函数的函数的单调性单调性 一、函数单调性的定义：一、函数单调性的定义： 对于给定区间对于给定区间D上的函数上的函数f(x)，，对于任对于任意意x1,x2∈∈D, 当当x1f(x2), 则称则称f(x)在区间在区间D上为减函上为减函数数此时，称此时，称f(x)f(x)在在D D上具有单调性，上具有单调性，D D叫叫做做f(x)f(x)的单调区间的单调区间注意：熟记所有基本函数的单调性注意：熟记所有基本函数的单调性 2 2、、奇函数在关于原点对称的两个区间上 单调性 ，偶函数则 .二、单调函数的性质：二、单调函数的性质：上升的下降的相同相反1 1、、增函数的图像从左至右是 ，而 减函数是 ；3.互为反函数的两个函数的单调性相互为反函数的两个函数的单调性相同同.如如y=logax和和y=ax 4.增函数增函数+增函数增函数=增函数增函数 减函数减函数+减函数减函数=减函数减函数 5.若对区间若对区间D上的任意两个自变量上的任意两个自变量x1,x2,都有都有则则f(x)在在D是增函数是增函数则则f(x)在在D是减函数是减函数则则f(x)在在D是增函数是增函数 三、复合函数单调性法则：三、复合函数单调性法则： y=f(u) u=g(x) y=f[g(x)]增函数增函数 减函数减函数增函数增函数 增函数增函数减函数减函数 减函数减函数减函数减函数 增函数增函数减函数减函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数可按多因式相乘的符号确定法则来记忆，可按多因式相乘的符号确定法则来记忆，（同增异减）增函数不改变复合函数的单（同增异减）增函数不改变复合函数的单调性调性 四、判断函数单调性的方法：四、判断函数单调性的方法：1 1、定义法；、定义法；2 2、导数法、导数法: :y y’’≥0≥0增（不恒为增（不恒为0 0）；）；y y’’≤0≤0（不恒为（不恒为0 0）为减）为减3 3、图象法、图象法; ;4 4、利用复合函数单调性、利用复合函数单调性. .5.5.利用基本函数的单调性利用基本函数的单调性6.6.利用函数的奇偶性和单调性的关系利用函数的奇偶性和单调性的关系注意：证明单调性只能用定义或导数法注意：证明单调性只能用定义或导数法 五、基本函数的单调性五、基本函数的单调性 1.y=ax,2.y=ax+b3.y=k/x4.y=ax2+bx+c5.y=ax6.y=logax7.y=sinx8.y=cosx9.y=tanx 例例1、证明：函数、证明：函数y=x2-2x+2在在(1,+∞)上上是增函数是增函数.练练1. 证明函数证明函数y=x3 +x 在在R上是增函数上是增函数.六、例题和练习（证明单调性，求单六、例题和练习（证明单调性，求单调区间，已知单调性求参数的范围）调区间，已知单调性求参数的范围）证明函数的单调性只能用定义或导数证明函数的单调性只能用定义或导数 2. 证明函数证明函数y= 在在 (1,+∞) 是减是减函数函数.用定义证明单调性的步骤：用定义证明单调性的步骤：(1)设设x1,x2是给定区间上的任意两个自是给定区间上的任意两个自变量，且变量，且x1f(-m)，，则实数则实数m的取值范围是的取值范围是 A (-∞,-1) B (0,+∞) C (-1,0) D(-∞,-1) ∪∪(0,+∞)BD 3.函数函数y=loga（（x2+2x-3））,当当x=2时，时， y＞＞0，则此函数的单调递减区间是，则此函数的单调递减区间是A.（（-∞，，-3）） B.（（1，，+∞））C.（（-∞，，-1））D.（（-1，，+∞））4.函数函数y=log0.5|x-3|的单调递减区间是的单调递减区间是___5.函数函数 的的单调单调增区增区间间是是__________A(3, +∞)（（-∞,1）） 6.函数函数 的减区间是的减区间是___7.已知函数已知函数 在区间在区间(-2,+∞)上是增函数上是增函数,a的取值范围是的取值范围是____ 8.函数函数y=-(x-3)|x|的递增区间是的递增区间是______ 9.已知奇函数已知奇函数f(x)在在(0,+∞)单调递增单调递增,且且f(3)=0，则不等式，则不等式xf(x)<0的解集是的解集是____ (1,4)a>1/2(0,3/2)(-3,0)∪ ∪(0,3) 10.若函数若函数f(x)=a|x-b|+2在在(1,+∞)上为增函上为增函数数,则实数则实数a、、b的范围是的范围是 ________ 11.