBC为为等边三角形，根据阴影部分的面积等边三角形，根据阴影部分的面积= =扇扇形的面积形的面积- -等边三角形的面积去计算等边三角形的面积去计算. .【【自主解答自主解答】】如图，连结如图，连结OBOB，，OCOC，作，作OD⊥BCOD⊥BC于于D.D.∴BD=DC.∴BD=DC.∵∠BAC=30∵∠BAC=30°°，，∴∠∴∠BOC=2∠BAC=60BOC=2∠BAC=60°°. .又又∵∵OB=OC=2OB=OC=2，，∴△∴△OBCOBC为等边三角形，为等边三角形，∴∴BC=OB=2BC=OB=2，， ∴ ∴CD=1CD=1，，【【总结提升总结提升】】两类弓形面积的求法两类弓形面积的求法1.1.小于半圆的弧与弦组成的弓形，如图小于半圆的弧与弦组成的弓形，如图1 1，用扇形的面积减去，用扇形的面积减去三角形的面积三角形的面积. .2.2.大于半圆的弧与弦组成的弓形，如图大于半圆的弧与弦组成的弓形，如图2 2，用扇形的面积加上，用扇形的面积加上三角形的面积三角形的面积. .题组一：题组一：弧长公式及应用弧长公式及应用1.(2013·1.(2013·淮安中考淮安中考) )若扇形的半径为若扇形的半径为6 6，圆心角为，圆心角为120°120°，则此，则此扇形的弧长是扇形的弧长是( )( )A.3π B.4π C.5π D.6πA.3π B.4π C.5π D.6π【【解析解析】】选选B.B.把把r=6,n=120r=6,n=120代入代入2.2.如果一个扇形的半径是如果一个扇形的半径是2 2，弧长是，弧长是 那么此扇形的圆心角那么此扇形的圆心角的大小为的大小为( )( )A.30° B.45° C.60° D.90°A.30° B.45° C.60° D.90°【【解析解析】】选选A.A.把把r=2, r=2, 代入代入 中得：中得：3.120°3.120°的圆心角所对的弧长是的圆心角所对的弧长是12π cm,12π cm,则此弧所在圆的半径则此弧所在圆的半径是是_______._______.【【解析解析】】把把n=120,n=120,l=12π cm,=12π cm,代入代入 中得：中得： ∴ ∴r=18 cm.r=18 cm.答案：答案：18 cm18 cm4.(2013·4.(2013·宜宾中考宜宾中考) )如图，如图，△△ABCABC是正三是正三角形，曲线角形，曲线CDEFCDEF叫做正三角形的渐开线，叫做正三角形的渐开线，其中其中 的圆心依次是的圆心依次是A,B,CA,B,C，如果，如果ABAB＝＝1 1，那么曲线，那么曲线CDEFCDEF的长是的长是_____._____.【【解析解析】】答案：答案：4π4π5.5.如图所示，在如图所示，在Rt△ABCRt△ABC中，斜边中，斜边AB=AB=∠A=45°∠A=45°，把，把△△ABCABC绕点绕点B B顺时针旋转顺时针旋转60°60°到到△△A′BC′A′BC′的位置，则顶点的位置，则顶点C C经过的路经过的路线长为线长为______.______.【【解析解析】】∵∵在在Rt△ABCRt△ABC中，中，∠∠A=45A=45°°，，∴∠∴∠ABC=45ABC=45°°，，∴∴AC=BC.∵AC=BC.∵斜边斜边 ∴ ∴BC=2.BC=2.∴∴顶点顶点C C经过的路线长为经过的路线长为答案：答案：6.6.如图所示为一弯形管道，其中心线如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧是一段圆弧 已知半径已知半径OA=60 cmOA=60 cm，，∠∠AOB=108°AOB=108°，求管道的长度，求管道的长度( (即即 的长的长).).【【解析解析】】由已知得由已知得n=108,R=60 cm,n=108,R=60 cm,根据弧长公式根据弧长公式答：管道的长度为答：管道的长度为36π cm.36π cm.题组二：题组二：扇形的面积公式及应用扇形的面积公式及应用1.1.一个扇形的弧长是一个扇形的弧长是20π,20π,面积是面积是50π,50π,那么扇形的半径是那么扇形的半径是( )( )A.5 B.10 C.15 D.20A.5 B.10 C.15 D.20【【解析解析】】选选A.A.把把l=20π,S=50π=20π,S=50π代入代入∴∴r=5.r=5.2.2.