人教版高一上学期数学(必修一)《2.2.4均值不等式及其应用》同步测试题及答案.docx

人教版高一上学期数学(必修一)《2.2.4均值不等式及其应用》同步测试题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.在不等式a+b2≥ab中,a,b需满足 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.a>0,b>0 B.a≥0,b≥0C.ab≥0 D.ab>02.已知x,y均为正数,且满足x+2y=4,则xy的最大值为 (　 )A.2 B.2 C.22 D.33.若x>1,则y=x2x-1的最小值为 (　 )A.3 B.-3 C.4 D.-44.已知a>0,若关于x的不等式x+ax+1≥3在(-1,+∞)上恒成立,则a的最小值为 (　 )A.1 B.2 C.4 D.85.下列函数中,最小值是22的是 (　 )A.y=x+2x B.y=x3+1x3C.y=x2+2x2+4 D.y=x+2x6.[2023·广东佛山一中高一月考] 已知x>1,则x-1x2-2x+4的最大值为 (　 )A.36 B.12 C.23 D.17.已知x>0,y>0,且x+2y=4,则(1+x)(1+2y)的最大值为 (　 )A.36 B.4 C.16 D.98.(多选题)以下结论中正确的是 (　 )A.y=x+1x的最小值为2B.当a>0,b>0时,1a+1b+2ab≥4C.y=x(1-2x),00,y>0,x+y=2xy,则x+y的最小值为　　　　. 11.已知不等式x+4x-2>m对任意x∈(2,+∞)恒成立,则实数m的取值范围为　　　　. 12.[2023·浙江温州中学高一期末] 若x>0,y>1,则4yx+x3y-1的最小值为　　　　. 三、解答题13.已知a>0,b>0,且a+b+ab=3.(1)求ab的取值范围;(2)求a+b的取值范围.14.(1)若x<3,求y=2x+1+1x-3的最大值.(2)已知x>0,求y=2xx2+1的最大值.15.规定a☉b=ab+a+b(a,b为正实数).若1☉k=3,则k的值为　　　　,此时函数y=k☉xx的最小值为　　　　. 16.(1)已知0b>c,求(a-c)1a-b+1b-c的最小值.参考答案1.B　[解析] 在均值不等式中,我们规定a>0,b>0,但当a=0,b=0时也满足a+b2≥ab.故选B.2.B　[解析] ∵x,y均为正数,x+2y=4,∴xy=12×2xy≤12×(x+2y)24=2(当且仅当x=2y=2时等号成立).故选B.3.C　[解析] ∵x>1,∴y=x2x-1=x2-1+1x-1=x+1+1x-1=x-1+1x-1+2≥2+2=4,当且仅当1x-1=x-1,即x=2时等号成立,∴y=x2x-1的最小值为4.故选C.4.C　[解析] 因为x>-1,所以x+1>0,所以x+ax+1=x+1+ax+1-1≥2(x+1)·ax+1-1=2a-1,当且仅当x+1=ax+1,即x=a-1时取等号,所以x+ax+1的最小值为2a-1.因为不等式x+ax+1≥3在(-1,+∞)上恒成立,所以2a-1≥3,解得a≥4,所以a的最小值为4.故选C.5.D　[解析] 对于A,当x<0时,y=x+2x<0,故A不符合题意;对于B,当x<0时,y=x3+1x3<0,故B不符合题意;对于C,当x=0时,y=x2+2x2+4=12,故C不符合题意;对于D,由均值不等式知y=x+2x≥2x·2x=22(当且仅当x=2时取等号),故D符合题意.故选D.6.A　[解析] 由x>1,得x-1>0,则x-1x2-2x+4=x-1(x-1)2+3=1x-1+3x-1≤12(x-1)·3x-1=36,当且仅当x-1=3x-1,即x=1+3时取等号,故x-1x2-2x+4的最大值为36.故选A.7.D　[解析] 由题意得,(1+x)+(1+2y)=6,1+x>1,1+2y>1,所以(1+x)(1+2y)≤(1+x)+(1+2y)22=9,当且仅当1+x=1+2y,即x=2,y=1时取等号.故选D.8.BC　[解析] 对于A,当x<0时,y<0,故A错误;对于B,当a>0,b>0时,1a+1b+2ab≥21a·1b+2ab=2ab+2ab≥2·2ab·2ab=4,当且仅当a=b=1时取到等号,故B正确;对于C,y=x(1-2x)=12×2x(1-2x)≤122x+1-2x22=18,当且仅当x=14时取等号,故y的最大值为18,故C正确;对于D,当a,b同号时,ab+ba≥2ab·ba=2,当且仅当a=b时取等号,故D错误.故选BC.9.ABD　[解析] 由mn=2m+2n+5≥4mn+5,得(mn-5)(mn+1)≥0,可得mn≥25,当且仅当m=n=5时等号成立,故A正确;由2m+2n+5=mn≤(m+n)24,得(m+n-10)(m+n+2)≥0,可得m+n≥10,当且仅当m=n=5时等号成立,故B正确;显然m≠2,则n=2m+5m-2=2+9m-2,m>2,所以4m+n=4m+9m-2+2=4(m-2)+9m-2+10≥24(m-2)·9m-2+10=22,当且仅当m=72,n=8时等号成立,故C错误,D正确.故选ABD.10.2　[解析] ∵x>0,y>0,x+y=2xy,xy≤x+y22,∴x+y≤(x+y)22,∴x+y≥2,当且仅当x=y=1时等号成立,故x+y的最小值为2.[技巧点拨] 由含有两个变量的等式求这两个变量的和(或积)的最值,需要借助基本不等式消去积(或和),得到关于这两个变量的和(或积)的一元二次不等式,解这个不等式即可.11.(-∞,6)　[解析] 因为x>2,所以x-2>0,所以x+4x-2=x-2+4x-2+2≥24+2=6,当且仅当x-2=4x-2,即x=4时等号成立,又不等式x+4x-2>m对任意x∈(2,+∞)恒成立,所以m<6,故实数m的取值范围为(-∞,6).12.8　[解析] 4yx+x3y-1=4(y-1)+4x+x3y-1=4(y-1)x+x3y-1+4x.因为4(y-1)x+x3y-1≥24(y-1)x·x3y-1=4x,当且仅当4(y-1)x=x3y-1,即2(y-1)=x2时等号成立,4x+4x≥24x·4x=8,当且仅当4x=4x,即x=1时等号成立,所以4yx+x3y-1≥8,当且仅当2(y-1)=x2,x=1,即x=1,y=32时等号成立,所以4yx+x3y-1的最小值为8.13.解:(1)因为a>0,b>0,且a+b+ab=3,所以a+b=3-ab≥2ab,当且仅当a=b=1时取等号,可得00.y=2(x-3)+1x-3+7=-2(3-x)+13-x+7,由均值不等式可得2(3-x)+13-x≥22(3-x)·13-x=22,当且仅当2(3-x)=13-x,即x=3-22时,等号成立,所以-2(3-x)+13-x≤-22,所以y=-2(3-x)+13-x+7≤7-22,故y的最大值是7-22.(2)因为x>0,所以y=2xx2+1=2x+1x,又x+1x≥2x·1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立,所以00,∴4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤22x+(3-2x)22=92,当且仅当2x=3-2x,即x=34时,等号成立,∴4x(3-2x)0b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴2+b-ca-b+a-bb-c≥2+2b-ca-b·a-bb-c=4,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时取等号,∴(a-c)1a-b+1b-c的最小值为4.第 4 页 共 4 页。