2k析因设计分解.ppt

2k析因设计析因设计1 引言•有k个因子，每个因子仅有两个水平完全重复共需要2k个观测值，称为2k析因设计•基本假定：–因子是固定的–设计是完全随机化的–满足正态性•应用于实验工作的早期阶段，如因子筛选试验(factor screening experiment)2 22设计•2个因子，每个因子2个水平•例如：一个化学反应过程中反应物浓度(15%,25%)和催化剂量(1磅,2磅)对反应的产出率有影响每个组合重复3次符号表示法•效应–A代表因子A的效应；–B代表因子B的效应；–AB代表AB的交互作用效应•水平–－代表因子的低水平；–＋代表因子的高水平处理组合及其的试验结果的总和•处理组合的表示–a代表因子A高B低；a=36+32+32=100–b代表因子A低B高；b=18+19+23=60–ab代表因子A高B高；ab=31+30+29=90–(1)代表因子A低B低；(1)=28+25+27=80效应的计算•一个因子的平均效应是这个因子的水平变化产生的响应变化在另一因子水平上取平均值•A的主效应 A=(1/2n)[ab+a-b-(1)]•B的主效应 B=(1/2n)[ab-a+b-(1)]•AB的交互作用效应 AB=(1/2n)[ab-a-b+(1)]•A效应是正的，说明反应物浓度从低水平增至高水平将增加产出率。

反之，B效应是负的，说明催化剂的增加会降低产出率相对主效应来说，交互作用效应显得较小对照分析法•对照(constract)表示某因子的总效应未进行平均值运算的效应值)•对照A = ab+a-b-(1)•对照B = ab-a+b-(1)•对照AB= ab-a-b+(1)•三个对照是正交的，即相应对照系数的乘积之和为0标准顺序•Frank Yates提出的Yates顺序•将处理组合沿着a,b,c,d,…的顺序逐渐增加，每增加一个因子则与前面已有的因子进行组合•例如：•(1),a,b,ab,c,ac,ab,abc,d,ad,bd,abd,cd,acd,abd,abcd,………效应代数符号表的设计•首先，按照标准顺序写出一列处理组合•然后，在I列中全部标“+”号•然后，在处理组合中含有相应主效应处标“+”号，否则标“-”号•最后，将相应的主效应所在列的符号相乘得到相应的交互作用列的符号22设计的效应代数符号表•标准顺序:(1),a,b,ab•代数符号对照•对照(constract)表示某因子的总效应•用效应的代数符号表，将相应的效应列中的符号加到所对应的处理组合上，并求和，就得到该效应的对照。

•如： 对照A=ab+a-b-(1)=90+100-60-80=50 对照B=ab+b-a-(1)=90+60-100-80=-30 对照AB=ab+(1)-a-b=90+80-100-60=10用对照估计效应和计算平方和•估计效应：•计算平方和：计算效应•一个因子的平均效应是那个因子的水平变化产生的响应变化在另一因子水平上取平均值•A效应是正的，说明反应物浓度从低水平增至高水平将增加产出率反之，B效应是负的，说明催化剂的增加会降低产出率相对主效应来说，交互作用效应显得较小对照平方和•对照代表总效应，所以对照平方和代表总变异•对照平方和等于对照的平方除以对照中观测值中属于对照系数平方和的乘积•SSA=•SSB=•SSAB=•由于SST=•所以SSE=SST-SSA-SSB-SSAB=•ANOVA分析结果•结论：两个主效应是显著的，因子间无交互作用与初步判断一致回归模型•利用最小二乘法拟合回归模型•线性回归数据：两因素正规方程组的矩阵形式其中回归方程系数β的最小二乘估计量回归模型•由于无交互作用，则例题的回归模型为 y=β0+β1x1+β2x2+ε•规范变量：x1,x2•自然变量：反应物浓度，催化剂量•x1=[浓度-(浓度低+浓度高)/2]/[(浓度高-浓度低)/2]•x2=[催化剂-(催化剂低+催化剂高)/2]/[(催化剂高-催化剂低)/2]•拟合回归模型： y^=27.5+(8.33/2)x1+(-5/2)x2其中，截距是观测值的总平均，回归系数是响应因子效应估计量的一半。

