甘肃中医药大学《线性代数》课件-第2章矩阵及其运算.ppt

第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算线性代数1 矩阵矩阵一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义二、矩阵的定义三、特殊的矩阵三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换四、矩阵与线性变换线性代数线性代数其中其中 表示有表示有航班航班始发地始发地ABCD目的地目的地 A B C D例例 某航空公司在某航空公司在 A、B、C、D 四座四座城市之间开辟了若干航线，四座城市城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地地指向目的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示城市间的航班图情况常用表格来表示:一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入线性代数为了便于计算，把表中的为了便于计算，把表中的改成改成1，空白地方填上，空白地方填上0，就得到一个数表：就得到一个数表：ABCD A B C D这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况. .线性代数其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 例例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 线性代数 由由 mn 个数个数 排成的排成的 m 行行 n 列的数表列的数表称为称为 m 行行 n 列矩阵列矩阵，简称，简称 mn 矩阵矩阵 记作记作 二、矩阵的定义二、矩阵的定义线性代数简记为简记为元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵，元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵. .这这 mn 个数称为矩阵个数称为矩阵A的的元素元素，简称为元，简称为元. .线性代数n行数不等于列数行数不等于列数n共有共有mn个元素个元素n本质上就是一个数表本质上就是一个数表n行数等于列数行数等于列数n共有共有n2个元素个元素矩阵矩阵行列式行列式线性代数1.行数与列数都等于行数与列数都等于 n 的矩阵，称为的矩阵，称为 n 阶方阵阶方阵可记作可记作 . .2.只有一行的矩阵只有一行的矩阵 称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量) . .3. 4.只有一列的矩阵只有一列的矩阵 称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量) . .5.元素全是零的矩阵称为元素全是零的矩阵称为零距阵零距阵可记作可记作 O . .例如：例如： 三、特殊的矩阵三、特殊的矩阵线性代数4.形如形如 的方阵称为的方阵称为对角阵对角阵 特别的，方阵特别的，方阵 称为称为单位阵单位阵记作记作记作记作 线性代数同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念1. 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵同型矩阵. .例如例如为同型矩阵为同型矩阵. .2. 两个矩阵两个矩阵 与与 为同型矩阵，并且对应元为同型矩阵，并且对应元素相等，即素相等，即则称矩阵则称矩阵 A 与与 B 相等相等，记作，记作 A = B . .线性代数注意：不同型的零矩阵是不相等的注意：不同型的零矩阵是不相等的. .例如例如 线性代数表示一个从变量表示一个从变量 到变量到变量 线性变换，线性变换，其中其中 为常数为常数. .四、矩阵与线性变换四、矩阵与线性变换 n 个变量个变量 与与 m 个变量个变量 之间的之间的关系式关系式线性代数系数矩阵系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. .线性代数例例 线性变换线性变换 称为称为恒等变换恒等变换. .对应对应 单位阵单位阵 En线性代数对应对应 投影变换投影变换 例例 2阶方阵阶方阵 对应对应 以原点为中心逆时针以原点为中心逆时针旋转旋转j j 角角的的旋转变换旋转变换 例例 2阶方阵阶方阵 2 矩阵的运算矩阵的运算线性代数例例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：发送货物的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量 其中其中aij 表示表示上半年上半年工厂向第工厂向第 i 家家商店发送第商店发送第 j 种货物的数量种货物的数量其中其中cij 表示工厂表示工厂下半年下半年向第向第 i 家家商店发送第商店发送第 j 种货物的数量种货物的数量线性代数解：解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量工厂在一年内向各商店发送货物的数量线性代数一、矩阵的加法一、矩阵的加法定义：定义：设有两个设有两个 mn 矩阵矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵那么矩阵 A 与与 B 的和记作的和记作 AB，规定为，规定为说明：说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. .