如图，正方形如图，正方形OABCOABC的边长为的边长为2 2，，OAOA为为⊙⊙O O的半径，则扇形的半径，则扇形OACOAC的面积为的面积为( )( )【【解析解析】】选选B.∵B.∵四边形四边形OABCOABC为正方形，边长为为正方形，边长为2 2，，∴∴OA=OC=2OA=OC=2，，∠∠AOC=90AOC=90°°，，3.(2013·3.(2013·凉山州中考凉山州中考) )如图，在如图，在Rt△ABCRt△ABC中，中，∠∠C=90°C=90°，，AC=8AC=8，，BC=6BC=6，两等圆，两等圆⊙⊙A A，，⊙⊙B B外切，那么图中两个扇形外切，那么图中两个扇形( (即阴影部即阴影部分分) )的面积之和为的面积之和为______.______.【【解析解析】】∵∠C=90∵∠C=90°°，，AC=8AC=8，，BC=6BC=6，，∴∴AB=10AB=10，，∴∴扇形的半径为扇形的半径为5 5，，∴∴阴影部分的面积阴影部分的面积= =答案：答案：4.4.已知扇形的半径为已知扇形的半径为3 3，扇形的面积为，扇形的面积为3π,3π,则该扇形的圆心角则该扇形的圆心角为为______________，弧长为，弧长为________.________.【【解析解析】】把把r=3,S=3πr=3,S=3π代入代入 中得中得, ,答案：答案：120120°° 2π 2π5.5.某花园内有一块五边形的空地如图所某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在以五边形示，为了美化环境，现计划在以五边形各顶点为圆心，各顶点为圆心，1 m1 m长为半径的扇形区长为半径的扇形区域内域内( (阴影部分阴影部分) )种上花草，那么种上花种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是草的扇形区域总面积是_____._____.【【解析解析】】设五边形的五个内角分别为设五边形的五个内角分别为n n1 1°°，，n n2 2°°, ,……,n,n5 5°°，则，则n n1 1＋＋n n2 2＋＋……＋＋n n5 5=(5-2)=(5-2)××180=540180=540，，∴∴阴影部分面积为阴影部分面积为答案：答案：【【解题技巧解题技巧】】整体策略整体策略 化零为整、化分散为集中的整体策略是解题的重要方法，化零为整、化分散为集中的整体策略是解题的重要方法，阴影面积的求解中，整体策略求解有时会达到事半功倍的效果阴影面积的求解中，整体策略求解有时会达到事半功倍的效果. .6.(2013·6.(2013·临沂中考临沂中考) )如图，在如图，在△△ABCABC中，中，∠∠ACB=90°ACB=90°，，E E为为BCBC上的一点，以上的一点，以CECE为为直径作直径作⊙⊙O O，，ABAB与与⊙⊙O O相切于点相切于点D D，连结，连结CDCD，若，若BE=OE=2.BE=OE=2.(1)(1)求证：求证：∠∠A=2∠DCB.A=2∠DCB.(2)(2)求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积( (结果保留结果保留ππ和根号和根号).).【【解析解析】】(1)(1)连结连结OD.OD.∵AB∵AB与与⊙⊙O O相切于点相切于点D,D,∴∠ODB=90∴∠ODB=90°°, ,∴∠B+∠DOB=90∴∠B+∠DOB=90°°. .∵∠ACB=90∵∠ACB=90°°,∴∠A+∠B=90,∴∠A+∠B=90°°,∴∠A=∠DOB,,∴∠A=∠DOB,∵OC=OD,∴∠DOB=2∠DCB,∴∠A=2∠DCB.∵OC=OD,∴∠DOB=2∠DCB,∴∠A=2∠DCB.(2)(2)连结连结DE.DE.在在Rt△ODBRt△ODB中，中，∵∵OD=OE,OE=BE,OD=OE,OE=BE,【【想一想错在哪？想一想错在哪？】】如图所示，半圆如图所示，半圆O O中中, ,直径直径ABAB长为长为2R,C2R,C，，D D为半圆为半圆O O的三等分点的三等分点, ,求阴影部分的面积求阴影部分的面积. .提示：提示：观察分析图形不够仔细，把阴影部分看成了扇形观察分析图形不够仔细，把阴影部分看成了扇形. .同学们来学校和回家的路上要注意安全同学们来学校和回家的路上要注意安全。