小学数学知识点例题精讲《完全平方数及应用（一）》教师版.pdf

11. 学习完全平方数的性质;2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程3. 掌握完全平方数的综合运用.一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是 0,1,4,5,6,9.不可能是 2,3,7,8.2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数.3.完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数.4.若质数 p 整除完全平方数2a,则 p 能被a整除.2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9．性质2：完全平方数被3,4,5,8,16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次,所以,如果p是质数,n是自然数,N是完全平方数,且21|npN,则2|npN．性质4：完全平方数的个位是6它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0,则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5,则其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被 4 整除;任何奇数的平方被 4（或 8）除余 1.即被 4 除余 2 或 3 的数一定不是完全平方数.2.一个完全平方数被 3 除的余数是 0 或 1.即被 3 除余 2 的数一定不是完全平方数.3.自然数的平方末两位只有：00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96.4.完全平方数个位数字是奇数（1,5,9）时,其十位上的数字必为偶数.5.完全平方数个位数字是偶数（0,4）时,其十位上的数字必为偶数.6.完全平方数的个位数字为 6 时,其十位数字必为奇数.7.凡个位数字是 5 但末两位数字不是 25 的自然数不是完全平方数;末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数;个位数字为 1,4,9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数.3.重点公式回顾：平方差公式：22()()abab ab例题精讲例题精讲知识点拨知识点拨教学目标教学目标5-4-4.5-4-4.完全平方数及应用（一）完全平方数及应用（一）2模块一、完全平方数计算及判断【【例例 1 1】】 已知：1234567654321×49 是一个完全平方数,求它是谁的平方? 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2 星 【题型】解答【【【解析解析解析】】】我们不易直接求解,但是其数字有明显的规律,于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121＝211;12321＝2111;1234321＝21111……,于是,我们归纳为 1234…n…4321=2(1111)n个1,所以,1234567654321：11111112;则,1234567654321×49=11111112×72=77777772．所以,题中原式乘积为 7777777 的平方．【答案】7777777【【例例 2 2】】1234567654321 (1234567654321)是 的平方．【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】祖冲之杯【【【解析解析解析】】】212345676543211111111,212345676543217 ,原式22(1111111 7)7777777．【答案】7777777【【例例 3 3】】 已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数,则n的最小值是 .【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,6 年级,第 9 题【解析】（法 1）先将12！分解质因数：105212!2357 11 ,由于12!除以n得到一个完全平方数,那么这个完全平方数是12!的约数,那么最大可以为1042235,所以n最小为104212! 2353 7 11  231.（法 2）12!除以n得到一个完全平方数,12!的质因数分解式中3、7、11的幂次是奇数,所以n的最小值是3 7 11231 .【答案】231【【例例 4 4】】 有一个正整数的平方,它的最后三位数字相同但不为 0,试求满足上述条件的最小的正整数．【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3 星 【题型】解答【【【解析解析解析】】】平方数的末尾只能是 0,1,4,5,6,9,因为 111,444,555,666,999 都不是完全平方数,所以所求的数最小是 4 位数．考察 1111,1444……可以知道14443838,所以满足条件的最小正整数是1444．【答案】1444【【例例 5 5】】 A 是由 2002 个“4”组成的多位数,即200244444  个,A 是不是某个自然数 B 的平方?如果是,写出 B;如果不是,请说明理由． 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3 星 【题型】解答【【【解析解析解析】】】略【答案】2200242002444421111A   个个1．