计算机数值方法第五章常微分方程数值解法lzppt课件.ppt

第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法(Numerical Methods for Ordinary Differential Equations)引言引言Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.引言引言 思索一阶常微分方程的初值问题思索一阶常微分方程的初值问题 (Initial-Value Problem ):只需只需 f (x, y) 在在x∈∈ [a, b] 上延上延续续，且关于，且关于 y 满满足足 Lipschitz 条件，即存在与条件，即存在与 x, y 无关的常数无关的常数 L 使使对对恣意定恣意定义义在在 [a, b] 上的上的 y1(x) 和和 y2(x) 都成立，那都成立，那么上述常微分方程存在独一解么上述常微分方程存在独一解Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.引言引言数数值值解法就是要解法就是要计计算出解函数算出解函数 y(x) 在一系在一系列列节节点点 a = x0< x1<…< xn= b 处处的近似的近似值值 y0 y1 … yn节点间距节点间距 称为步称为步长，通常采用等距节点，即取长，通常采用等距节点，即取 hi = h (常数常数)。

处处理：理： 数数值值解法的一个根本特点是解法的一个根本特点是“步步进进式〞，即求式〞，即求解解时顺时顺着着节节点点陈陈列的次序一步步地向前推列的次序一步步地向前推进进单步：单步： yk-1 yk多步：多步： yk-p … yk-2 ，，yk-1 yk留意：与留意：与“迭代法〞区迭代法〞区别别Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法欧拉方法欧拉方法〔 〔 Euler’s Method 〕 〕Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.显式显式Euler公式公式由两点公式求导数，在由两点公式求导数，在[xj , xj+1]子区间上有：子区间上有：其中其中 j   [xj , xj+1]代入方程代入方程 有有显显式式Euler公式公式x0x1y(x1)y(x0)hEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.显式显式Euler公式的误差公式的误差部分截断部分截断误误差差显显式式Euler公式公式　　　　　　在在假假设设 yj = y(xj)，，即即第第 i 步步计计算算是是准准确确的的前前提提下下，，思思索索的的截截断断误误差差 ej+1 = y(xj+1)   yj+1 称称为为部部分分截断误差截断误差 /* local truncation error */。

Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.q 〔〔P169〕例〕例1：取：取h=0.1，分别用显式，分别用显式Euler法、隐式法、隐式Euler法、显隐结合的预测校正系统求解初值问题法、显隐结合的预测校正系统求解初值问题 解：解：用显式用显式Euler法求解，有：法求解，有： …依次下去依次下去计计算算结结果果见见P169 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.隐式隐式Euler公式公式由两点公式求导数，在由两点公式求导数，在[xj , xj+1]子区间上有：子区间上有：其中其中 j   [xj , xj+1]代入方程代入方程 有有部分截断部分截断误误差差隐隐式式Euler公式公式是一个关于是一个关于yj+1的方程的方程,要从中解出要从中解出yj+1 x0x1Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.q 〔〔P169〕例〕例1：取：取h=0.1，分别用显式，分别用显式Euler法、隐式法、隐式Euler法、显隐结合的预测校正系统求解初值问题法、显隐结合的预测校正系统求解初值问题 计计算算过过程程见见P170 用隐式用隐式Euler法求解，有：法求解，有： 解：解：从中解出从中解出yi+1，有：，有： Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.显隐结显隐结合的合的预测预测校正系校正系统统——防止求解方程防止求解方程〔 〔predictor-corrector method 〕 〕Step 1: 先用先用显显式欧拉公式欧拉公式作式作预测预测，算出，算出预测值预测值Step 2: 再用再用隐隐式欧拉公式欧拉公式作校正，得到校正式作校正，得到校正值值写成一个公式写成一个公式为为：：y0 ＝＝y(a)－－> y1－－> y1－－> y2－－> y2 … －－> yn－－> yn计计算算顺顺序：序：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.q 〔〔P170〕例〕例1：取：取h=0.1，分别用显式，分别用显式Euler法、隐式法、隐式Euler法、显隐结合的预测校正系统求解初值问题法、显隐结合的预测校正系统求解初值问题 ……计计算算过过程程见见P170 解：解：用用预测预测校正系校正系统统求解，有：求解，有： y0=1Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.p阶精度阶精度　　假设某算法的部分截断误差　　假设某算法的部分截断误差e(h)满足：满足：e(h)= O(hp+1)，即有：，即有： e(h)/ hp+1=c(常数〕，常数〕，那么称该算法有那么称该算法有p 阶精度。