函数函数f(x)在递增区间是在递增区间是(-4,7)，则，则y=f(x-3)的递增区间是的递增区间是A (-2,3) B (-1,10) C (-1,7) D (-4,10)12.f(x)为为R上的减函数，则上的减函数，则 A f(a)0,b≤1BC 13.函数函数y=log0.5(x2-2mx+3)在（在（-∞，，1））上为增函数，则实数上为增函数，则实数m的取值范围是的取值范围是__ 14.若函数若函数f(x)=loga(x3-ax)在区间在区间(-1/2,0)内单调递增，则内单调递增，则a的取值范围是的取值范围是 A [1/4,1) B [3/4,1) C (9/4,∞) D (1,9/4) [1,2]B 15.已知已知 是是R上的增函数，那么上的增函数，那么a的取值范围是的取值范围是A (1,+∞) B(-∞,3) C [3/5,3) D (1,3) 16.如果奇函数如果奇函数f(x)在区间在区间[3,7]上是增函数上是增函数,且最小值为且最小值为5,那么在区间那么在区间[-7,-3]上是上是 A.增函数且最小值为增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为增函数且最大值为-5C.减函数且最小值为减函数且最小值为-5D.减函数且最大值为减函数且最大值为-5DB 17.已知已知f(x)是定义在是定义在R上的偶函数，它上的偶函数，它在在 [0，，+∞）上递减，那么一定有）上递减，那么一定有A.f(-3/4)>f(a2-a+1) B.f(-3/4)≥f(a2-a+1)C.f(-3/4)0,b≤0 25.已知已知f(x)是是R上的增函数上的增函数,A(0,-1)B(3,1)是其图象上的两点，则不等式是其图象上的两点，则不等式|f(x+1)|<1 的解集为的解集为__________26.已知已知f(x)是定义在是定义在[-1,1]上的奇函数，上的奇函数，若若a、、b∈ ∈[-1,1],a+b≠0时，有时，有 ＞＞0.判断函数判断函数f(x)在在(-1,1)上是增函数还是减函数，并证明上是增函数还是减函数，并证明你的结论你的结论 (-1,2)增增 27. 已知函数已知函数 在在 (-∞,1]上为单调增函数，求上为单调增函数，求a的取值范围的取值范围 28.是否存在实数是否存在实数a，，使函数使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间在区间[2,4]上是增函数上是增函数？如果存在，说明？如果存在，说明a可以取哪些值；如果可以取哪些值；如果不存在，说明理由不存在，说明理由.a≥5a>1 七、巩固练习七、巩固练习1、1.函数函数f(x)=4x2-mx+5在在(2,+∞)上是增函上是增函数，则数，则m的取值范围是的取值范围是 ，，f(1)的取的取值范围是值范围是 .2.奇函数奇函数f(x)在在[3，，7] 上是增函数，且上是增函数，且最小值是最小值是5，则，则f(x)在在[-7，，-3]的最的最 .值为值为 .3.函数函数y=x+ 的单调性为的单调性为 .m≤16f(1)≥-7大大－－5增增 七、巩固练习七、巩固练习1、4.函数函数f(x)=log3(2-x)2的递增区间是的递增区间是 .5.函数函数f(x)=loga(2-ax)在在[0，，1]上是减上是减函数，则函数，则a 的取值范围是的取值范围是 .（（2，，+∞)(1,2)6.函数函数 y = | x + 6 |的递减区间是的递减区间是 (-∞,-6) 7.下列函数中，在区间（下列函数中，在区间（-∞，，0）上）上为增函数的是（为增函数的是（ ））C 8.在在下下列列定定义义域域为为R的的函函数数中中，，一一定定不存在的函数是不存在的函数是 （（ ））A 既是增函数又是奇函数既是增函数又是奇函数B 既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数 C 既是增函数又是偶函数既是增函数又是偶函数 D 既是减函数又是奇函数既是减函数又是奇函数C9.已已 知知 f(x)在在 区区 间间 [a,b]上上 单单 调调 ，， 且且f(a)·f(b)<0,则方程则方程f(x)=0在区间在区间[a,b]上上 A 至少有一个实根至少有一个实根 B 至多一个实根至多一个实根 C 没有实根没有实根 D 必有唯一的实根必有唯一的实根 D 10.