如果 A 是某个自然数的平方,则20021111个1也应是某个自然数的平方,并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以 4 的余数是 1 知,奇数的平方减 1 应是 4 的倍数,而200220011111 111110 个1个1不是4的倍数,矛盾,所以 A 不是某个自然数的平方．【【【巩固巩固巩固】】】A是由 2008 个“4”组成的多位数,即444  2008个4,A是不是某个自然数B的平方?如果是,写出B;如果不是,请说明理由．【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3 星 【题型】解答【【【解析解析解析】】】略【答案】不是．24442111A   2008个12008个4假设A是某个自然数的平方,则1112008个1也应是某个自然数的平方,并且3是某个奇数的平方．由奇数的平方除以 4 的余数是 1 知,奇数的平方减 1 应是 4 的倍数,而111 11110 2008个12007个1不是 4 的倍数,与假设矛盾．所以A不是某个自然数的平方．【【例例 6 6】】 计算11112004个1－2222  1002个2=A×A,求 A．【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4 星 【题型】解答【【【解析解析解析】】】此题的显著特征是式子都含有1111n个1,从而找出突破口.11112004个1－2222  1002个2=11111002个10000  1002个0－11111002个1 =11111002个1×（10000   1002个0-1） =11111002个1×（9999   1002个9） =11111002个1×（11111002个1×3×3）=2A所以,A＝3333  1002个3.【答案】3333  1002个3【【例例 7 7】】 ①22004420038444488889A    个个,求 A 为多少? ②求是否存在一个完全平方数,它的数字和为 2005?【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4 星 【题型】解答【【【解析解析解析】】】① 本题直接求解有点难度,但是其数字有明显的规律,于是我们采用递推(找规律)的方法来求解： 注意到有2004420038444488889    个个可以看成48444488889    n个n-1个,其中 n＝2004;寻找规律：当 n=1 时,有2497; 当 n=2 时,有2448967;当 n=3 时,有2444889667 …… 于是,类推有2004420038444488889    个个=22003666667  个 方法二：下面给出严格计算： 2004420038444488889    个个=444440000    2004个2004个0+20048888  个8+1; 则444440000    2004个2004个0+20048888  个8+1＝11112004个1×（4×010000   2004个+8）+1＝11112004个1×［4×（99999   2004个+1）+8］+1＝11112004个1×［4×（99999   2004个）+12］+1＝2(1111)2004个1×36+12×11112004个1+1＝2(1111)2004个1×36+2×（6×11112004个1）+1＝22(666661)(66667)      2004个62003个6 ② 由①知4444488889     n个n-1个8＝266667   n-1个6,于是数字和为(4n+8n-8+9)=12n+1;令 12n+1=2005解得 n=167,所以4444488889     167个166个8=266667   166个6.所以存在这样的数,是4444488889     167个166个84【答案】 （1）22003666667  个,（2）4444488889     167个166个8=266667   166个6模块二、平方数特征（1）平方数的尾数特征【【例例 8 8】】 下面是一个算式：1 1 21 231 2341 23451 23456                ,这个算式的得数能否是某个数的平方?【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】华杯赛【【【解析解析解析】】】判断一个数是否是某个数的平方,首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0,1,4,5,6,9,而 2,3,7,8 不可能是平方数的个位数． 这个算式的前二项之和为 3,中间二项之和的个位数为 0,后面二项中每项都有因子 2 和 5,个位数一定是 0,因此,这个 0 算式得数的个位数是 3,不可能是某个数的平方．【答案】不是【【例例 9 9】】 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于 49 的四位数共有________个．【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,5 年级,第 10 题【解析】4914925 ,1,2,3,5全排列共有24个.【答案】24【【例例 10 10】】用 1～9 这 9 个数字各一次,组成一个两位完全平方数,一个三位完全平方数,一个四位完全平方数．那么,其中的四位完全平方数最小是 ．【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,高年级,复试,11 题【【【解析解析解析】】】四位完全平方数≥1234＞352＝1225,所以至少是 362＝1296．当四位完全平方数是 1296 时,另两个平方数的个位只能分别为 4,5,个位为 5 的平方数的十位只能是 2,但数字 2 在 1296 中已经使用．