§736两条直线的位置关系（六）.ppt
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§7.3.67.3.6两条直线的两条直线的 位置关系（六）位置关系（六） 直线系方程及其应用直线系方程及其应用 1.与直线与直线l：：Ax+By+C=0平行的直线系方程为平行的直线系方程为 Ax+By+m=0 （其中（其中m≠C）；）；直线系方程的种类直线系方程的种类1:1:yox 直线系方程的定义直线系方程的定义v直线系：直线系： 具有某种共同性质的所有直线的集合具有某种共同性质的所有直线的集合 yxo2．与直线．与直线l：：Ax+By+C=0垂直的直线系方垂直的直线系方程为程为: Bx-Ay+m=0 （（m为待定系数）为待定系数）. 直线系方程的种类直线系方程的种类2:3. 3. 过定点过定点P P（（x x0 0，，y y0 0）的）的直线系方程为：直线系方程为：A(x-xA(x-x0 0)+B(y-y)+B(y-y0 0) )＝＝0 0yxo推导：推导：设直线的斜率为设直线的斜率为A(x-xA(x-x0 0)+B(y-y)+B(y-y0 0) )＝＝0 0 yox4. 若直线若直线l1：：A1x+B1y+C1=0与直线与直线l2：：A2x+B2y+C2=0相交，则过两直线的交点的直线系方程为：相交，则过两直线的交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1＋＋m( A2x+B2y+C2)=0,其中其中m为待定系数为待定系数. 所以所以A A1 1x x0 0+B+B1 1y y0 0+C+C1 1+m(A+m(A2 2x x0 0+B+B2 2y y0 0+C+C2 2)=0)=0证明：证明：直线直线A A1 1x x0 0+B+B1 1y y0 0+C+C1 1+m(A+m(A2 2x x0 0+B+B2 2y y0 0+C+C2 2)=0)=0经过点（经过点（x0，，y0））4. 若直线若直线l1：：A1x+B1y+C1=0与直线与直线l2：：A2x+B2y+C2=0相交，则过两直线的交点的直线系方程为：相交，则过两直线的交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1＋＋m( A2x+B2y+C2)=0,其中其中m为待定系数为待定系数. 直线系方程的应用直线系方程的应用:解法解法1：：将方程变为：将方程变为：解得：解得：故直线恒过故直线恒过例例1.求证：无论求证：无论m取何实数时，直线取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标。
恒过定点，并求出定点的坐标 解法解法2：： 令令m=1，，m= -3代入方程，得：代入方程，得：所以直线恒过定点所以直线恒过定点例例1.求证：无论求证：无论m取何实数时，直线取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标恒过定点，并求出定点的坐标 若证明一条直线恒过定点或求一条直线必过定若证明一条直线恒过定点或求一条直线必过定点，通常有两种方法：点，通常有两种方法：方法小结：方法小结： 法二：从特殊到一般，先由其中的两条特殊直法二：从特殊到一般，先由其中的两条特殊直线求出交点，再证明其余直线均过此交点线求出交点，再证明其余直线均过此交点法一法一: :分离系数法，即将原方程改变成：分离系数法，即将原方程改变成：f(x, y)+mg(x,y)=0f(x, y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与的形式，此式的成立与m m的取值无关，故从而解出定点的取值无关，故从而解出定点 解（解（1）：设经二直线交点的直线方程为：）：设经二直线交点的直线方程为：代（代（2，，1）入方程，得：）入方程，得：所以直线的方程为：所以直线的方程为： 3x+2y+4=0例例2: 求过两直线求过两直线x-2y+4=0和和x+y-2=0的交点，的交点，且满足下列条件的直线且满足下列条件的直线l的方程。
的方程 (1) 过点过点(2, 1) (2) 和直线和直线3x-4y+5=0垂直 解（解（2）：将（）：将（1）中所设的方程变为：）中所设的方程变为：由已知：由已知：故所求得方程是：故所求得方程是：4x+3y-6=04x+3y-6=0例例2: 求过两直线求过两直线x-2y+4=0和和x+y-2=0的交点，的交点，且满足下列条件的直线且满足下列条件的直线l的方程 (1) 过点过点(2, 1) (2) 和直线和直线3x-4y+5=0垂直 方法小结方法小结: 本题采用先用直线系方程表示所求直线方本题采用先用直线系方程表示所求直线方程程,然后再列式然后再列式,求出方程的待定常数求出方程的待定常数,从而最终求从而最终求得问题的解得问题的解.这种方法称之为待定系数法这种方法称之为待定系数法,在已知在已知函数或曲线类型问题中函数或曲线类型问题中,我们都可以利用待定系我们都可以利用待定系数法来求解数法来求解. 练练 习习 1一一. 已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：y=x2x+3y-2=04x-3y-6=0x+2y-11=0 5 5．若直线方程为．若直线方程为(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0 求证：无论求证：无论m m为何值时，所给直线恒过定点。
为何值时，所给直线恒过定点解解:将方程化为将方程化为:得得:所以无论所以无论m为何值为何值,直线均经过定点直线均经过定点 两条直线方程相乘可以构成一个二元二次方程两条直线方程相乘可以构成一个二元二次方程,如如:l1:x+2y-1=0,l2:x-y=0,相乘后就得相乘后就得:x2 +xy-2y2-x+y=0那么那么,反过来反过来,如果已知一个二元二次方程是由如果已知一个二元二次方程是由两条直线的方程相乘所得两条直线的方程相乘所得,我们也可以先设出这我们也可以先设出这两条直线的方程两条直线的方程,再利用待定系数法求出它们再利用待定系数法求出它们.请看下面的例子请看下面的例子: 解（待定系数法）：将方程化作：解（待定系数法）：将方程化作：设：设：则则即：即：k= -6 时方程表示两条直线时方程表示两条直线例例3:问问k为何值时，为何值时，方程方程3x2+2xy-y2+7x-5y+k=0表示两条直线？表示两条直线？ 1．方程．方程x2-y2=0表示的图形是：表示的图形是：————2．直线系．直线系6x-4y+m=0中任一条直线与直线系中任一条直线与直线系2x+3y+n=0中的任一条直线的位置关系是中的任一条直线的位置关系是_______.练练 习习垂直 解解:方程应有非负根方程应有非负根,故故:3.3.方程方程 表示两条直线 表示两条直线, ,求求m m的取值范围。
的取值范围 v小结小结 直线系方程的种类直线系方程的种类 直线系方程的应用 直线系方程的应用 。
