2011年全国高中数学联合竞赛一试参考答.pdf
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《数学竞赛之窗》编辑部 提供2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案（A 卷） 说明： 1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准．填空题只设 8 分和 0 分两档；解答题的评阅， 请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本 评分标准适当划分档次评分，解答题第 9 题 4 分为一个档次，第 10,11 题 5 分为一个档次， 不要再增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分．把答案填在横线上． 1．设集合，若},,,{4321aaaaA =A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 ，则集合}8, 5, 3, 1{−=B=A ． 解 显然，在A的所有三元子集中，每个元素均出现了 3 次，所以 15853) 1()(34321=+++−=+++aaaa， 故，于是集合54321=+++aaaaA的四个元素分别为 5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5 ＝0，5－8＝－3，因此，集合}6, 2, 0, 3{−=A． 2．函数11)(2−+=xxxf的值域为 ． 解 设22,tanπθπθ+， 又53 71)(xxxf+=是上的增函数，所以),(+∞−∞θθcossin>， 故∈++++=+++=+++bbbaba． 从而 ]210)2(6lg[| ]210)2(6lg[|)21610(+++=+++=++bbbbbaf． 又，所以2lg4)21610(=++ baf2lg4]210)2(6lg[=+++bb， 故 16210)2(6=+++bb ． 解得31−=b或（舍去） ． 1−=b把31−=b代入解得1)2)(1(=++ba52−=a． 所以 52−=a，31−=b． 10． （本小题满分 20 分） 已知数列满足：}{na∈−=tta(321R 且) 1±≠t， 121) 1(2)32(11−+−−+−=++n nn nnntattata∈n(N． )*（1）求数列的通项公式； }{na （2）若，试比较与的大小． 0>t1+nana解 （1）由原式变形得 112) 1)(1(211−−++−=++n nnnntaata， 则 2111) 1(212) 1(2 1111+−+−+=−++=−+++nnnnn nnnntatataa ta． 记nnnbta=−+ 11，则221+=+nn nbbb，2122 111 1=−−=−+=tt tab． 又 211,211111=+=+bbbnn，从而有221) 1(111nnbbn=⋅−+=， 2011 年全国高中数学联合竞赛一试答案（A 卷）第 4 页（共 6 页） 《数学竞赛之窗》编辑部 提供故 ntann2 11=−+，于是有 1) 1(2−−=ntann． （2）nt ntaannnn) 1(2 1) 1(211−−+−=−++[])1)(1()1 () 1() 1(211−−++++−+++++−=nnnttntttnnntLL [][])()() 1() 1() 1(2)1 () 1() 1(211−−−++−+−+−=+++−+−=nnnnnntttttnntttntnntLL []132212 ) 1() 1() 1() 1(2−−−−−++++++++++−=nnnnnttttttnntLLL， 显然在) 1(0≠>tt时恒有，故． 01>−+nnaannaa>+111． （本小题满分 20 分）作斜率为31的直线l与椭圆C：143622 =+yx交于两点（如图所示） ，且BA,)2,23(P在直线l的左上方． （1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若°=∠60APB，求△PAB的内切圆的面积． 解 （1）设直线l：mxy+=31，． ),(),,(2211yxByxA y xOP A B 将mxy+=31代入143622 =+yx中，化简整理得 03696222=−++mmxx． 于是有2369,322121−=−=+mxxmxx， 232, 2322211 −−= −−= xyk xykPBPA． 则 )23)(23()23)(2()23)(2(2322322112212211 −−−−+−−= −−+ −−=+ xxxyxyxyxykkPBPA， 上式中，分子)23)(231()23)(231(1221−−++−−+=xmxxmx )2(26))(22(322121−−+−+=mxxmxx )2(26)3)(22(2369 322 −−−−+−⋅=mmmm0122626312322=+−+−−=mmmm， 从而，0=+PBPAkk． 又P在直线l的左上方，因此，APB∠的角平分线是平行于轴的直线，所以△yPAB的内切圆的圆心在直线23=x上． （2）若°=∠60APB时，结合（1）的结论可知3, 3−==PBPAkk． 2011 年全国高中数学联合竞赛一试答案（A 卷）第 5 页（共 6 页） 《数学竞赛之窗》编辑部 提供直线PA的方程为：)23(32−=−xy，代入143622 =+yx中，消去得 y0)3313(18)331 (69142=−+−+xx． 它的两根分别是和1x23，所以14)3313(18231−=⋅x，即14)3313(231−=x． 所以7) 133(23|23|)3(1||12+=−⋅+=xPA． 同理可求得7) 133(23||−=PB． 所以 493117 23 7) 133(23 7) 133(23 2160sin||||21=⋅−⋅+⋅=°⋅⋅⋅=ΔPBPASPAB． 2011 年全国高中数学联合竞赛一试答案（A 卷）第 6 页（共 6 页） 。
