2020-2021学年北师大版初一数学上册难点突破09有理数的乘方及混合运算.pdf

专题专题 0909 有理数的乘方及混合运算有理数的乘方及混合运算 【【专题说明专题说明】】 1理解有理数乘方的定义； 2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算； 3. 进一步掌握有理数的混合运算. 【【知识点总结知识点总结】】 一、有理数的乘方一、有理数的乘方 定义：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power) 即有：.在中，叫做底数， n 叫做指数. n a aaa n 个 n aa 要点诠释：要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果 （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来 （3）一个数可以看作这个数本身的一次方例如，5 就是 51，指数 1 通常省略不写 二、乘方运算的符号法则二、乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0 的任何正 整数次幂都是 0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 要点诠释：要点诠释： (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值 (2)任何数的偶次幂都是非负数 三、有理数的混合运算三、有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号， 先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 要点诠释：要点诠释： (1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方 和开方(以后学习)是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行 (3)在运算过程中注意运算律的运用 【【精典例题精典例题】】 一、有理数乘方一、有理数乘方 1、把下列各式写成幂的形式： (1)； 2222 5555 (2)(3.7)(3.7)(3.7)(3.7)55； (3)xxxxxxyy 【答案与解析】 (1)； 44 222222 555555 (2)(3.7)(3.7)(3.7)(3.7)55(3.7)452； (3) 62 xxxxxxyyx y 【总结升华】乘方时，当底数是分数、负数时，应加上括号. 2、计算：： （（1）） （（2）） 3 4 （（3）） 4 ( 3) （（4）） 4 3 3 ( 4) （5） （6） （7） （8） 3 3 5 3 3 5 2 2 2 2 3 3（（ 2 2 2 2 3 3 【答案与解析】 （1）； 3 ( 4)( 4) ( 4) ( 4)64 （2） 3 4 ； 4 4 464 （3） 4 ( 3) ； ( 3) ( 3) ( 3) ( 3)81 （4） 4 3 ； 3 3 3 381 （5） ； 3 3 5 33327 555125 （6） 3 3 5 3 3 327 55 （7）；3（2（ 2 2 2 636 （8） 2 2 2 2 3 32 918 【总结升华】与不同，，而表示的 n 次 ()na n a ()()() n n aaaa 个 n n aaaa 个 a 幂的相反数 3、计算： （1） 44 333 44 （（（-（（（-3（ （2） 33 2( 2) 33 33 22 （（（（（-（（ 33 【答案与解析】由乘方的定义可得： (1)3 4333381； 3 4（3333）81； ； 4 ( 3)( 3) ( 3) ( 3) ( 3)81 4 ( 3)( 3) ( 3) ( 3) ( 3)81 (2)； ； 3 22 2 28 333 3 22228 ( )( ) ( ) ( ) 333327 ； 3 22228 ()() () () 333327 3 ( 2)( 2) ( 2) ( 2)88 3333 【总结升华】注意与的意义的区别（n 为正整数） ，（n 为正整()na n a 22 () nn aa 2121 () nn aa 数） 二、乘方的符号法则二、乘方的符号法则 1、不做运算，判断下列各运算结果的符号 (2)7，(3)24，(1.0009)2009，，(2)2010 5 5 3 【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得： (2)7运算的结果是负；(3)24运算的结果为正；(1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果 5 5 3 是正；(2)2010运算的结果是负 【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是 0 时，结果是 0；当底数是负 数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负 2、不做运算，判断下列各运算结果的符号 (2)7，(3)24，(1.0009)2009，，(2) 2010 5 5 3 【答案与解析】根据乘方的符号法则判断可得： (2)7运算的结果是负；(3)24运算的结果为正；(1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果 5 5 3 是正；(2)2010运算的结果是负 【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是 0，指数不为时，结果是 0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负 三、有理数的混合运算三、有理数的混合运算 1、计算： （（1）） 2 21 1 1 1- -1 