(九年级数学教案)22.3实际问题与一元二次方程(3).pdf

22.3 实际问题与一元二次方程(3) 九年级数学教案教学内容根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题. 教学目标掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题. 利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课,解决新课中的问题. 重难点关键1.?重点:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题 . 2.?难点与关键 :根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型. 教学过程一、复习引入1.直角三角形的面积公式是什么?一般三角形的面积公式是什么呢? 2.正方形的面积公式是什么呢?长方形的面积公式又是什么? 3.梯形的面积公式是什么 ? 4.菱形的面积公式是什么 ? 5.平行四边形的面积公式是什么? 6.圆的面积公式是什么 ? 二、探索新知现在 ,我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型,解决一些实际问题. 例 1.某林场计划修一条长750m,断面为等腰梯形的渠道 ,断面面积为 1.6m2,?上口宽比渠深多 2m,渠底比渠深多 0.4m. (1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少? (2)如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完? 分析 :因为渠深最小 ,为了便于计算 ,不妨设渠深为 xm,则上口宽为 x+2,?渠底为 x+0.4,那么,根据梯形的面积公式便可建模. 解:(1)设渠深为 xm 则渠底为 (x+0.4)m, 上口宽为 (x+2)m 依题意 ,得: (x+2+x+0.4)x=1.6 整理 ,得:5x2+6x-8=0 解得 :x1= =0.8m,x2=-2(舍) 上口宽为 2.8m,渠底为 1.2m. (2) =25 天答:渠道的上口宽与渠底深各是2.8m 和 1.2m;需要 25天才能挖完渠道 . 例 2.如图,要设计一本书的封面 ,封面长 27cm,宽 21cm,?正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,?如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽 ,左、右边衬等宽 ,?应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)? 老师点评 :依据题意知 :中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比=9:7,?由此可以判定 :上下边衬宽与左右边衬宽之比为9:7,设上、下边衬的宽均为9xcm,?则左、右边衬的宽均为7xcm,依题意 ,得:中央矩形的长为 (27-18x)cm,宽为(21-14x)cm. 因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的,则中央矩形的面积是封面面积的. 所以 (27-18x)(21-14x)= 2721 整理 ,得:16x2-48x+9=0 解方程 ,得:x= , x12.8cm,x2 0.2所以 :9x1=25.2cm( 舍去),9x2=1.8cm,7x2=1.4cm 因此 ,上下边衬的宽均为1.8cm,左、右边衬的宽均为1.4cm. 三、巩固练习有一张长方形的桌子 ,长 6 尺,宽 3 尺,有一块台布的面积是桌面面积的2 倍,并且铺在桌面上时 ,各边垂下的长度相同 ,求台布的长和宽各是多少?(精确到 0.1尺) 四、应用拓展例 3.如图(a)、(b)所示,在ABC中B=90 ,AB=6cm,BC=8cm, 点 P从点 A?开始沿 AB边向点 B 以 1cm/s 的速度运动 ,点 Q 从点 B 开始沿 BC边向点 C以 2cm/s 的速度运动 . (1)如果 P、Q分别从 A、B同时出发 ,经过几秒钟 ,使 SPBQ=8cm2. (2)如果 P、Q分别从 A、B同时出发 ,并且 P到 B后又继续在 BC边上前进 ,Q到 C?后又继续在 CA边上前进 ,经过几秒钟 ,使PCQ的面积等于 12.6cm2.(友情提示:过点 Q?