残差与模型适合性•反应物浓度低水平(x1=-1)，催化剂量低水平(x2=-1)，产量预测值为 y^=27.5+(8.33/2)(-1)+(-5/2)(-1)=25.835–残差为e1=28-28.835=2.165e2=25-28.835=-0.835e3=27-28.835=1.165•同理可计算出12个残差•正态概率图，残差与预测产出率的关系•图形是令人满意的，没有理由怀疑结论的有效性响应曲面•将规范变量转换成自然变量后的回归模型 y^=•绘制三维图形，可见随反应物浓度的增加，催化剂的减少，产量增加响应曲面可以找到过程的潜在改进方向，方法为最速上升法3 23设计•3因子，2水平计算效应的代数符号•首先，按标准顺序排序•然后，标出主效应列的符号含有处理组合的效应为+，否则为-•最后，标出交互作用效应列的符号相应主效应列的乘积•计算平均效应：–A=(1/4n)[处理组合列乘以相应效应列符号] =(1/4n)对照A•同理可得其他效应值•性质：–除列Ⅰ外，每列加号个数与减号个数相等–除列Ⅰ外，任意两列符号乘积之和为零(正交)–列Ⅰ与任一列相乘，该列符号不变，即列Ⅰ是一个单位元素。

–任意两列相乘，得表中另外一列效应的平方和•用对照计算效应的平方和： SS=(对照)2/(8n)例1 晶片蚀刻试验•单晶片等离子蚀刻过程3个因子：A为电极间隙、B为C2F6气体流速、C为RF功率每个因子两个水平每个组合重复2次实验结果见表模型评价指标•R2=SS模型/SS总和•R调整2=1-(SSE/dfE)(SS总和/DF总和)4 一般性2k设计•k个因子，每个因子2个水平•共k个主效应，Ck2个两因子交互作用，Ck3个三因子交互作用，…，1个k因子交互作用共2k-1个效应•处理组合符号表示：•处理组合标准顺序：每出现一个新因子，则与前面各项相乘得到新项一般步骤1.估计因子效应§估计每个因子和交互作用效应，观察大小和符号，做出初步判断2.建立初始模型§如果是重复设计，用完全模型§如果不是重复设计，用效应的正态概率图建立模型3.进行统计检验§ANOVA4.改进模型§将不显著的效应变量去掉5.分析残差§模型适合性检查6.解释结果§图形分析，如效应图、响应曲面图、等高线图等对照的计算•对照AB…K=(a±1)(b±1) …(k±1)•原则：对照中包括的因子，则其相应项中取“-”号，不包括的则取“+”号。

•例：用对照估计效应和计算平方和•估计效应：•计算平方和：5 2k设计的单次重复•2k完全析因设计的处理组合数量大，通常可用资源只允许做一次重复•无重复的风险：不能从模型中将噪音分解出来无重复析因设计•假定某些高阶的交互作用可被忽略，则将它们的均方组合起来用于估计误差•效应稀疏原理：多数系统的主效应和低阶交互作用处于支配地位，而高阶交互作用可被忽略•方法：检查效应估计量的正态概率图可被忽略的效应会大致落在图上的一条直线附近；而显著效应则不会落在这一直线上例2 24设计的单次重复•一个化学产品的生产过程可能影响产品渗透率的因子有：温度(A)、压强(B)、甲醛浓度(C)、搅拌速度(D)每个因子取2个水平单次重复试验，共16次试验工程师感兴趣的是使渗透率达到最大当前生产条件下的渗透率为75加仑/小时当前甲醛浓度(C)为高水平工程师希望尽可能减少甲醛浓度，但会造成渗透率太低•对照常数的符号•由对照估计因子效应及平房和•绘制效应的正态概率图沿直线上的效应可被忽略，大的效应则原理直线，故A、C、D、AC、AD是重要效应•绘制重要效应的效应图•3个主效应都是正的欲最大化渗透率则3个因子均取高水平。

•由AC看出，当浓度C处于高水平是温度A的效应很小，反之很大，在低浓度、高温度时效应最大•由AD看出，低温时搅拌速度D效应小，反之有较大正效应因此，当A和D处于高水平而C处于低水平时，会得到最好的渗透率设计投影•由于B因子不显著而且所有与B有关的交互作用也不可忽略因此，可将B去掉，将一个单重复24析因设计投影成一个两次重复23设计•对数据进行方差分析，可以得到相同的结论•如果有一个2k设计的单次重复，其中h(h

24析因设计因子：钻头负荷(A)、流速(B)、旋转速度(C)、泥浆类型(D)实验数据如下：•效应估计量的正态概率图•可见，B、C、D、BC、BD需要说明•残差的正态概率图•显然，正态性有问题•残差与推进速率预测值的关系图•显然，方差齐性有问题•选择对数变换 y*=lny•变换后效应估计量的正态概率图•只有B、C、D起作用，需要说明简化结构•对数变换后的残差的正态概率图•图形令人满意•对数变换后残差与推进速率预测值的关系图•图形令人满意•ANOVA结果•结论：对于对数变换，模型仅需B、C、D就足以说明了•模型的平方和 SS模型=SSB+SSC+SSD =5.345+1.339+0.431=7.115•R2=SS模型/SST=7.115/7.288=0.98•所以该模型解释了钻头推进速率中大约98%的变异性无重复析因中的位置效应和分散效应-例4•商用飞机内壁嵌板的生产过程压制成形当前生产条件下，嵌板的平均疵点太高（平均5.5个疵点/块）设计一个24析因设计4个因子：温度(A)、模压时间(B)、树脂流量(C)、压机闭合时间(D)实验数据如下：•因子效应的正态概率图•可见，A和C是需要说明的。

