概率论第一节 数学期望讲义.ppt

随机变量的概率分布及其分布函数,— 完整地描述了随机变量的取值规律而在一些实际问题中，只需知道描述随机变量的 某种特征的量,— 随机变量的数字特征一、随机变量的数学期望,三、数学期望的性质,二、随机变量函数的数学期望,四、小结,第一节 数学期望(mathematical expectation),,,,,,,试问哪个射手技术较好?,例1 谁的技术比较好?,数学期望（均值） — 描述随机变量平均取值的情况例 一批钢筋共有10根，抗拉强度指标为120和 130的各有2根、125的有3根、110、135、140的各有 1根，则它们的平均抗拉强度指标为,可见，平均抗拉强度指标并不是这10根钢筋所取 到的6个值的简单平均，而是取这些值的次数与试验 总次数的比值（频率）为权重的加权平均1. 离散型随机变量的数学期望,一、随机变量的数学期望,,关于定义的几点说明,(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正平均值, 也称 均值.,(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.,试问哪个射手技术较好?,例1 谁的技术比较好?,解,平均起来甲射手每枪击中9.3环,乙射手每枪击中 9.1环.因此甲射手的本领要高一些.,例2 二项分布,则有,设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为,则两点分布b(1,p)的数学期望为 p.,=np,例3 泊松分布,则有,2.连续型随机变量数学期望的定义,定义,设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间 X(以分计)服从指数分布,其概率密度为,试求顾客等待服务的平均时间?,解,因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.,例4 顾客平均等待多长时间?,例5 均匀分布,则有,结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.,例6 指数分布,则有,例7 正态分布,则有,例 (书） 设随机变量 X服从柯西分布,其密度函数为 求E(X). 解: 由于此积分不存在 因此柯西分布的数学期望不存在.,若X为离散型随机变量，分布律为,Y= f (X)为X的函数,则Y的期望为,1. 离散型随机变量函数的数学期望,二、随机变量函数的数学期望,解,例8,求:,2. 连续型随机变量函数的数学期望,若 X 是连续型的,它的分布密度为 f(x) 则,3. 二维随机变量函数的数学期望,解,例11 设 (X ,Y) 的分布律为,由于,三、数学期望的性质,(1) 设C为常数，则有E(C)=C,(2) 设X是一个随机变量，C为常数，则有,(4) 设X，Y是相互独立的随机变量，则有,(3) 设X1，X2,…,Xn是n个随机变量，a1，a2,…,an 为实数，则有,解,例14,四、小结,数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值.,2. 数学期望的性质,3. 常见离散型随机变量的数学期望,4.常见连续型随机变量的数学期望,根据生命表知 , 某年龄段保险者里 , 一 年中每个人死亡的概率为0.002, 现有10000个这类人参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金 . 问每人一年须交保险费多少元?,例1 你知道自己该交多少保险费吗?,备份题,解,设1年中死亡人数为X ,,被保险人所得赔偿金的期望值应为,若设每人一年须交保险费为a 元,,由被保险人交的“纯保险费”与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知,故每人1年应向保险公司交保险费4元.,解,,例2 某大学二年级学生进行了一次数学统考,设其成绩 X 服从 N(75, 9) 的正态分布,试求学生成绩的期望值.,解,例3,例4 商店的销售策略,解,例5,解,例6 如何确定投资决策方向?,某人有10万元现金, 想投资于某项目, 欲估成功的机会为 30%, 可得利润8万元 , 失败的机会为70%, 将损失 2 万元.若存入银行, 同期间的利率为5% , 问是否作此项投资?,解,设 X 为投资利润,则,存入银行的利息:,故应选择投资.,。