2018－2019高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 第2课时 椭圆的几何性质及应用学案 苏教版选修1-1.docx

第2课时　椭圆的几何性质及应用学习目标　1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.知识点一　点与椭圆的位置关系思考　类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？答案　当P在椭圆外时，＋>1；当P在椭圆上时，＋＝1；当P在椭圆内时，＋<1.梳理　设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件P在椭圆外＋>1P在椭圆上＋＝1P在椭圆内＋<1知识点二　直线与椭圆的位置关系思考1　直线与椭圆有几种位置关系？答案　有三种位置关系，分别有相交、相切、相离.思考2　如何判断y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系？答案　联立消去y得关于x的一元二次方程.梳理　直线与椭圆的三种位置关系位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<0知识点三　直线与椭圆的相交弦思考　若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？答案　有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得；另一种方法是利用弦长公式可求得.梳理　弦长公式：(1)AB＝＝|x1－x2|＝；(2)AB＝|y1－y2|＝(直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率).其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程，由一元二次方程的根与系数的关系而得到.1.椭圆＋y2＝1的长轴长为4.(　×　)2.椭圆＋＝1的离心率为.(　√　)3.若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值等于3.(　×　)类型一　直线与椭圆的位置关系例1　当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144.(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点.考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆的公共点个数问题解　由消去y，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，Δ＝(32m)2－100(16m2－144)＝576(－m2＋25).(1)由Δ<0，解得m<－5或m>5.(2)由Δ＝0，解得m＝±5.(3)由Δ>0，解得－50；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具.跟踪训练2　已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆相交时的最值问题解　设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0.联立方程消去x，得9y2－2ay＋a2－8＝0，Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3.∴与直线l距离较近的切线方程为x－y＋3＝0，由得即P.最小距离为d＝＝.类型二　弦长及中点问题例3　已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点.(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.考点　直线与椭圆的位置关系题点　中点弦问题解　(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，即y＝x.由消去y，得x2－18＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.于是AB＝＝＝×＝×6＝3.所以线段AB的长度为3.(2)方法一　当直线l的斜率不存在时，不合题意.所以直线l的斜率存在.设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4).联立消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，由于AB的中点恰好为P(4,2)，所以＝＝4，解得k＝－，且满足Δ>0.此时直线的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减，得＋＝0，整理得kAB＝＝－.由于P(4,2)是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，于是kAB＝－＝－.于是直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.反思与感悟　处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程.利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.跟踪训练3　已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程.考点　直线与椭圆的位置关系题点　中点弦问题解　方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.①∵A，B为直线x＋y－1＝0上的点，∴＝－1.由已知得＝kOC＝，代入①式可得b＝a.∵直线x＋y－1＝0的斜率为k＝－1，又AB＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，∴|x2－x1|＝2.联立ax2＋by2＝1与x＋y－1＝0，消去y，可得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.且由已知得x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，∴x1＋x2＝，x1x2＝，∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2－4·.②将b＝a代入②式，解得a＝，∴b＝.∴所求椭圆的方程是＋＝1.方法二　由消去y，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，且直线AB的斜率为k＝－1.∴AB＝＝＝·.∵AB＝2，∴＝2，∴＝1.①设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－x＝.∵OC的斜率为，∴＝＝，将其代入①式，得a＝，b＝.∴所求椭圆的方程为＋＝1.类型三　椭圆中的最值(或范围)问题例4　已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.若设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程.考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆相交时的最值问题解　由消去y，得5x2＋2mx＋m2－1＝0，由Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，得－≤m≤，x1＋x2＝－，x1x2＝，则AB＝|x1－x2|＝·＝.又O到AB的距离d＝.所以S△AOB＝AB·d＝×·＝≤·＝，当且仅当－m2＝m2时，等号成立，此时m＝±∈，即△AOB的面积最大为，此时直线方程为x－y±＝0.反思与感悟　解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.跟踪训练4　直线y＝b与椭圆＋y2＝1交于A，B两点，记△AOB的面积为S.求在00，∴m>1或m<0.又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.2.过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则AB＝________.考点　直线与椭圆的位置关系题点　中点弦问题答案　1解析　由题意知AB为通径，则AB＝＝＝1.3.椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|的值为________.考点　直线与椭圆的位置关系题点　中点弦问题答案　解析　易知△ABF2内切圆的半径r＝，根据椭圆的性质结合△ABF2的特点，可得△ABF2的面积S＝lr＝×2c×|y1－y2|，其中l为△ABF2的周长，且l＝4a，代入数据解得|y1－y2|＝.4.过点P(－1,1)的直线交椭圆＋＝1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，则AB所在的直线方程为________________.考点　直线与椭圆的位置关系题点　中点弦问题答案　x－2y＋3＝0解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又两式相减得＝.∴AB所在的直线方程为x－2y＋3＝0.5.直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且MN＝，求直线l的方程.考点　直线与椭圆的位置关系题点　求椭圆中的直线方程解　设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).由消去y并化简，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.由MN＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，即(1＋k2)2＝，化简得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，即k＝±1.所以所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.1.直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式.设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有AB＝＝＝·＝＝·(k为直线斜率).(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.2.解决椭圆中点弦问题的二种。