平方差公式在初中数学中的运用.doc

平方差公式在初中数学中的运用提要：平方差公式(a^hXa-h) = a2-h2是初中阶段的一个重要的公式，应用也 十分广泛，所以要重点掌握平方差公式在初中数学上占据了重要位置，在近几年的中考和期末测试中经常出 现，所以要求学生掌握并运用好平方差公式一、平方差公式乘法中的运用平方差公式：(a + bXa-b) = a2-b2,其形式是：两项Z和与这两项的差的乘积等 于这个项的平方差，其中的a、b可以是具体数，也可以是单项式、多项式可用公 式的都有対个共同特点：前一个因式与后一个因式中各有一项是相同，剩下的两项是 互为相反数有些形式上不符合公式，但只要符合这个特点，可以根据公式的特点， 应用加法加换律、结合律进行灵活变形，或者用提负号的方法把题转化成平方差公式一)、整式乘法中的运用例 1. (2%+ 3)(2%-3)分析：本题是整式乘法中的最简单的，是这两个项的和与这两个项的差的积等于 这两项的平方差，可直接用公式进行计算2兀 + 3)(2 兀-3)= (2x)2-3?= 4x2-9例 2. (-3a -2b )(3a-2b)分析：本类题是属于两个多项项式的乘积，这类题形首先要观察是否符合公式特 点，看出前一个因式中与后一个因式中都是・2b,剩卜•的一个是・3a, —个3a,它们互 为相反数，可以用公式。

计算本题有两种方法(1)是利用加法加换律调整位置，把它转化为-•般式；(2)提一个负号转化成一•般式，再用公式计算解法1、加法加换律进行调整其位置解法2、提取负号(-3a -2b )(3a - 2b)=—(3a 十 2b )(3 — 2b)= -(92 -4/?2)= -9a2+4b2(-3a -2b )(3a - 2b)=(-2b - 3a)(-2b + 3a) =(-2砧-(3a)2= 4b2-9a2例 3、(2x + y + zX2x + 歹 一 z)分析：本类题每一个因式中都是三个或三个以上的项，所以先利用加法结合律, 把一个因式中的多项式转化成两个式子的和差形式，再观察是否符合公式特点前- 个因式中的（2x+y + z）结合成［（2x + y） + z］，后一个因式（2x + y-z）结合成 ［（2兀+ y）-z］， （2x4- y）与（2兀+ y）为相等,z与・z互为相反数,可用公式进行计算2 乂 + y + zX2 乂 +，— w）=（2x + y + z\2x + y - z）=［（2x + y）+ zl（2x + y） - z］=（2x + y）2 — z2=4x2 + 4xy + y2 — z2小结：注意平方差进行乘法运算时，经常岀现的的误区有（1）对因式中各项的 系数，符号要仔细观察、比较，不能误用公式，如（3。

2b ）（2-3b）、如 （-36/ -2b）（3d + 2b）,此类题Fl不能运用平方差公式；（2）公式中的字母是多种形式 的，所以当这个字母表示一个负数、或分数、或单项式与多项式，应加上括号，避免 出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误二、因式分解中的应用因式分解我们一般采用的方法是：一提（提取公因式）、二套（套用公式）、三分 组，其中套用平方差公式，也就是整式乘法中（a + b）（a-b） = a2-b2的逆用： a2-b2=（a-^b）（a-b）,其题可以是二项式，也可以是多项式能用公式的共同特点: 题冃中都可以转化成一项或一式的平方减去一项或一式的平方如有这种形式的都能 用平方差公式进行了分解因式分解因式时，要求掌握好逆用幕的运算法则，弄清楚 多项式中可转化哪儿个数组成平方差，清楚题形中的a、b各代表什么式例1、 分解因式%2 - >2分析：本题与公式是一样的，可直接套用公式2 2兀=（兀+y）（兀 _y）例2、分解因式x4y-16y分析：此题先提公因式y,所剩下的/-16转化成（x2）2-42，其中a为兀〈b为4,木题用平方差公式到各因式不能再分解为止x4y-16y=y(x4 -16)=y(x2 + 4)(x2 - 4)=y(x2 + 4)(兀 + 2)(兀 一 2)例3、因式分解兀2 - 2xy + y2 -9分析：木题我们先要进行分组成能转化成平方差公式，前三项分在一组里，最后 一项为一组，把x2-2xy^-y2转化成(x -y)2,从而形成(兀-y)2-32x2 - 2xy + y2 -9= (x-y)2-32= (x-y + 3)(x-y-3)小结：因式分解中的平方差公式的运用是必要的，有些题目只有用平方差公式才 能分解因式，它的作用更大于整式乘法中的应用，整式乘法中如果不会用公式，也可 以用一般的多项式乘以多项式的方法來计算，只是复杂而已。

分解因式中时常的错误 有(1)各项没有转化为平方就用公式，如4/_)，2 =(4x +),)(4x_y)； (2)误用公式, 如 x2 + y2 =(兀 + y)(x 一 y)三、平方差公式在一些特殊题中的运用(一)、简便运算中的运用如某两数的乘积，如果这两个数与另一个数都耍都相差相同的一个数时，就可以 把这商数的乘积转化成另外一个数与相同数的和与差的乘积，从而做到转化成平方差 公式例 1、98X102分析：98与102都与100相差2, 98转化成100-2, 102转化成100+298X102二(100-2) (100+2)二 IO —=9996例 2、2563-255x256x257分析：本题的技巧在于三个连续的整数，我们可以将第一个数转化成中间数减1,第 三个数可以转化中间数加lo(3)256? - 255 x 256 x 257=2563 一 256(256 一 1>256 十 1)=2563-256(2562-12)=2563 -2563 4-256=256例 3、1002 -992 + 982 -972 + a + 22 -12分析：本题中每两组都要可以转化成平方差公式，计算斤会发现它是一个等差数 列。