阶精度 欧拉法的部分截断欧拉法的部分截断误误差：差：欧拉法具有欧拉法具有 1 阶阶精度显显式：式：隐隐式：式：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.梯形公式梯形公式 〔〔trapezoid formula〕〕注：确实有部分截断误差注：确实有部分截断误差 ，， 即梯形公式具有即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了提阶精度，比欧拉方法有了提高但留意到该公式是隐式公式但留意到该公式是隐式公式从从显显式、式、隐隐式式Euler法和法和Euler部分部分截断截断误误差来看似乎可以有如下式子差来看似乎可以有如下式子——梯形公式：梯形公式：隐式隐式Euler显式显式EulerEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.基于数值积分的求解思想基于数值积分的求解思想求出求出 积分的近似表达，积分的近似表达，也就求出了也就求出了y(xk)hxkxf(x,y)f(x,y)xk-1f(xk,yk)f(xk-1,yk-1)Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.基于数值积分的求解思想基于数值积分的求解思想用矩形求用矩形求积积公式替代公式替代hxkxf(x,y)f(x,y)xk-1f(xk,yk)f(xk-1,yk-1)左矩形左矩形显显式式Euler公式公式右矩形右矩形隐隐式式Euler公式公式Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.基于数值积分的求解思想基于数值积分的求解思想用梯形求用梯形求积积公式替代公式替代hxkxf(x,y)f(x,y)xk-1f(xk,yk)f(xk-1,yk-1)注：梯形公式是注：梯形公式是隐隐式公式式公式 显显式、式、隐隐式式Euler的平均的平均 梯形公式具有梯形公式具有2阶阶精度精度余余项项Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.方方 法法  显式欧拉显式欧拉隐式欧拉隐式欧拉梯形公式梯形公式计算简单计算简单精度低精度低稳定性好稳定性好精度低精度低, 计算不便计算不便精度提高精度提高计算不便计算不便 Can’t you give me a formula with all the advantages yet without any of the disadvantages? Let me try！！Euler公式及梯形公式总结公式及梯形公式总结Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.改良的改良的Euler法法——预测预测校正系校正系统统〔 〔 modified Euler’s method〕 〕注：可以注：可以证证明明该该算法具有算法具有 2 阶阶精度，同精度，同时时可以看到可以看到它是个它是个单单步步递递推格式，比推格式，比隐隐式公式的迭代求解式公式的迭代求解过过程程简单简单。

它的它的稳稳定性高于定性高于显显式欧拉法式欧拉法 误误差比差比较较：梯形法：梯形法≈改良改良Euler法法 < 显显、、隐隐Euler法法Step 1: 先用先用显显式欧拉公式作式欧拉公式作预测预测，算出，算出预测值预测值Step 2: 再用梯形公式作校正，得到校正再用梯形公式作校正，得到校正值值Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.举例举例q (P173例例3)：取：取h=0.1，分别用，分别用Euler法、梯形公式、法、梯形公式、改良的改良的Euler法求解初值问题法求解初值问题 解：解：计计算算过过程参程参见见P173 Euler法法梯形法梯形法解出解出yk得：得：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.举例举例q (P173例例3)：取：取h=0.1，分别用，分别用Euler法、梯形公式、法、梯形公式、改良的改良的Euler法求解初值问题法求解初值问题 解：解：计计算算过过程参程参见见P173 改良改良Euler法法Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.Simpson公式〔公式〔Simpson formula 〕〕注：注：Simpson公式是一个隐式公式公式是一个隐式公式 Simpson公式是多步法：公式是多步法：yk-1, yk-2=>yk运用运用simpson求求积积公式：公式：Simpson公式公式——4阶阶精度精度Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.P198 习题习题6用用Euler法和改良的法和改良的Euler法解方程，法解方程，h＝＝0.1留意改标题为留意改标题为0<=x<=0.4第五章第五章 作作 业业欧拉方法欧拉方法〔 〔 Euler’s Method 〕 〕Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法龙格－库塔法龙格－库塔法〔〔RungeRunge－－Kutta Method Kutta Method 〕〕Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.二二阶阶Runge－－Kutta法法——改良的改良的Euler法法 调查改良的欧拉法，可以将其改写为：调查改良的欧拉法，可以将其改写为：K1K2xi+h步长一定是步长一定是一个一个h 吗？吗？斜率一定斜率一定取取K1 K2 的的平均值吗？平均值吗？Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.龙格龙格 - 库塔法〔库塔法〔 Runge－－Kutta Method 〕〕首先希望能确定系数首先希望能确定系数 1、、2、、p，使得到的算法，使得到的算法格式有格式有2阶精度，即在阶精度，即在 的前提假设下，的前提假设下，使得使得 Step 1: 将将 K2 在在 ( xi , yi ) 点作点作 Taylor 展开展开将改良欧拉法推行为：将改良欧拉法推行为：),(),(][12122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii+ ++ += == =+ ++ += =+ +l ll lEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.龙格龙格 - 库塔法〔库塔法〔 Runge－－Kutta Method 〕〕Step 2: 将将 K1 K2 代入第代入第1式，得到式，得到Step 3: 将将 yi+1 与与 y( xi+1 ) 在在 xi 点的泰勒展开作比点的泰勒展开作比较较要求要求 ，那么必需，那么必需有：有：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.龙格龙格 - 库塔法〔库塔法〔 Runge－－Kutta Method 〕〕这里有这里有 个未知个未知数，数， 个方程。