当四位完全平方数是 372＝1369 时,另两个平方数的个位只能分别为 4,5,个位为 5 的平方数的十位一样只能是 2,还剩下 7,8,而 784 恰好为 282．所以,其中的四位完全平方数最小是 1369．【答案】1369【【例例 11 11】】称能表示成 1+2+3+…+K 的形式的自然数为三角数,有一个四位数 N,它既是三角数,又是完全平方数,N= .【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】走美杯,初赛,六年级,第 14 题【【【解析解析解析】】】N=k×(1+k)/2=m^2,4 位数的话 2000<=k×(k+1)<20000, 45<=k<=140,k=2n n*(2n+1)=N. n 与 2n+1 互质 ,所以要均为平方数.平方数末尾 149650.满足要求的是 4950. 23<=n<=70 发现没有：k=2n-1, n×(2n-1)=N 同上,满足要求是 1650 找到 25 所以 k=49, N=1225, m=35.【答案】1225（2）奇数个约数——指数是偶数【【例例 12 12】】在224,3 39,4416,5 525,6636,……等这些算是中,4,9,16,25,36,……叫做完全平方数.那么,不超过 2007 的最大的完全平方数是_________.【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,复赛,第 4 题,5 分【解析】45×45=2025;44×44=1936,所以最大的是 1936.【答案】1936【【例例 13 13】】写出从 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数．5【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】2 星 【题型】解答【【【解析解析解析】】】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积.如:1400 严格分解质因数后为 23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24 个.(包括1 和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加 1 后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除 0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数． 由以上分析知,我们所求的为 360～630 之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在 360～630 之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数为 361,400,441,484,529,576,625．【答案】361,400,441,484,529,576,625【【例例 14 14】】1016 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数,则 a 的最小值是________．【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】2 星 【题型】填空【【【解析解析解析】】】先将 1016 分解质因数：310162127,由于1016a是一个完全平方数,所以至少为422127,故 a最小为2 127254．【答案】254【【【巩固巩固巩固】】】已知3528a恰是自然数 b 的平方数,a 的最小值是 .【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】2 星 【题型】填空【【【解析解析解析】】】3223528237,要使3528a是某个自然数的平方,必须使3528a各个不同质因数的个数为偶数,由于其中质因子 3 和 7 各有 2 个,质因子 2 有 3 个,所以a为 2 可以使3528a是完全平方数,故a至少为2．【答案】2【【例例 15 15】】从 1 到 2008 的所有自然数中,乘以 72 后是完全平方数的数共有多少个?【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】3 星 【题型】解答【【【解析解析解析】】】完全平方数,其所有质因数必定成对出现．而327223266 ,所以满足条件的数必为某个完全平方数的 2 倍,由于231 3119222008232322048,所以22 1、222、……、2231都满足题意,即所求的满足条件的数共有 31 个．【答案】31【【例例 16 16】】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数,则n的最小值是 .【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,6 年级【【【解析解析解析】】】（法 1）先将12！分解质因数：105212!2357 11 ,由于12!除以n得到一个完全平方数,那么这个完全平方数是12!的约数,那么最大可以为1042235,所以n最小为104212! 2353 7 11 231.（法 2）12!除以n得到一个完全平方数,12!的质因数分解式中3、7、11的幂次是奇数,所以n的最小值是3 7 11231 .【答案】231【【例例 17 17】】有 5 个连续自然数,它们的和为一个平方数,中间三数的和为立方数,则这五个数中最小数的最小值为 ． 【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4 星 【题型】填空【【【解析解析解析】】】考查平方数和立方数的知识点,同时涉及到数量较少的连续自然数问题,设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数,这样前后的数关于中间的数是对称的．