数的整除知识点总结PPT.pptx

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,8/1/2011,#,数的整除知识点总结,整除基本概念与性质,最大公约数与最小公倍数,分数与小数的整除问题,同余式与模运算在整除中应用,复杂表达式中整除问题处理方法,总结回顾与拓展延伸,整除基本概念与性质,01,整除定义,若整数a除以非零整数b的商仍为整数，且余数为零，则称a能被b整除，或b能整除a符号表示,a能被b整除记作b|a，否则记作ba整除定义及符号表示,传递性,可加性,可乘性,整除与因子关系,整除性质与定理,01,02,03,04,若b|a且c|b，则c|a若b|a且b|c，则对于任意整数m、n，有b|(ma+nc)若b|a且b|c，则b|(ac)若b|a，则b是a的因子，a是b的倍数对于任意两个整数a和b(b0)，存在唯一的一对整数q和r，使得a=bq+r，其中0rb），它们的最大公约数与最小公倍数之间存在如下关系：a*b=GCD(a,b)*LCM(a,b)。

应用,这个关系在解决一些数学问题时非常有用，比如求两个数的最小公倍数或者判断一个数是否为两个数的公倍数等通过灵活运用这个关系式，可以简化计算过程，提高解题效率最大公约数与最小公倍数关系,分数与小数的整除问题,03,两个分数相除，若除数的倒数与被除数相乘的结果为整数，则称被除数能被除数整除将除数与被除数化为同分母分数，观察分子是否能被分母整除若能，则原分数相除的结果为整数，即被除数能被除数整除分数整除条件及判断方法,判断方法,分数整除条件,将小数写成分母为10、100、1000等的分数形式，然后化简得到最简分数小数化分数方法,将小数化成分数后，按照分数整除的判断方法进行判断若最简分数的分子能被分母整除，则原小数能被除数整除整除判断,小数化为分数进行整除判断,分析,将0.75和0.25化为分数，得到3/4和1/4观察分子3和1，发现3能被1整除，因此0.75能被0.25整除例题1,判断7/8能否被3/4整除分析,将7/8和3/4化为同分母分数，得到21/24和18/24观察分子21和18，发现21不能被18整除，因此7/8不能被3/4整除例题2,判断0.75能否被0.25整除典型例题分析,同余式与模运算在整除中应用,04,同乘性,自反性,$a equiv a pmodm$。

传递性,若$a equiv b pmodm$且$b equiv c pmodm$，则$a equiv c pmodm$同加性,若$a equiv b pmodm$，则$a+c equiv b+c pmodm$若两个整数a和b除以正整数m所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记作$a equiv b pmodm$同余式定义,对称性,若$a equiv b pmodm$，则$b equiv a pmodm$若$a equiv b pmodm$，则$ac equiv bc pmodm$同余式基本概念和性质,判断整除性,利用同余式可以判断一个数是否能被另一个数整除例如，若$a equiv 0 pmodm$，则a能被m整除简化计算,在解决整除问题时，可以利用模运算将复杂的问题简化为简单的同余式问题例如，求一个数除以另一个数的余数时，可以直接利用模运算求解寻找规律,通过模运算可以找到一些与整除相关的规律，从而更方便地解决问题例如，在寻找一个数的因子时，可以利用模运算来判断哪些数可能是该数的因子模运算在整除问题中作用,例题1,求$22023$除以13所得的余数该问题可以通过模运算和同余式的性质进行求解。

首先，我们可以找到2的幂次对13取模的循环节，然后利用同余式的性质求出$22023$对13取模的结果证明对于任意正整数n，都存在一组正整数a和b，使得$n=a2+b2$或$n=a2+2b2$该问题可以通过模4运算进行分类讨论首先，我们可以将n按照除以4的余数分为四种情况，然后分别讨论每种情况下a和b的取值范围及满足的条件最后，综合四种情况得出结论分析,例题2,分析,典型例题分析,复杂表达式中整除问题处理方法,05,提取公因子法简化表达式,公因子提取,对于形如$ax+ay$的表达式，可以提取公因子$a$，简化为$a(x+y)$的形式，从而更容易观察其整除性质多次提取,对于更复杂的表达式，可以多次提取公因子，逐步简化表达式，直到能够清晰看出其整除性质奇偶性质,利用奇数和偶数的性质进行变形，例如$a2-b2=(a+b)(a-b)$，当$a$和$b$同奇偶时，该表达式可进一步简化为$2k(a+b)$的形式，其中$k$为整数乘法分配律,利用乘法分配律将复杂表达式拆分为简单表达式的和或差，从而更容易观察其整除性质利用特殊性质进行变形处理,第二季度,第一季度,第四季度,第三季度,例题1,分析,例题2,分析,典型例题分析,证明对于任意整数$n$，$n3-n$都能被6整除。

首先利用提取公因子法将表达式简化为$n(n2-1)=n(n+1)(n-1)$，然后利用奇偶性质分析$n$、$n+1$、$n-1$中至少有一个偶数，同时利用3的整除性质分析至少有一个数是3的倍数，从而得出该表达式能被6整除证明对于任意整数$a$和$b$，$a2+b2-2ab$都能被4整除首先利用完全平方公式将表达式简化为$(a-b)2$，然后利用奇偶性质分析当$a$和$b$同奇偶时，$(a-b)2$能被4整除；当$a$和$b$异奇偶时，$(a-b)$为奇数，$(a-b)2$也能被4整除总结回顾与拓展延伸,06,若整数a除以非零整数b的商仍为整数，则称a能被b整除，或b能整除a整除的定义,整除具有传递性、可交换性和可结合性整除的性质,通过计算余数或观察数字特征来判断一个数是否能被另一个数整除判定方法,关键知识点总结回顾,易错难点剖析和纠正,忽略整除的前提条件,在判断整除时，必须确保除数不为0，否则没有意义混淆整除与除尽的概念,整除要求商为整数，而除尽只要求没有余数，两者并不等价忽视特殊数字的整除特性,例如，能被2整除的数一定是偶数，能被3整除的数各位数字之和也能被3整除等在密码学中，整除性质被广泛应用于加密算法和解密算法的设计和实现。

密码学,计算机科学,数学竞赛,在计算机科学中，整除运算是一种常见的算术运算，被用于各种算法和数据结构的实现中在数学竞赛中，整除问题经常出现，考察学生的数学素养和解题能力03,02,01,拓展延伸：其他相关领域应用,THANKS,感谢观看,。