个方程32存在无存在无穷穷多个解一切多个解一切满满足上式的格式足上式的格式统统称称为为2阶龙阶龙格格 - 库库塔格式留意留意: : 就是改良的欧拉法就是改良的欧拉法, ,也就是也就是2 2阶阶R-KR-K法  : 为获为获得更高的精度，得更高的精度，应该应该如何如何进进一步推行？一步推行？Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.三阶龙格三阶龙格 - 库塔法库塔法三、四阶三、四阶R-KR-K法思想：法思想：利用各种显化方法，对以上公式显化利用各种显化方法，对以上公式显化SimpsonSimpson公式求积公式求积xixi +hxi +h/2Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.三阶龙格三阶龙格 - 库塔法库塔法K1K2K3显显EulerP1771.要要计计算算3个函数个函数2.可以可以证证明明(Taylor展开展开K1，，K2，，K3〕 〕3. e(h)=O(h4)4. 具有具有3阶阶精度精度Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.q P180 例：取例：取h=0.1，用三阶、，用三阶、q 四阶四阶R-K法求解初值问题法求解初值问题 举例举例解：用三解：用三阶阶R-K法法Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.取取n=1 计算计算K1，， K2，， K3，， => y1取取n=2 计算计算K1，， K2，， K3，， => y2取取n=3 计算计算K1，， K2，， K3，， => y3n12K1……K2……K3……y1……列表计算列表计算Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.四阶龙格四阶龙格 - 库塔法库塔法(经典经典R-K法法) /* Classical Runge-Kutta Method */ e(h)=O(h5)4阶精度阶精度Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.优缺陷：优缺陷：优点是：优点是：(1)都是一步法，因此只需给定一个初始值就都是一步法，因此只需给定一个初始值就 可以不断计算下去；可以不断计算下去； (2)精度相对较高，如经典精度相对较高，如经典R-K法为四阶精度法为四阶精度缺陷是：缺陷是：(特别是三阶和四阶法特别是三阶和四阶法)计算量较大。