设中间数是 x,则它们的和为5x, 中间三数的和为3x．5x是平方数,设2255xa,则25xa,223153 5xaa 是立方数,所以2a至少含有 3 和 5 的质因数各 2 个, 即2a至少是 225,中间的数6至少是 1125,那么这五个数中最小数的最小值为 1123．【答案】1123【【例例 18 18】】求一个最小的自然数,它乘以 2 后是完全平方数,乘以 3 后是完全立方数,乘以 5 后是 5 次方数． 【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4 星 【题型】解答 【【【解析解析解析】】】为使所求的数最小,这个数不能有除 2、3、5 之外的质因子．设这个数分解质因数之后为235abc,由于它乘以 2 以后是完全平方数,即1235abc是完全平方数,则(1)a 、b、c都是 2 的倍数;同理可知a、(1)b 、c是 3 的倍数,a、b、(1)c 是 5 的倍数．所以,a是 3 和 5 的倍数,且除以 2 余 1;b是 2 和 5 的倍数,且除以 3 余 2;c是 2 和 3 的倍数,且除以5 余 4．可以求得a、b、c的最小值分别为 15、20、24,所以这样的自然数最小为152024235．【答案】152024235【【例例 19 19】】三个连续正整数,中间一个是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数” ．问：所有小于 2008 的美妙数的最大公约数是多少? 【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】华杯赛【【【解析解析解析】】】60345 是一个美妙数,因此美妙数的最大公约数不会大于 60．任何三个连续正整数,必有一个能为 3 整除,所以,任何美妙数必有因子 3．若中间的数是偶数,它又是完全平方数,必定能为 4 整除;若中间的数是奇数,则第一和第三个数是偶数,所以任何美妙数必有因子 4．另外,由于完全平方数的个位数字只能是 0,1,4,5,6,9,若其个位是 0 和 5,则中间的数能被 5 整除;若其个位是 1 和 6,则第一个数能被 5 整除;若其个位是 4 和 9,则第三个数能被 5 整除．所以,任何美妙数必有因子 5．由于3,4,5 的最小公倍数是 60,所以任何美妙数必有因子 60,故所有美妙数的最大公约数至少是 60．综合上面分析,所有美妙数的最大公约数既不能大于 60,又至少是 60,所以,只能是 60．【答案】60【【例例 20 20】】考虑下列 32 个数：1!,2!,3!,……,32!,请你去掉其中的一个数,使得其余各数的乘积为一个完全平方数,划去的那个数是 ．【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4 星 【题型】填空【【【解析解析解析】】】设这 32 个数的乘积为 A．2221! 2! 3!32!(1!)2(3!)4(31!)32A    2216(1! 3!31!)(2432)(1! 3!31!)216! ,所以,只要划去16!这个数,即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数．另外,由于16!16 15!,而 16 也是完全平方数,所以划去15!也满足题意．【答案】16!或15!,答案不唯一【【例例 21 21】】一个数的完全平方有 39 个约数,求该数的约数个数是多少?【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4 星 【题型】解答【【【解析解析解析】】】设该数为1212naaanppp,那么它的平方就是1222212naaanppp,因此 1221212139naaa．由于391 393 13 ,⑴所以,1213a  ,22113a  ,可得11a ,26a ;故该数的约数个数为 1 16114个;⑵或者,12139a  ,可得119a ,那么该数的约数个数为19120 个．所以这个数的约数个数为 14 个或者 20 个．【答案】14 个或者 20 个【【例例 22 22】】有一个不等于 0 的自然数,它的12是一个立方数,它的13是一个平方数,则这个数最小是 ．【考点】平方数特征之奇数个约数 【难度】4 星 【题型】填空7【关键词】希望杯,六年级,二试,第 9 题,5 分【【【解析解析解析】】】设为2 3abc（c为不含质因子 2,3 的整数）,则它的12是123ac是立方数,所以1a 是 3 的倍数,b是3 的倍数,另外它的13即12 3abc是一个平方数,所以a是偶数,b是奇数,符合以上两个条件的a的最小值为 4,b的最小值为3,这个数最小为 432．【答案】432（3）平方数的整除特性【【例例 23 23】】三个连续正整数,中间一个是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”.问所有的小于 2008 的“美妙数”的最大公约数是多少?【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】华杯赛,决赛,第 11 题,10 分【解析】①任何三个连续正整数,必有一个能为 3 整除．所以,任何“美妙数”必有因子 3．②若三个连续正整数中间的数是偶数,它又是完全平方数,必定能为 4 整除;若中间的数是奇数,则第一和第三个数是偶数,所以任何“美妙数”必有因子 4．③完全平方数的个位只能是 1、4、5、6、9 和 0,若其个位是 5 和 0,则中间的数必能被 5 整除,若其个位是 1 和 6,则第一个数必能被 5 整除,若其个位是 4 和 9,则第三个数必能被 5 整除．所以,任何“美妙数”必有因子 5．④上述说明“美妙数”都有因子 3、4、和 5,也就有因子 60,即所有的美妙数的最大公约数至少是60．