奥数第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题.doc

教学视频-公开课 ,优质课,展示课,课堂实录( ( 含参数的一元二次方程的整数根问题对于一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法．例 1 m 是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根．解法 1 首先，m 2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3) 2＞0，所以 m≠3．用求根公式可得由于 x1，x 2是正整数，所以m-1=1，2， 3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，解得 m=2．这时 x1=6，x 2=4．解法 2 首先，m 2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x 2，则由根与系数的关系知所以 m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有 m2=4，9，25 才有可能，即 m=±2，±3，±5．经检验，只有 m=2 时方程才有两个不同的正整数根．说明 一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法 1 就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法 2 就是如此，这些都是最自然的做法．例 2 已知关于 x 的方程教学视频-公开课 ,优质课,展示课,课堂实录( ( 2-13a＋15=0(其中 a 是非负整数)至少有一个整数根，求 a 的值．分析 “至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．解 因为 a≠0，所以所以所以只要 a 是 3 或 5 的约数即可，即 a=1，3，5．例 3 设 m 是不为零的整数，关于 x 的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求 m 的值．解 一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令Δ=(m- 1)2-4m＝n 2，其中 n 是非负整数，于是m2-6m+1=n2，所以 (m-3)2- n2=8，(m-3＋n)(m-3-n)＝8．教学视频-公开课 ,优质课,展示课,课堂实录( ( m-3＋n≥m- 3-n，并且(m-3＋n)+(m- 3-n)=2(m-3)是偶数，所以 m-3＋n 与 m-3-n 同奇偶，所以说明 一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．例 4 关于 x 的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且 a 是整数，求 a 的值．解 当 a=0 时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．当 a≠0 时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式Δ＝ 4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)为完全平方数，从而 9-4a 是完全平方数．令 9-4a=n2，则 n 是正奇数，教学视频-公开课 ,优质课,展示课,课堂实录( ( x1为整数，而 n 为正奇数，只能 n=1，从而 a=2．要使 x2为整数，即 n-3｜4，n 可取 1，5，7，从而 a=2，-4，-10．综上所述，a 的值为 2，-4，-10．说明 本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．例 5 已知关于 x 的方程x2＋(a-6)x＋a=0的两根都是整数，求 a 的值．解 设两个根为 x1≥x 2，由韦达定理得从上面两式中消去 a 得x1x2+x1+x2＝6，所以 (x 1＋1)(x 2+1)=7，所以 a=x1x2=0 或 16．说明 利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于 x1，x 2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．例 6 求所有有理数 r，使得方程rx2+(r+1)x＋(r-1)=0的所有根是整数．分析 首先对 r=0 和 r≠0 进行讨论．r=0 时，是关于 x 的一次方程；r≠0 时，是关于 x 的二次方程，由于 r 是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数 r 消去．解 当 r=0 时，原方程为 x-1=0，所以 x=1．教学视频-公开课 ,优质课,展示课,课堂实录( ( r≠0 时，原方程是关于 x 的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x 2，且 x1≥x 2，则消去 r 得x1x2-x1-x2＝2，所以(x 1-1)(x2-1)=3．例 7 已知 a 是正整数，且使得关于 x 的一元二次方程ax2＋2(2a- 1)x＋4(a-3)=0至少有一个整数根，求 a 的值．解 将原方程变形为(x＋2) 2a= 2(x＋6)．显然 x＋2≠0，于是由于 a 是正整数，所以 a≥1，即教学视频-公开课 ,优质课,展示课,课堂实录( ( x 2+2x-8≤0，(x＋4)(x-2)≤0，所以 -4≤x≤2(x≠- 2)．当 x=-4，- 3，-1，0，1，2 时，得 a 的值为 1，6，10，3，说明 从解题过程中知，当 a=1 时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10 时，方程只有一个整数根．有时候，在关于 x 的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．例 8 已知方程 x2+bx+c=0 与 x2+cx＋b=0 各有两个整数根 x1，x 2(2)求证：b-1≤c≤b＋1；(3)求 b，c 的所有可能的值．解 (1)由 x1x2＞0 知，x 1与 x2同号．若 x1＞0，则 x2＞0，(2)由(1)知，x 1＜0，x 2＜0，所以 x1≤-1，x 2≤-1．由韦达定理c-(b- 1)=x1x2＋x 1＋x 2＋1=(x1＋1)(x2+1)≥0，所以 c≥b-1．同理有教学视频-公开课 ,优质课,展示课,课堂实录( ( c≤b+1，所以 b-1≤c≤b+1．(3)由(2)可知，b 与 c 的关系有如下三种情况：(i)c=b＋1．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x 2)＋1，所以 (x 1＋1)(x 2＋1)=2，解得 x1＋x 2=-5，x 1x2=6，所以 b=5，c=6．(ii)c=b．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x 2)，所以 (x 1+1)(x2＋1)=1，所以 x1=x2=-2，从而 b=4，c=4．(iii)c=b-1．由韦达定理知所以综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．练习二十六1．填空：(1)方程 x2+px+1997=0 恰有两个正整数根 x1，x 2，教学视频-公开课 ,优质课,展示课,课堂实录( ( k 为整数，且关于 x 的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x＋18=0有两个不相同的正整数根，则 k=____．(3)两个质数 a，b 恰好是关于 x 的方程 x2-21x＋t=0 的两个根，(4)方程 x2+px＋q=0 的两个根都是正整数，并且 p+q=1992，则方程较大根与较小根的比等于____．(5)已知方程(a 2-1)x2-2(5a+1)x＋24=0 有两个不相等的负整数根，则整数 a 的值是____．2．设 m 为整数，且 4＜m＜40，又方程(x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8＝0有两个整数根，求 m 的值及方程的根．3．已知关于 x 的一元二次方程x2+(m-17)x+m-2=0的两个根都是正整数，求整数 m 的值．4．求使关于 x 的方程 a2x2＋ax＋1-7a 2=0 的两根都是整数的所有正数 a．5．求所有的整数 a，使得关于 x 的二次方程ax2＋2ax＋a-9＝0至少有一个整数根．[文章来源：教师之家 转载请保留出处][相关优质课视频请访问：教学视频网 。