计算量较大其他其他问题讨论问题讨论：：R-K法推法推导导基于基于Taylor展式，因此要求展式，因此要求y(x)有有较较好的光好的光滑性滑性〔 〔即有高即有高阶导阶导数数〕 〕最常用的是四最常用的是四阶阶公式，它适用于普通的公式，它适用于普通的问题问题，准确、，准确、稳稳定、易于定、易于编编程步步长长h减小，部分减小，部分误误差差O(h5)减小减小 但步数添加，舍入但步数添加，舍入误误差差积积累添加累添加h h要适当，要适当，总误差才最小总误差才最小四阶龙格四阶龙格 - 库塔法库塔法(经典经典R-K法法) /* Classical Runge-Kutta Method */ Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.q P180 例：取例：取h=0.1，用三阶、，用三阶、q 四阶四阶R-K法求解初值问题法求解初值问题 解：用三解：用三阶阶R-K法法Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.取取n=1 计算计算K1，， K2，， K3，， K4 => y1取取n=2 计算计算K1，， K2，， K3，， K4 => y2取取n=3 计算计算K1，， K2，， K3，， K4 => y3n1K1…K2…K3…K4…y1…列表计算列表计算Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.q 例：取例：取h=0.2，用四阶龙格－库塔法求解初值问题，用四阶龙格－库塔法求解初值问题 举例举例解：解：这里 ，经典的四阶龙格-库塔公式为Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.举例举例表中列出了表中列出了计计算算结结果，同果，同时时列出了相列出了相应应的准确解的准确解.比比较较本本章第一个例子的章第一个例子的计计算算结结果，果，显显然然龙龙格格-库库塔方法的精度高塔方法的精度高. Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.称号称号RK4〔 〔A,B,Y0,H〕 〕存存储储：：K[1]~K[4] <= K1~K4 Y[N] <= y1,y2…yn算法：算法：(1) 输输入入a，，b，，n，，y0，，设计设计函数函数F(x,y) (2)Y[0]<=y0, H=(b-a)/n，，H1<=H/2 (3)对对i=0，，1，，2，，… ,N-1(由由Y[i]计计算算Y[i+1]) xi=x0+i*h K[1]<=F(xi,Y[i]) K[2]<=F(xi+H1,Y[i]+H1*K[1]) K[3]<=F(xi+H1,Y[i]+H1*K[2]) K[4]<=F(xi+H,Y[i]+H*K[3]) Y[i+1]<=Y[i]+(K[1]+2*K[2]+2*K[3]+K[4])*h/6 (4)输输出出Y[1], Y[2],…,Y[N].四阶龙格四阶龙格 - 库塔法算法设计〔库塔法算法设计〔P182)Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.P199 习题习题10〔〔2〕〕第五章第五章 作作 业业龙格－库塔法龙格－库塔法〔〔RungeRunge－－Kutta Method Kutta Method 〕〕Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法线性多步法〔线性多步法〔 Multistep Method 〕〕Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.线性多步法〔线性多步法〔 Multistep Method 〕〕单步法：单步法： yk-1 yk对应对应xk：： a = x0< x1<…< xn= b 的的yk：： y0 y1 … yn优点：不需求其他计算值，计算优点：不需求其他计算值，计算yk只需用到只需用到yk-1缺陷：没有充分利用前几步得到的信息缺陷：没有充分利用前几步得到的信息处置处置y(xk-1+ah)的困难的困难多步法：多步法： yk-p … yk-2 ，，yk-1 yk用到用到p步计算的结果步计算的结果Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.开型求解开型求解——Adams法法思想：思想：计计算算积积分分时时，插，插值节值节点取在点取在积积分区分区间间[xk-1,xk]的外部的外部三三阶阶Adams：：显显式：取式：取xk-1, xk-2, xk-3 作作节节点点f(x,y)≈L2(x) 误误差差O(h4)隐隐式：取式：取xk, xk-1, xk-2 作作节节点点f(x,y)≈L2(x) 误误差差O(h4)四四阶阶Adams：：显显式：取式：取xk-1, xk-2, xk-3 , xk-4 作作节节点点f(x,y)≈L3(x) 误误差差O(h5)隐隐式：取式：取xk , xk-1, xk-2, xk-3 作作节节点点f(x,y)≈L3(x) 误误差差O(h5)预测－校正系统：显式预测－校正系统：显式Adams＋隐式＋隐式Adams〔三阶、四阶〕〔三阶、四阶〕Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.三阶显式三阶显式Adams法法取取xk-1, xk-2, xk-3 作作节节点点f(x,y)≈L2(x) 误误差差O(h4)简记为：简记为：误差：误差：3阶精度阶精度Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.三阶隐式三阶隐式Adams法法取取xk, xk-1, xk-2 作作节节点点f(x,y)≈L2(x) 误误差差O(h4)误差：误差：3阶精度阶精度Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.四阶显式四阶显式Adams法法取取xk-1, xk-2, xk-3 , xk-4 作作节节点点f(x,y)≈L3(x) 误误差差O(h5)误差：误差：4阶精度阶精度Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.四阶隐式四阶隐式Adams法法取取xk , xk-1, xk-2, xk-3 作作节节点点f(x,y)≈L3(x) 误误差差O(h5)误差：误差：4阶精度阶精度Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.亚当姆斯预测亚当姆斯预测-校正系统校正系统 〔〔 Adams predictor-corrector system 〕〕四阶误差：四阶误差：三阶三阶显式预测显式预测隐式校正隐式校正四阶四阶其中：其中：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.亚当姆斯预测亚当姆斯预测-校正系统校正系统 〔〔 Adams predictor-corrector system 〕〕Step 1: 用用Runge-Kutta 法法计计算前算前 k 个初个初值值；；Step 2: 用用Adams 显显式式计计算算预测值预测值；；Step 3: 用同用同阶阶Adams 隐隐式式计计算校正算校正值值。