线性代数知识点比较知识点比较线性代数交交换换律律结结合合律律其其他他矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律设设 A、B、C 是同型矩阵是同型矩阵设矩阵设矩阵 A = (aij) ，记记A = (aij)，称为矩阵，称为矩阵 A 的的负矩阵负矩阵显然显然线性代数设工厂向某家商店发送四种货物各设工厂向某家商店发送四种货物各 l l 件，试求：工厂向该商件，试求：工厂向该商店发送第店发送第 j 种货物的总值及总重量种货物的总值及总重量例（续）例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的种货物的单价单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的种货物的单件重量单件重量 线性代数解：解：工厂向该商店发送第工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量种货物的总值及总重量其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的种货物的单价单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的种货物的单件重量单件重量 线性代数二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘定义：定义：数数 l l 与矩阵与矩阵 A 的乘积记作的乘积记作 l l A 或或 A l l ，规定为，规定为线性代数结结合合律律分分配配律律备备注注数乘矩阵的运算规律数乘矩阵的运算规律设设 A、B是同型矩阵，是同型矩阵，l l , , m m 是数是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算矩阵的线性运算. .线性代数知识点比较知识点比较线性代数其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 例（续）例（续） 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量 线性代数解：解：以以 ci1， ci2 分别表示工厂向第分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及家商店所发货物的总值及总重量，其中总重量，其中 i = 1, 2, 3于是于是其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 线性代数可用矩阵表示为可用矩阵表示为一般地，一般地，线性代数一、矩阵与矩阵相乘一、矩阵与矩阵相乘定义：定义：设设 ， ，那么规定矩阵，那么规定矩阵 A 与矩与矩阵阵 B 的乘积是一个的乘积是一个 mn 矩阵矩阵 ，其中，其中并把此乘积记作并把此乘积记作 C = AB 线性代数例：例：设设则则线性代数知识点比较知识点比较有意义有意义. .没有意义没有意义. .只有当第一个矩阵的列数只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘. .线性代数例例 P.35P.35例例5 5 结论：结论：1.1.矩阵乘法不一定满足交换律矩阵乘法不一定满足交换律. .2.2.矩阵矩阵 ，却有，却有 ，从而不能由从而不能由 得出得出 或或 的结论的结论线性代数矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律 (1)(1) 乘法结合律乘法结合律 (3)(3) 乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律(2)(2) 数乘和乘法的结合律数乘和乘法的结合律 （其中（其中 l l 是数）是数）(4) (4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1 1，即，即推论：推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 lElE 与任何与任何同阶方阵都是可交换的同阶方阵都是可交换的. .纯量阵不同纯量阵不同于对角阵于对角阵线性代数(5) 矩阵的幂矩阵的幂 若若 A 是是 n 阶阶方阵方阵，定义定义显然显然思考：思考：下列等式在什么时候成立？下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立可交换时成立线性代数四、矩阵的转置四、矩阵的转置定义：定义：把矩阵把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的的转置矩阵转置矩阵，记作，记作AT . .例例线性代数转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质线性代数例：例：已知已知解法解法1线性代数解法解法2线性代数定义：定义：设设 A 为为 n 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那么那么 A 称为称为对称阵对称阵. .如果满足如果满足 A = AT，那么，那么 A 称为称为反对称阵反对称阵. . 对称阵对称阵 反对称阵反对称阵 线性代数例：例：设列矩阵设列矩阵 X = ( x1, x2, , xn )T 满足满足 X T X = 1，E 为为 n 阶阶单位阵，单位阵，H = E2XXT，试证明，试证明 H 是对称阵，且是对称阵，且 HHT = E. .证明：证明：从而从而 H 是对称阵是对称阵 线性代数五、方阵的行列式五、方阵的行列式定义：定义：由由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵方阵 A 的的行列式行列式，记作，记作| |A| |或或detA. .运算性质运算性质线性代数证明：证明：要使得要使得 |AB| = |A| |B| 有意义，有意义，A、B 必为同阶方阵，必为同阶方阵，假设假设 A = (aij)nn，B = (bij)nn . .我们以我们以 n= 3 为例，构造一个为例，构造一个6阶阶行列式行列式线性代数线性代数线性代数令令 ，则，则 C = (cij)= AB 线性代数从而从而 线性代数定义：定义：行列式行列式 |A| 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如所构成的如下矩阵下矩阵称为矩阵称为矩阵 A 的的伴随矩阵伴随矩阵. .元素元素 的代的代数余子式数余子式 位于第位于第 j 行第行第 i 列列性质性质线性代数性质性质证明证明 线性代数（设（设A，B 为复矩阵，为复矩阵，l l 为复数，且运算都是可行的）：为复数，且运算都是可行的）：六、共轭矩阵六、共轭矩阵运算性质运算性质当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭复数，记的共轭复数，记， 称为称为 的的共轭矩阵共轭矩阵. 3 逆矩阵逆矩阵线性代数矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算. 矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？这就是本节所要讨论的问题这就是本节所要讨论的问题.这一节所讨。