1002 -992 +982 -972 +/\ + 22 -I2= (100 + 99)(100 一 99) + (98 + 97)(98 一 97) + 人 + (2 + 1)(2 一 1)=100 + 99 + 98 + 97 + /\ + 2 + 1100(10()4-1)_ 2= 5050小结：有关复杂的数字计算中，如能抓住数字特点，巧用平方差公式，可简化运 算过程，提高运算效率，培养良好的数学素养数字中的平方差公式的运算会出现错 识有:98X102= (100-2) (100+2) =1002 -22 =982(二)、二次根式计算及分母有理化中的运用用平方差公式进行二次根式计算及分母有理化，是初三二次根式计算和化简中的 重点它的方法在于分子分母同时乘以一个式子，使具分母转化成一平方差公式，从 而做到分母去根号(有理化)的效果例 1： (V6+V2)(V6-V2)分析：本类题是二次根式的计算，是这两个数的和与这两个数的差的积等于这两 个数的平方差，用公式拆为血为〃进行计算a/6 + V2)(V6 — V2)= (a/6)2-(V2)2= 6-2=4例2化简 4V5-V2分析：观察此题分母中含有二次根式，要进行有理化，分母木身是厉-血，分 子分母同时乘以V5+V2,使分母转化成平方差公式。

4 _ 4(石十后) _ 4“ + 4后 _ 475+4^2V5-a/2 - (V5-V2)(V5+V2) — (V5)2-(V2)2 一 3小结：这种类型题分母有理化中要抓住分母的特点，想办法使其转化为平方差公式,做题时切记，如果是单用完全平方去分母是起不到有理化的效果，所以要用平方差公式进行有理化例如： 4 =__ = 16 V5-V2 (V5-V2)2 5 - 2V10 + V2除了初中价段的应用外，以后的数学学科都有其有关的知识，可见平方差公式在 数学领域中应用及其广泛，值得一提的是这个公式从初中到大学都有不同程度的应 用，教学上初中至关重要，因此我们应该从不同的角度去掌握并运用平方差公式浅谈平方差公式在初中数学中的运用玉龙县鲁甸中学 和祺剑提要：平方差公式(a + bXa-b) = a2-b2是初中阶段的一个重要的公式，应用也 十分广泛，必须引起教师的高度重视关键词：平方差 整式乘法 因式分解无理数平方差公式在初中数学上占据了重要位置，在近几年的中考和期末测试中经常出 现，所以要求学生掌握并运用好平方差公式一、平方差公式乘法中的运用平方差公式：(a + b)(a-b) = a2-b\其形式是：两项之和与这两项的差的乘积等 于这个项的平方差，具中的b可以是具体数，也可以是单项式、多项式。

可用公 式的都有两个共同特点：前一个因式与后一个因式中各有一项是相同，剩下的两项是 互为相反数有些形式上不符合公式，但只要符合这个特点，可以根据公式的特点， 应用加法加换律、结合律进行灵活变形，或者用提负号的方法把题转化成平方差公式一)、整式乘法中的运用例 1. (2%+ 3)(2%-3)分析：本题是整式乘法中的最简单的，是这两个项的和与这两个项的差的积等于 这两项的平方差，可直接用公式进行计算2x + 3)(2x-3)= (2x)2-32= 4x2-9例 2. (-3a -2b )(3一2方)分析：本类题是属于两个多项项式的乘积，这类题形首先要观察是否符合公式特 点，看出前一个因式中与后一个因式中都是・2b,剩下的一个是・3a, —个3a,它们互 为相反数，可以用公式计算本题有两种方法(1)是利用加法加换律调整位置，把 它转化为一般式；(2)提一个负号转化成一般式，再用公式计算解法1、加法加换律进行调整其位置 解法2、提取负号(—3d — 2b )(3— 2b) (—3 — 2b )(3 — 2b)=(-2h - 3a)(-2b + 3a) = -(3a +27? )(3a - 2b)= (-2h)2-(3a)2 = -(9a2 -4b2)=4b2 — 9a2 — —9a2 +4b2例 3、 (2x + y + zX2x + y - z)分析：木类题每一个因式中都是三个或三个以上的项，所以先利用加法结合律， 把一个因式中的多项式转化成两个式子的和差形式，再观察是否符合公式特点。

前一 个因式中的(2x+y + z)结合成[(2x + y) + z]，后一个因式(2兀+ y-z)结合成 [(2兀+y) - z], (2x+ y)与(2x + y)为相等,z与・z互为相反数，可用公式进行计算2 乂 + y + wX2 乂 + A — N)=(2x + y + z\2x + y - z)=[(2兀 + y) + zl(2x + y)- z]=(2x4- y)2 — z2=4x2 + 4xy + y2 — z2小结：注意平方差进行乘法运算时，经常出现的的误区有(1)对因式中各项的 系数，符号要仔细观察、比较，不能误用公式，如(3d +2方)(2-3方)、如 (-36/ -2b )(36/ + 2b),此类题目不能运用平方差公式；(2)公式中的字母是多种形式 的，所以当这个字母表示一个负数、或分数、或单项式与多项式，应加上括号，避免 出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误二、因式分解中的应用因式分解我们一般采用的方法是：一提(提取公因式)、二套(套用公式)、三分 组，其中套用平方差公式，也就是整式乘法中(a-^b)(a-b) = a2-b2的逆用：。