函数函数y=log0.5(x2-3x-4)的单调增区间的单调增区间为为 14.已已 知知 函函 数数 f(x)是是 偶偶 函函 数数 ,在在（（0，，+∞））上上是是增增函函数数,且且对对任任意意实实数数x，，都都有有f(x)<0,试试判判断断函函数数y=-1/f(x)在在（（-∞，，0）上的单调性）上的单调性减减 18.已知已知f(x)定义在定义在(-1,1)上的奇函数且是减上的奇函数且是减函数，又满足函数，又满足f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数求实数a的的取值范围取值范围16.已知已知f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，且在上的奇函数，且在[0,+∞)上是增函数，上是增函数，f(-1)=0，求满足不等式，求满足不等式f(x)>0的的x范围范围17.已知已知f(x)是定义在是定义在R上的偶函数，且在上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，上是增函数，f(-1)=0,求满足不等式求满足不等式f(x)>0的的x范围范围函数不等式的一般形式：函数不等式的一般形式：f(a)>f(b)解决方法：图象或函数单调性解决方法：图象或函数单调性 求函数求函数y=(log2x)2+log2x＋＋1的单调增区间的单调增区间 是是否否存存在在实实数数a，，使使函函数数f(x)=loga(ax2-x)在在区区间间[2,4]上上是是增增函函数数？？如如果果存存在在，，说说明明a可可以以取取哪哪些些值；如果不存在，说明理由值；如果不存在，说明理由. 已知已知f(x)定义在定义在(-1,1)上的奇函数上的奇函数f(x)满足满足f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数求实数a的取值范围的取值范围 1.已已知知函函数数 是是定定义义在在R上上的的奇奇函函数数，，a为为常常数数.（（1））求求a的的值值；；（（2））判判断函数断函数f(x)在区间（－在区间（－1，，1）上的单调性）上的单调性.2、如果函数、如果函数f(x) = x2+2(a-1)x+2在区间在区间（（-∞，，4）上是减函数，那么实数的取）上是减函数，那么实数的取值范围是值范围是 小结：小结：1、理解掌握函数单调性的定义；、理解掌握函数单调性的定义；2、理解掌握判断函数单调性的方法：、理解掌握判断函数单调性的方法：定义法、导数法、图像法、定义法、导数法、图像法、复合函数单调性复合函数单调性3、注意利用单调性解决与之相关的问题、注意利用单调性解决与之相关的问题. 一、函数单调性的定义：一、函数单调性的定义： 对于给定区间对于给定区间D上的函数上的函数f(x)，，对于任意对于任意x1,x2∈∈D, 当当x1f(x2), 则称则称f(x)在区间在区间D上为减函数上为减函数 此时，称f(x)在D上具有单调性，D叫做f(x)的单调区间注意：熟记所有基本函数的单调性注意：熟记所有基本函数的单调性 2 2、、奇函数在关于原点对称的两个区间上 单调性 ，偶函数则 .二、单调函数的性质：二、单调函数的性质：上升的下降的相同相反1 1、、增函数的图像从左至右是 ，而 减函数是 ；三、判断函数单调性的方法：三、判断函数单调性的方法：1 1、定义法；、定义法；2 2、求导法、求导法: :y’>0y’>0增；增；y’<0y’<0为为减减3 3、图象法、图象法; ;4 4、利用复合函数单调性、利用复合函数单调性. .5.利用基本函数的单调性利用基本函数的单调性 复合函数单调性法则：复合函数单调性法则： y=f(u) u=g(x) y=f[g(x)]增函数增函数 减函数减函数增函数增函数 增函数增函数减函数减函数 减函数减函数减函数减函数 增函数增函数减函数减函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数可按多因式相乘的符号确定法则来记忆，（同可按多因式相乘的符号确定法则来记忆，（同增异减）增函数不改变复合函数的单调性增异减）增函数不改变复合函数的单调性基本函数的单调性：基本函数的单调性：y=ax,y=ax+b,y=k/x,y=ax2+bx+c，，y=ax,y=logax,y=sinx,y=cosx,y=tanx；； 例例1、、证明：函数证明：函数y=x2-2x+2在在(1,+∞)上是增函数上是增函数.