•分析效应图，可知低温度和高树脂流量会减少嵌板疵点的发生率•残差的正态概率图没有显示异常情况(略)•残差与B(模压时间)的关系图•显然，少的模压时间会使每块嵌板的平均点数有较小的变异性•去掉D，投影成一个两次重复的23析因设计•计算每个处理组合的平均疵点数和极差•可见，当B处于高水平时的平均极差为4.75，当B处于低水平时的平均极差为1.25•工程师决定，取低的温度和高的树脂流量以减少疵点的平均数，取少的模压时间以减少每块嵌板疵点数的变异性，取少的压机闭合时间(对响应没有影响，但可以提高效率)分散效应•如果因子i为正时试验残差的方差σ2(i+)与因子i为负时试验残差的方差σ2(i-)，则统计量近似服从标准正态分布•分散效应Fi*的正态概率图•可见，B是与生产过程的分散性有关的一个重要因子响应的重复测量-例5•半导体工厂立式氧化炉的实验响应变量是晶片的氧化物厚度因子为温度(A)、时间(B)、压强(C)、气流(D)实验过程：将4个晶片放到炉中，设置由实验设计要求的实验条件的过程变量，实施实验，测量4个晶片氧化物的厚度•重复测量(duplicate measurement)，而非重复(replicate)实验。

重复实验是每次在炉中试验一个晶片由于4个晶片同时处理，降低了变异性•用厚度均值作为响应变量估计效应•可见，A、B、C、AB、AC的效应较大•效应估计的正态概率图•可见， A、B、C、AB、AC是显著的•方差分析结果为•预测平均氧化物厚度的模型为 y^=399.19+21.56x1+9.06x2-5.19x3+8.44x1x2- 5.13x1x3•残差分析是满意的•等高线图•如将实验结果错误的视为重复，则为一个四次重复的24析因设计•可见，显著的效应要多很多•太多的因子被识别为重要因子将导致–试图处理或优化不重要因子造成资源浪费–其他感兴趣的响应增加不必要的变异6 附加中心点设计•两水平析因设计模型–含有主效应和交互作用–二阶响应模型二阶效应的估计•在2k析因实验中，重复某些点可得到一个独立的误差估计•例如：中心点，xi=0(i=1,2,…,k)处做n次重复试验•在设计中心处增加重复试验不影响2k设计中通常的效应估计量附加中心点的22设计•在中心点(0,0)处有nC个观测值的22设计判定方法•如果 很小，则中心点就处于或靠近通过因子点的平面上，故未发生弯曲。

反之，则出现弯曲检验方法•利用中心点计算均方误差•计算纯二次项(弯曲)平方和•检验统计量 F=MS纯二次项/MSE•对例2实验增加4个中心点，得渗透率为73、75、66、69.4•纯二次项不显著中心复合设计•Central composite design•在2k设计中增加轴试验(axial run)附加中心点设计的几点建议①当析因实验在一个正在运行的过程中运行时，可以使用当前的运行条件作为设计的中心点这样通常能确保实验中的操作人员能在熟悉的条件下完成任务，所以得到的结果不会比现在的结论差②当析因实验中的中心点对应于通常的运行配方时，实验者可以利用中心点的响应观测值来粗略检查实验中是否存在任何“不寻常”现象也就是说中心点的响应必须和常规过程运行的响应观测类似可将中心点响应直接画在控制图上作为检查实验中正运行过程③考虑以非随机次序在中心点进行重复在实验开始时，在中心点做一次或两次试验，试验中期做一两次，在实验结束前，做一两次随着中心点试验逐步进行，实验者可以在试验中对过程稳定性有一个粗略的检查例如，实验进行时，如果响应有一个趋势，作中心点响应与时间顺序的关系图可以说明。

④有时实验必须在很少或没有关于过程变异性先验信息的条件下进行这种情况下，做2~3个中心点试验作为实验中的最初几个试验是有帮助的这些试验可以提供变异性的初步估计如果变异性的大小看起来是合理的，则继续试验；如果观测到大得超过预期的(合理的)变异性，则停止试验在其余实验继续进行下去之前，研究变异性为何如此之大是大有帮助的⑤当在几个定量因子中含有定性因子时，仍可使用中心点例如两个定量因子，如时间和温度还有一个定性因子，如晶体类型(有机的和无机的)中心点可放在包含定性因子的立方体的相对面只要这些子空间仅包含定量因子，中心点就可以在这些定性因子的高水平和低处理的处理组合上进行试验结束。