60=3×4×5 是一个“美妙数”,美妙数的最大公约至多是 60．所有的美妙数的最大公约数既不能大于 60,又至少是 60,只能是 60.【答案】60【【例例 24 24】】证明：形如 11,111,1111,11111,…的数中没有完全平方数.【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】2 星 【题型】解答【【【解析解析解析】】】略【答案】由于奇数的平方是奇数,偶数的平方为偶数,而奇数的平方除以 4 余 1,偶数的平方能被 4 整除．现在这些数都是奇数,它们除以 4 的余数都是 3,所以不可能为完全平方数．【【例例 25 25】】记(1 23)(43)Snk  ,这里3n ．当 k 在 1 至 100 之间取正整数值时,有 个不同的 k,使得 S 是一个正整数的平方． 【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】少年数学智力冬令营【【【解析解析解析】】】一个平方数除以 4 的余数是 0 或 1．当4n 时,S 除以 4 余 3,所以 S 不是平方数;当3n 时,49Sk,当 k 在 1 至 100 之间时,S 在 13 至 409 之间,其中只有 8 个平方数是奇数：25,27,29,211,213,215,217,219,其中每 1 个平方数对应 1 个 k,所以答案为 8．【答案】8【【例例 26 26】】能够找到这样的四个正整数,使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够,请举出一例;若不能够,请说明理由． 【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】4 星 【题型】解答【【【解析解析解析】】】略【答案】因为偶数的平方能被 4 整除,奇数的平方被 4 除余 1,因此任一正整数的平方2n被 4 除余 0 或 1．假设存在四个正整数1234nnnn、、、,使得22002(12 3 4)ijn nm ijij，，，，，．又2002被 4 除余 2,故ijn n被 4 除余 2 或 3．若1234nnnn、、、中有两个偶数,如12nn、是偶数,那么12n n是 4 的倍数,2002ijn n 被 4 除余 2,,所以不可能是完全平方数;因此1234nnnn、、、中至多只有一个偶数,至少有三个奇数．设123nnn、、为奇数,4n为偶数,那么123nnn、、被 4 除余 1 或 3,所以123nnn、、中至少有两个数余数相同．如12nn、被 4 除余数相同,同8为 1 或 3,那么12n n被 4 除余 1,所以122002n n 被 4 除余 3,不是完全平方数;综上,2002ijn n 不可能全是完全平方数．【【例例 27 27】】1 3 51991  的末三位数是多少?【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】5 星 【题型】解答【【【解析解析解析】】】首先,仅考虑后三位数字,所求的数目相当于1 3 5991  的平方再乘以993 995 997999的末三位．而993 995997999993 999995997   993000993995000995 39930009939950002985,其末三位为7 15105;然后来看前者．它是一个奇数的平方,设其为 25k (k 为奇数),由于 22252525251kkk,而奇数的平方除以 8 余 1,所以21k 是 8 的倍数,则2251k 是 200的倍数,设2251200km,则 2252525125200kkm,所以它与 105 的乘积 2510525200105210002625kmm,所以不论 m 的值是多少,所求的末三位都是 625．【答案】625【【例例 28】 28】求所有的质数 P,使得241p 与261p 也是质数．【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】5 星 【题型】解答【【【解析解析解析】】】如果5p ,则241101p  ,261151p  都是质数,所以 5 符合题意．如果 P 不等于 5,那么 P 除以5 的余数为 1、2、3 或者 4,2p除以 5 的余数即等于21、22、23或者24除以 5 的余数,即 1、4、9或者 16 除以 5 的余数,只有 1 和 4 两种情况．如果2p除以 5 的余数为 1,那么241p 除以 5 的余数等于4 1 15  除以 5 的余数,为 0,即此时241p 被 5 整除,而241p 大于 5,所以此时241p 不是质数;如果2p除以 5 的余数为 4,同理可知261p 不是质数,所以 P 不等于 5,241p 与261p 至少有一个不是质数,所以只有5p 满足条件．【答案】5【【例例 29】 29】古时候有两位贩卖家畜的商人把他们共有一群牛卖掉,每头牛买得的钱数正好等于牛的头数.他们把所得的钱买回了一群羊,每只羊 10 文钱,钱的零头又买了一只小羊.他们平分了这些羊,结果第一个人多得了一只大羊,第二人得到了那只小羊.为了公平,第一个人应补给第二个人____文钱.【考点】平方数特征之平方数的整除特性 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】走美杯,四年级,初赛,第 15 题【解析】根据题意,设每头牛的价钱为 10a+b（a、b 不同为 0,a、b 为自然数）,因为题目中明显给出“每头牛卖的钱数正好等于牛的头数”可知买牛人所得到钱数为：22210a+b10020aabb,由题意得这个总数的十位数字必为奇数否则不会达到“平分这些羊,并且一个人得到一只大羊,第二个人得到了那只小羊”,而210020aab的十位必为偶数,所以只要看2b的值,尝试得到只有 16 和 36 满足条件,所以小羊的价格应该为 6,那么第一个人应该补给第二个人：1062=2（文）【答案】2文钱。