留意：三步所用公式的精度必需一样通常用经典留意：三步所用公式的精度必需一样通常用经典Runge-Kutta 法〔法〔4阶〕配合阶〕配合4阶阶Adams 公式四四阶阶精精度度Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.闭闭型求解型求解——Milne公式公式闭型求解思想：闭型求解思想：扩扩展展积积分区分区间间：：[xk-1,xk] －－> [xk-4,xk]添加内部添加内部节节点：点： xk-1, xk-2, xk-3 , xk-4 原来的外部原来的外部节节点点 －－> 积积分区分区间间的内部的内部节节点点 方程方式变化：方程方式变化：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.闭闭型求解型求解——Milne公式公式推推导导：：(1) 取取xk-1, xk-2, xk-3 , xk-4 为节为节点作三次点作三次Newton前插前插公式替代公式替代f(x, y(x))：：f(x, y(x))= N3(x)+R4(x)(2) x＝＝xk-4+th 那么那么 x∈∈[xk-4,xk]时时，，t ∈∈[0,4] 作作x->t交交换换(3) 计计算算积积分及分及误误差差截断误差：截断误差：4阶精度阶精度Milne公式公式Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.闭型求解公式闭型求解公式Milne公式不能直接运用，普通是首先用四阶公式不能直接运用，普通是首先用四阶R－－K法求出前几个节点的值，然后运用法求出前几个节点的值，然后运用Milne公式求解。

公式求解前面知道前面知道Simpson公式〔四阶精度〕是隐式积分公公式〔四阶精度〕是隐式积分公式，所以利用式，所以利用Milne公式，可以得到如下的精度为四公式，可以得到如下的精度为四阶的预测－校正系统阶的预测－校正系统Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 解：解：(1) 用三用三阶阶R-K法求法求y(0.4) 的的值值q P187例：分别用三阶例：分别用三阶Adams显式公式和显式公式和Milne公式公式计算下面的初值计算下面的初值 问题的解问题的解y(x)在在0.6和和0.8处的值，处的值，qh＝＝0.2，知，知y1=0.181Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 解：解：(1) 用三用三阶阶R-K法求法求y(0.4) 的的值值q P187例：分别用三阶例：分别用三阶Adams显式公式和显式公式和Milne公式公式计算下面的初值计算下面的初值 问题的解问题的解y(x)在在0.6和和0.8处的值，处的值，qh＝＝0.2，知，知y1=0.181。

2) 将将0、、0.2、、0.4处处的的值值代入三代入三阶显阶显式式Adams公式公式计计算算y(0.6)(3) 将将0、、0.2、、0.4、、0.6处处的的值值代入代入Milne公式公式计计算算y(0.8)计算过程计算过程见见P187Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法线性多步法〔线性多步法〔 Multistep Method 〕〕P198 习题习题15〔第三版〕〔第三版〕P200 习题习题16〔第二版〕〔第二版〕Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法欧拉方法欧拉方法〔 〔 Euler’s Method 〕 〕Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.q 例例:用改良的用改良的Euler法推出法推出Yn和和Xn的关系表达的关系表达式，并与准确解析式作比较式，并与准确解析式作比较举例举例Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.补充：导出改良Euler公式的解表达并与解：其中 为Euler算出Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.Euler公式：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法龙格－库塔法龙格－库塔法〔〔RungeRunge－－Kutta Method Kutta Method 〕〕Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.q 例例:用四阶用四阶R-K法法q 求解初值问题求解初值问题 举例举例解：解：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.举例举例Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.举例举例Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.举例举例Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.q 例例:用四阶用四阶Adamsq 求解初值问题求解初值问题 举例举例解：解：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.举例举例Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.第五章第五章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法线性多步法〔线性多步法〔 Multistep Method 〕〕Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.。