作 DQCB, 垂足为 D,则: ) 分析 :(1)设经过 x 秒钟,使 SPBQ=8cm2, 那么 AP=x,PB=6-x,QB=2x,由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型. (2)设经过 y 秒钟,这里的 y>6 使PCQ的面积等于 12.6cm2.因为AB=6,BC=8, 由勾股定理得 :AC=10, 又由于 PA=y,CP=(14-y),CQ=(2y-8),又由友情提示 ,便可得到 DQ,那么根据三角形的面积公式即可建模. 解:(1)设 x 秒,点 P在 AB上,点 Q 在 BC上,且使PBQ的面积为 8cm2. 则: (6-x) 2x=8 整理 ,得:x2-6x+8=0 解得 :x1=2,x2=4 经过 2 秒,点 P到离 A 点 1 2=2cm 处,点 Q 离 B 点 2 2=4cm 处,经过 4 秒,点P到离 A点 14=4cm 处,点 Q离 B 点 24=8cm 处,所以它们都符合要求 . (2)设 y 秒后点 P移到 BC上,且有 CP=(14-y)cm, 点 Q 在 CA上移动,且使CQ=(2y-8)cm, 过点 Q 作 DQCB, 垂足为 D,则有AB=6,BC=8 由勾股定理 ,得:AC= =10 DQ= 则: (14-y) =12.6 整理 ,得:y2-18y+77=0 解得 :y1=7,y2=11 即经过 7 秒,点 P在 BC上距 C点 7cm 处(CP=14-y=7), 点 Q 在 CA上距 C点6cm 处(CQ=?2y-8=6), 使PCD的面积为 12.6cm2. 经过 11 秒,点 P在 BC上距 C点 3cm 处,点 Q 在 CA上距 C点 14cm>10, 点 Q已超过 CA的范围 ,即此解不存在 . 本小题只有一解 y1=7. 五、归纳小结本节课应掌握 :利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题. 六、作业一、选择题1.直角三角形两条直角边的和为7,面积为 6,则斜边为 ( ). A. B.5 C. D.7 2.有两块木板 ,第一块长是宽的 2 倍,第二块的长比第一块的长少2m,宽是第一块宽的 3 倍,已知第二块木板的面积比第一块大108m2,这两块木板的长和宽分别是( ). A.第一块木板长 18m,宽 9m,第二块木板长 16m,宽 27m; B.第一块木板长 12m,宽 6m,第二块木板长 10m,宽 18m; C.第一块木板长 9m,宽 4.5m,第二块木板长 7m,宽 13.5m; D.以上都不对3.从正方形铁片 ,截去 2cm 宽的一条长方形 ,余下的面积是 48cm2,则原来的正方形铁片的面积是 ( ). A.8cm B.64cm C.8cm2 D.64cm2 二、填空题1.矩形的周长为 8 ,面积为 1,则矩形的长和宽分别为 _. 2.长方形的长比宽多4cm,面积为 60cm2,则它的周长为 _. 3.如图,是长方形鸡场平面示意图,一边*墙,另外三面用竹篱笆围成 ,若竹篱笆总长为 35m,所围的面积为 150m2,则此长方形鸡场的长、宽分别为_ 九年级数学教案_. 三、综合提高题1.如图所示的一防水坝的横截面(梯形),坝顶宽 3m,背水坡度为 1:2,迎水坡度为 1:1,若坝长 30m,完成大坝所用去的土方为4500m2,问水坝的高应是多少 ?(说明:?背水坡度= ,迎水坡度)(精确到 0.1m) 2.在一块长 12m,宽 8m 的长方形平地中央 ,划出地方砌一个面积为8m2?的长方形花台 ,要使花坛四周的宽地宽度一样,则这个宽度为多少 ? 3.谁能量出道路的宽度 : 如图 22-10,有矩形地 ABCD一块,要在中央修一矩形花辅EFGH, 使其面积为这块地面积的一半 ,且花圃四周道路的宽相等,今无测量工具 ,?只有无刻度的足够长的绳子一条 ,如何量出道路的宽度 ? 请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题,相信你一定能行 . 答案 : 一、1.B 2.B 3.D 二、1.2 + 2 - 2.32cm 3.20m 和 7.5m 或 15m 和 10m 三、1.设坝的高是 x,则 AE=x,BF=2x,AB=3+3x,依题意 ,得: (3+3+3x)x 30=4500 整理,得:x2+2x-100=0 解得 x 即 x9.05(m)2.设宽为 x,则 128-8=2 8x+2(12-2x)x 整理,得:x2-10 x+22=0 解得:x1=5+ (舍去),x2=5- 3.设道路的宽为 x,AB=a,AD=b 则(a-2x)(b-2x)= ab 解得:x= (a+b)- 量法为 :用绳子量出 AB+AD( 即 a+b)之长,从中减去 BD之长(对角线BD= ),得 L=?AB+AD-BD, 再将 L 对折两次即得到道路的宽,即. 。