证明函数单调性：定义法、导数法定义法、导数法练：练：1. 证明函数证明函数y=x3 +x 在在R上是增函数上是增函数. 2. 证明函数证明函数y= 在在 (1,+∞) 是减函数是减函数.例例2、、求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间.（（1））（（3））y=log0.5(-x2-2x+3)（（2））（（4））y= 函数函数y=x2-2x+3的单调增区间是的单调增区间是————— 若函数若函数y=x2-ax+3的单调增区间是的单调增区间是[1,+∞),求求a若函数若函数y=x2-ax+3在在[1,+∞)上是增函数求上是增函数求a函数函数y=f(x)在在(a,b)上是增函数等价于：上是增函数等价于：在在(a,b)上，上，f’(x)≥0恒成立恒成立 四、单调性的应用：四、单调性的应用：1、1.函数函数f(x)=4x2-mx+5在在(2,+∞)上是增函数，则上是增函数，则m的的取值范围是取值范围是 ，，f(1)的取值范围是的取值范围是 .2.奇函数奇函数f(x)在在[3，，7] 上是增函数，且最小值是上是增函数，且最小值是 5，则，则f(x)在在[-7，，-3]的最的最 .值为值为 .3.函数函数y=x+ 的单调性为的单调性为 .4.函数函数f(x)=log3(2-x)2的递增区间是的递增区间是 .5.函数函数f(x)=loga(2-ax)在在[0，，1]上是减函数，则上是减函数，则a 的取值范围是的取值范围是 .m≤16f(1)≥-7大大－－5增增（（2，，+∞)(1,2) 基础练习基础练习1、函数、函数 y = | x + 6 |的递减区间是的递减区间是2、下列函数中，在区间（、下列函数中，在区间（-∞，，0）上为）上为增函数的是（增函数的是（ ））(-∞,-6)C 在在下下列列定定义义域域为为R的的函函数数中中,一一定定不不存存在在的的函数是函数是A 既是增函数又是奇函数既是增函数又是奇函数 B 既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数C 既是增函数又是偶函数既是增函数又是偶函数 D 既是减函数又是奇函数既是减函数又是奇函数 已已 知知 f(x)在在 区区 间间 [a,b]上上 单单 调调 ，， 且且f(a)·f(b)<0,则则方方程程f(x)=0在在区区间间[a,b]上上 （（ ）） A 至少有一个实根至少有一个实根 B 至多一个实根至多一个实根 C 没有实根没有实根 D 必有唯一的实根必有唯一的实根 CD 6.已知函数已知函数f(x)=4-x2,求函数求函数g(x)=f(x2-2x-3)的单调增区间的单调增区间. 已已知知函函数数f(x)是是偶偶函函数数，，在在（（0，，＋＋∞））上上是是增增函函数数,且且对对任任意意实实数数x，，都都有有f(x)<0,试试判判断函数断函数y=-1/f(x)在（－在（－∞，，0）上的单调性）上的单调性 是是否否存存在在实实数数a,使使函函数数f(x)=x4+(2-a)x2+2-a在在区区间间（（－－∞，，－－2））上上是是减减函函数数，，而而在在区区间间（（-1,0））上上是是增增函函数数？？若若存存在在，，求求出出a的的的的取值范围；若不存在，请说明理由取值范围；若不存在，请说明理由增增(-∞,-1),(1,3)；减；减(-1,1),(1,+∞)减减[4,10] 是是否否存存在在实实数数a，，使使函函数数f(x)=loga(ax2-x)在在区区间间[2,4]上上是是增增函函数数？？如如果果存存在在，，说说明明a可可以取哪些值；如果不存在，说明理由以取哪些值；如果不存在，说明理由.a>1 1.已已知知函函数数f(x)=(a-2x)/(1+x2)是是定定义义在在R上上的的奇奇函函数数，，a为为常常数数.（（1））求求a的的值值；；（（2））判判断断函函数数f(x)在在区区间间（－（－1，，1）上的单调性）上的单调性.6.已知函数已知函数f(x)=4-x2,求函数求函数g(x)=f(x2-2x-3)的单的单调增区间调增区间. 增增(-∞,-1),(1,3)；减；减(-1,1),(1,+∞) _________ 。
