三个二次间关系(教师).docx

第 1 页 共 11 页三个三个““二次二次””间的间的关系关系一．一． 知识梳理知识梳理一．二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系一．二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ0)的图象xyOx1x2xyOx1＝x2xyO一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2＝－b ± Δ2a有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实根ax2＋bx＋c>0 (a>0){x|xx2} (x1＜x2)}2{abxxR一元二次不等式解集 ax2＋bx+c0){x|x10，a0)，一根(Δ＝0)，无根(Δx2，x1＝x2，x1A 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上 f(x)min>A；若不等式 f(x)A 成立，则等价于在区间 D 上 f(x)max>A；若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)A 在区间 D 上恰成立，则等价于不等式 f(x)>A 的解集为 D；若不等式 f(x)0)的根的分布的根的分布第 2 页 共 11 页分布情况两根都小于即kkxkx21,两根都大于即kkxkx21,一个根小于，一个大于k即k12xkx)0()(2acbxaxxf大致图象得出的结论 02 0bka f k     02 0bka f k     0kf分布情况两根都在内nm,两根有且仅有一根在内（有两种情nm,况，只画了一种）一根在内，另一根nm,在内，qp,qpnm)0()(2acbxaxxf大致图象得出的结论   0 0 02fm fn bmna    0nfmf       0 000fm fnfpfq二．典例剖析二．典例剖析题型一题型一 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法【【例例 1】】1.（2013·重庆高考）关于 x 的不等式 x2－2ax－8a20)的解集为(x1，x2)，且 x2－x1＝15，则 a＝( )A. B. C. D. 5272154152 解: 法一：不等式 x2－2ax－8a20，∴a＝ ，故选 A.(x1＋x2)2－4x1x2(2a)2－4(－8a2)52 解法二：由 x2－2ax－8a20，∴不等式 x2－2ax－8a20 时，原不等式可化为 x20。

2)a>0 时，Δ＝4－4a2.①当 Δ>0，即 01 时，x∈∅.(3)当 a0，即－1}．1＋ 1－a2a1－ 1－a2a②Δ＝0，即 a＝－1 时，不等式化为(x＋1)2>0，∴解为 x∈R 且 x≠－1.③Δ0}；当－1}；1＋ 1－a2a1－ 1－a2a 当 a＝－1 时，解集为{x|x∈R 且 x≠－1}；当 a0，|a|≤1 恒成立的 x 的取值范围． 解：(1)将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.令 f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.因 为 f(a)>0 在|a|≤1 时恒成立，所以 ①若 x＝3，则 f(a)＝0，不符合题意，应舍去． ②若 x≠3，则由一次函数的单调性，可得Error!，即Error!，解得 x4. 【【课堂练习课堂练习 5】】1. （2014·湘潭模拟）对于满足 0≤a≤4 的实数 a，使 x2＋ax>4x＋a－3 恒成立的 x 取值范围 是________． 解析：原不等式等价于 x2＋ax－4x－a＋3>0，∴a(x－1)＋x2－4x＋3>0，令 f(a)＝a(x－1)＋x2－4x＋3，则 函数 f(a)＝a(x－1)＋x2－4x＋3 表示直线，∴要使 f(a)＝a(x－1)＋x2－4x＋3>0，则有 f(0)>0，f(4)>0，即 x2－4x＋3>0 且 x2－1>0，得 x>3 或 x0),若1[ 1,2]x ,2[ 1,2]x ,使得 f(x1)= g(x2),则实数 a的取值范围是（ ）第 9 页 共 11 页A．1(0, ]2B． 1[ ,3]2C．(0,3]D．[3,)【答案】D 3. (2015·丽水模拟)当 x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0 恒成立，则实数 m 的取值范围是( )A．(－2,1) B．(－4,3) C．(－1,2) D．(－3,4)解析：选 C 原不等式变形为 m2－m＜x，∵函数 y＝x在(－∞，－1]上是减函数，∴x≥－1＝2，(12)(12)(12) (12)当 x∈(－∞，－1]时，m2－m＜x恒成立等价于 m2－m＜2，解得－1＜m＜2.(12)4. （2012 广东）设 a＜1，集合，．20 ,23(1)60AxR xBxRxa xaDAB（1）求集合 D（用区间表示） ；解析：（１）设，其对称轴为，2( )23(1)6g xxa xa3(1) 4ax判别式，，219(1)483()(3)3aaaa (0)6ga①当时，，B=R，；113a0 (0,)DAB②当时，，的两根为，，1 3a 0 ( )0g x 13(1) 4ax23(1) 4ax当即 a>0 时，，，；○ A3(1)04 (0)60aga 120xx12(,)(,)Bxx 12(0,)(,)Dxx当即时，，；○ B3(1)04 (0)60aga 10a 120xx2(,)Dx当即时，，，；○ C3(1)04a1a  (0)0g120xx2(,)Dx综上所述：当时， ；113a(0,)D 当时，，103a3(1)(31)(1)3(1)(31)(1)(0,)(,)44aaaaaaD当时，.0a 3(1)(31)(1)(,)4aaaD5. 已知函数.)4(log)(2 2axxxf（1）若，求；(1)2f(4 )fa（2）若时，函数恒有意义，求实数的取值范围；0,2x( )f xa※（3）函数在区间上的最大值与最小值之差为 1，求实数的值。

)f x0,2a解答 (1) 所以……………………3 分(1)2f5 2log21aa(4 )(4)faf16 2log4(2) 即：当时恒成立，当时，0,2x240xax0x aR当时,恒成立，，当时恒成立0,2x240xax2 2444xaxxaxxx0,2x即：，所以………………7 分min44axx,4a 第 10 页 共 11 页(3) 令由（2）知，2( )4h xxax,4a (i)若，则的对称轴，则,所以,0a ( )h x02ax minmax( )(0)4( )(2)82h xhh xha 8 2 max2min2( )log( )log 4af xf x 8224a,0a(ii)若，则的对称轴，则0,2a( )h x0,12ax ,所以2minmax( )( )424 ( )(2)82aah xhh xha 28 2 max244 min2( )log( )logaaf xf x 2822 44a a ,与矛盾24004aaa 或0,2a（iii）若，则的对称轴，则2,4a( )h x1,22ax 2minmax( )( )424 ( )(0)4aah xhh xh 所以，根据题意，有2 44 min4 max( )log( )logaaaf xf x 22444444 222loglog1log1aa ,其中满足条件，综上：或…………12 分2 24282 2 44aaa  2 2a 2 2a 0a 6. 已知函数是定义在(-∞,+∞)上的奇函数.) 1, 0(241)(aaaaxfx且(1)求的值；a (2)求函数的值域；)(xf(3)当，恒成立，求实数 t 的取值范围.[高&考%资(源、网 c]] 1 , 0(x22)(xxtf[解析] (1)∵f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,即 f(-x)=-f(x)恒成立,∴f(0)=0. 即 1-=0, 解得 a=2. 42 × a0＋a(2)∵y=,∴2x=,由 2x>0 知>0, ∴-10)，则 t>1，所以 m≤－＝－对任意 t>1 成立．t－1t2－t＋11t－1＋1t－1＋ 1第 11 页 共 11 页因为 t－1＋＋ 1≥2 ＋1＝3, 所以 －≥－ ，1t－1（t－1）·1t － 11t－1＋1t－1＋ 113当且仅当 t＝2, 即 x ＝ ln 2 时等号成立．因此实数 m 的取值范围是.(－∞，－13]。