1- -0 0. .5 5 2 2- -- -3 3 3 3 （（2）） 来来 3 3 4 4 1 1 - -1 1- - 2 2- -- -3 3 6 6 （（3）） 3 3 2 20 01 11 1 1 11 1 ( (1 1+ +- -2 2. .7 75 5) ) ( (- -2 24 4) )+ +( (- -1 1) )- -- -2 2 3 38 8 （（4）） 3 3 3 32 2 1 11 1 - -+ +| |- -2 2- -3 3| | ( (- -0 0. .1 1) )( (- -0 0. .2 2) ) 【答案与解析】 （1）法一：原式； 517 (1) ( 7)( 7) 666 法二：原式= 1117 (1 1) (29)( 7) 2366 （2）原式= 1 1 - -1 1- - 2 2- -- -2 27 7 6 6 = 1 1 - -1 1- - 2 29 9 6 6 = 3 35 5 - - 6 6 (3) 原式=323+669=22 = 4 41 11 11 1 ( (+ +- -) ) ( (- -2 24 4) )- -1 1- -8 8 3 38 84 4 (4) 原式 1 11 1 - -+ +| |- -8 8- -3 3| | - -0 0. .0 00 01 10 0. .0 04 4 = =- -1 10 00 00 0- -2 25 5+ +1 11 1= =- -1 10 01 14 4 【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提 2、计算： （1）(3)2+(2)3(3)(5) （2）736(7)2(1)10(21424+214) （3）； 3 1122 2 2233 （4） 2 3 111131 21121324 42434 0.2 【答案与解析】 （1）(3)2+(2)3(3)(5) 9+(8)(3+5) 9+(8)2 9+(4)13 （2） 736(7)2(1)10(21424+214) (7726721)(214+21424) 72(76)1(24) (491)(24) 2 （3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算. 原式 11221111 (2) 82338324 （4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算. 2 3 3 111131 21121324 42434 0.2 15457551 ()() 24 1 162434 () 5 1257 2424 125 16523 139 6056 125120 4040 【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提 3、、 （ ） 20032004 ( 2)( 2) （A） （B） （C） （D）2 4007 ( 2) 2003 2 2003 2 【答案】C 【解析】逆用分配律可得：，所以答案为：C 20032004200320032003 ( 2)( 2)( 2)1 ( 2)( 2)2 【总结升华】当几项均为幂的形式，逆用分配律提出共同的因数时，要提指数较小的幂的形式. 4、计算：： 20112012 ( 2)2 【答案与解析】逆用分配律可得： 2011201220112012201120112011 ( 2)2222( 12)1 22 【总结升华】灵活运用运算律，简化运算.另外有 212222121 222;222 nnnnnn 四、探索规律四、探索规律 1、你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第 1 次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把 两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第 3 次捏合抻拉得到 根面条， 第 5 次捏合抻拉得到 根面条，第次捏合抻拉得到 根面条，要想得到 64 根细面条，需 n 次捏合抻拉. 第 1 次 第 2 次 第 3 次 【答案】8; 32; ; 62n 【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的 2 倍，所以可得到： 第 1 次：；第 2 次：；第 3 次：；；第次：. 1 22 2 24 3 28n2n 第 3 次捏合抻拉得到面条根数：，即 8 根；第 5 次得到：，即 32 根；第次捏合抻拉得到； 3 2 5 2n2n 因为，所以要想得到 64 根面条，需要 6 次捏合抻拉. 6 264 【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题 中找出内在的规律，使问题变得有章可循 2、下面是按一定规律排列的一列数： 第 1 个数：； 11 1 22 第 2 个数：； 23 11( 1)( 1) 111 3234 第 3 个数：； 2345 11( 1)( 1)( 1)( 1) 11111 423456 第 n 个数： 2321 11( 1)( 1)( 1) 1111 12342 n nn 那么，在第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数、第 13 个数中，最大的数是（ ） A第 10 个数 B第 11 个数 C第 12 个数 D第 13 个数 【答案】A 【解析】第 1 个数结果为；第 2 个数结果为；第 3 个数结果为；； 11 0 22 111 326 111 424 发现运算中在后边的各式为，分子、分母相约为 1，所以第 n 个数结果为 1 1 2 4365 3456 ，把第 10、11、12、13 个数分别求出，比较大小即可 11 12n 【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题 中找出内在的规律，使问题变得有章可循 。