7-4一阶线性微分方程.ppt

第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程•一、伯努利方程一、伯努利方程 •二、线性微分方程二、线性微分方程• 三、小结三、小结伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式方程为方程为线性微分方程线性微分方程. 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程. 一、伯努利方程一、伯努利方程（一阶微分方程）（一阶微分方程）注意方程特点注意方程特点例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.二、线性微分方程二、线性微分方程(1)方程特点方程特点:(n=0时)齐次方程的通解为齐次方程的通解为1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)(2)（（II））2. 线性非齐次方程线性非齐次方程讨论讨论:两边积分两边积分非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:(1)常数变易法常数变易法:把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换(1) 猜想猜想积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解（公式记住！）（公式记住！）（（ＩＩ））（分析：两个部分）（分析：两个部分）解解:例例1 1这是一个非齐次线性方程这是一个非齐次线性方程. 先求对应的先求对应的齐次方程的通解齐次方程的通解.则则即即则则 代入非齐次方程代入非齐次方程, 得得即即 代人代人 得方程的通解为：得方程的通解为：另解另解（直接代公式）：（直接代公式）： 求方程求方程解解:原方程的通解为：原方程的通解为：例例2 2积分上限函数的性质定理积分上限函数的性质定理另解（分离变量法）：另解（分离变量法）：解：解：例例3 3原方程的通解为：原方程的通解为：例例4 4（（x为因变量）为因变量）解：解：原方程的通解为：原方程的通解为：例例5 5 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .两边求导得两边求导得解：解：解此微分方程解此微分方程即即由定积分的几何意义可知由定积分的几何意义可知所求曲线为所求曲线为思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.思考题解答思考题解答 三、小 结一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:(1)上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.1. 线性齐次方程线性齐次方程(2)分离变量法得通解为：分离变量法得通解为：一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:（公式记住！）（公式记住！）2. 线性非齐次方程线性非齐次方程(1)常数变易法得常数变易法得: 布布 置置 作作 业业 P315 习题习题7-4 1. (9) ；； 2.(1)、、(2)；；3. 做习题时，要注意化简答案。

参见书后的答案，做习题时，要注意化简答案参见书后的答案，研究怎么化简，不要使答案繁复研究怎么化简，不要使答案繁复。