浅论高考压轴题中点差法运用.docx

浅论高考压轴题中“点差法”运用 摘 要： 解析几何在高考中占有重要地位，一般放在试题倒数第二题，有时也成为压轴题在高考中，绝大多数学生只能完成第1问，第2问，因计算量大而难无法完成在平时学习及复习过程中，要让自己真正理解解析几何中的最优解法与算法，这样在考试中才能作出正确的、最优的解法选择，这样才能事半功倍关键词：点差法;椭圆;双曲线;抛物线一、“点差法”的基本步骤若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量我们称这种代点作差的方法为“点差法”二次曲线上两点，设的中点，的斜率为由（1）-（2）得，又∵∴ 这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式即已知弦的中点，可求弦的斜率;已知斜率，可求弦的中点坐标同时也告诉我们当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点在一起时，就要想到“点差法”二、“点差法”的基本题型题型一：以定点为中点的弦所在直线的方程例1、已知抛物线，过点的直线交抛物线于A、B两点且点平分AB，求直线的方程分析：此题涉及到弦AB的斜率及弦AB的中點坐标，故采用“点差法”。

解：设则从而直线的方程为题型二：过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例2、已知椭圆C：，直线过点P（1，1）交椭圆C于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程分析：此题涉及到弦AB的中点坐标，且弦的斜率等于MP的斜率，故采用“点差法”解：设，则∵点P在椭圆内部，直线与椭圆恒有两个交点，∴点M的轨迹方程为：题型三：圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例3、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，两式相减得，即，，这就是弦中点轨迹方程它与直线的交点必须在椭圆内联立，得 则必须满足，即，解得题型四：证明定值问题例4、已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值证明 设且，则，（1），（2）得：，，，又，，（定值）三、“点差法”的局限性举例说明：已知双曲线的方程，是否存在被点平分的弦，如果存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在，请说明理由按照常规的解法：直线的斜率一定存在，设直线的方程为，与原双曲线的方程联立得：，由得且，但是由“点差法”仍然可得到一条直线的斜率显然不符合题意。

由此可见，“点差法”是有局限性的事实上： （1）若中点在圆锥曲线（包括圆）内部，则满足条件的直线必定存在;（2）若中点在圆锥曲线（包括圆）上，则满足条件的直线必不存在;（3）若中点在圆锥曲线（除双曲线外）外部，则满足条件的直线必不存在特别的，对对于点在双曲线的外部时，满足 时直线必定存在，否则一定不存在（当点在坐标轴上属于特殊情况，应当特别考虑）参考文献【1】 韩晓刚，“点差法”解决圆锥曲线的中点弦问[J].学周刊， 2011， （12）：132-133 -全文完-。