第二讲二次函数、方程与不等式(答案).doc

第二讲、二次函数、方程与不等式一、 明确复习目标1. 掌握二次函数的图彖和性质；2. 会讨论二次方程实根分布和二次不等式的解；3. 会运用数形结合、分类讨论、函数与方程以及等价转化等重要的数学思想分析解决 有关二次的问题二、 建构知识网络1. 二次函数的三种表达式：一般式：y = ax2 +/?x + c；顶点式：y = a(x-//?)2+川；零点式：y = a(x-x})(x-x2)2. 二次两数y = cix2+bx + c图象抛物线的开口方向，对称轴：x = —f顶点：2a/ b 4ac-b2 x _ 『厂b、 4ac-h2 出讪 八、/ b、亍 b 、、( , ), 最值：j (—)= , 单•调区.间：(一°°, ］, ［ ,+°°)2a 4a ' 2a 4a 2a 2a3. 二次函数在闭区间上，必有最大值和最小值，当含有参数吋，要按对称轴相对于区间 的位置进行讨论4. 一元二次方程实根分布的讨论(1) 利用函数的图象、性质；(2) 利用韦达定理、判别式三、 典型例题题型1：二次函数区间最值问题例1・函数y = -x2 +4x-2在区间［0, 3］上的授大值是 ,授小值是 o解：函数y = -x2+4x-2 = -(x-2)2 + 2是定义在区间［0, 3］上的二次函数，其对称轴方程是x = 2,顶点坐标为(2, 2), H.其图彖开口向下，显然其顶点横坐标在［0, 3］上,如图1所示。

函数的最大值为/(2) = 2 ,最小值为/(0) = -2 o例2•如果函数/(%) = (%-1)2+1定义在区间［” + 1］上，求/(Q的最小值解：函数 ,其对称轴方程为 I，顶点坐标为(1, 1),图象开口向上如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，冇I I,此时，当I 时,函数取得最小值如图2所示,若顶点横坐标在区间上吋，有时，函数取得最小值如图3所示，若顶点横朋标在区间右侧时，柯 I,即I L当I I吋，函数取得最小值(r-l)2+l,r>l1, 00,则/(心和=/(2) = % + 1由 8q + 1 = 4^a = -8(3 )若a v0 时，则 /(x)max = /(-I) = \-a由 1 —。

4 ,得a = —33综上知d =—或a = —383•已知函数/(x) = —— +尢在区间［加,闵上的最小值是3加最大值是3/?,求2解法1:讨论对称轴"1中1与"竺空/的位置关系 2①若必心1，则卩(叽严l/Wmin =/(^)= 3^解得尬=一4， « = 0—卄 m + n②若 < 1 < Z2，则 O 解_：由1(西一3)(七一3)<0解得：Q <3解二：设/(x)=F—4x + q,则如图所示，只须/(3)<0,解得av32< a <3I 8-\

解：如图，设 f(x) = x2+(a2 -9)兀[/(0)< 0 则只须U(2)v°,解之得例5•已知关于无的方程兀2_伙+ 1)兀+丄疋+]二0,根据下列条件，分别求出Z：的值.4⑴方程两实根的积为5； (2)方程的两实根西，兀2满足lx, |=x2.分析：⑴ 山韦达定理即可求之；(2)有两种可能，一-是x,=x2>0,二是-x, =x2, 所以要分类讨论.解：(1) J方程两实根的积为5A = [-(Z: + l)]2-4(-F+l)>0・：v ° =>kn-,£ = ±4x.x0 = —k2 +1 = 5 24所以，当k=4时，方程两实根的积为5.(2)由 | x, |= x2 得知:① 当x, >0时，x, =x2,所以方程有两相等实数根，故△ = =② 当兀1<0时，一兀]=吃=*召+禺=0 => R +1 = 0 => k =—1,由于A>0=>^>-,故£ = 一1不合题意，舍去.23综上可得，k=~.时，方程的两实根西，兀2满足1西1=兀2・2说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实 根的条件，即所求的字母应满足变式•己知%,,兀2是一元二次方程4尬2 一 4也+ £ +1 = 0的两个实数根.(1) 是否存在实数比，使(2x,-x2)(x,-2x2) = --成立？若存在，求出£的值；2若不存在，请您说明理由.(2) 求使巴+鱼-2的值为整数的实数k的整数值.x2 xl解：(1)假设存在实数k ,使(2%| — %2 )(-^1 — 2兀2)=—成立.・・・一元二次方程4也2 _ 4尬+ £ + 1 = 0的两个实数根42 0_ => Z: < 0,△ = (-4Z:)2 - 4 • 4k(k +1) = —16k 二 0又西,兀2是一元二次方程4也2 一 4恋+ R +1 = 0的两个实数根4k/• (2%j - x2 )(%j - 2x2) = 2(xj + x22) - 5x)x2 = 2(x)+x2)2 一 9xtx2^- = --^k = -,但RvO.4k 2 5不存在实数k f使(2Xj — %2)(Xj — 2x2 )=— 成立.2(2) 玉 + 鱼_2=舛2 +花2 _2=(舛 +兀2尸 _4= 4 = —x2 Xj XjX2 k + 1 £ + 1•••要使其值是整数，只需k + 1能被4整除，故k + l = ±l，±2,±4,注意到k<0,要使玉+巴- 2的值为整数的实数k的整数值为-2,-3,-5・ x2 X]说明：(1)存在性问题的题型，通常是先假设存在，然示推导其值，若能求出，则说明 存在，否则即不存在.4(2)木题综合性较强，要学会对为整数的分析方法.£ + 1练习1. 一•元二次方程(\-k)x2-2x-\=0有两个不相等的实•数根，则上的取值范围是()A. k>2B. k < 2,且R H 1C. k <2D-k >2、且k H 12.若兀］,兀2是方程2/-6x+ 3 = 0的两个根，则—+ —xx x2的值为()A. 2B. —2C.丄D.9223.若实数 ciHb, Ha,b 满足 a2 -8a+ 5 =二 Ok—8b + 5=0,则b-\a — \+ 1的值为a-1 b-1()A. -20 B. 2 C. 2或一20 D. 2或204. 若方程2/—仗+ 1)兀+比+ 3 = 0的两根Z差为1,则k的值是 .5. 设召，勺是方程兀2 + px + q = 0的两实根，xl +l,x2 +1是关于兀的方程F +qx + p = 0的两实根，贝'J p = , q = .6. 对于二次三项式x2-10x + 36,小明得出如下结论：无论兀取什么实数，其值都不可能等于10,您是否同意他的看法？请您说明理由.7. _元二次方程7兀2 _(加+ 13)尤+加2-加一2 = 0两根西、兀2满足0<兀|<］<花<2 求加取值范毎I。

8. 已知关于兀的一元二次方程兀2 + (4加+ 1)兀+ 2加一1 = 0.(1) 求证：不论ni为任何实数，方程总冇两个不相等的实数-根；(2) 若方程的两根为兀］,兀,，ri满足—I—=—,求加的值.xl x2 2答案：1. B 2・ A 3・ A 4. 9 或一3 5・ p = - \,q = -3 6.正确/(0)> 0V(D可得 一 2v〃v —1 或 3 0 (2)/?? = --2。