近五年上海高考分类汇编——数列与数学归纳法.doc

近五年上海高考汇编——数列与数学归纳一、填空题1.（2009年上海高考文13）已知函数.项数为27的等差数列满足,且公差. 若，则当=_____时,.答案：14.2.（ 2010年上海高考文12） 在行列矩阵中，记位于第行第列的数为，当时， .答案：453．（2010年上海高考文14）将直线、、 （，）围成的三角形面积记为，则 答案：4.（2010年上海高考理11）将直线、（，）轴、轴围成的封闭图形的面积记为，则 答案：15.（2011年上海高考文2） 答案：6.（2011年上海高考理14）已知点、和，记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足；记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足；依次下去，得到点，则 答案：7.（2012年上海高考理6/文7）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 .答案：8.（2012年上海高考文14）已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是 . 答案：9. (2013年上海高考理1）计算： ．答案：10.（2013年上海高考理10）设非零常数是等差数列的公差，随机变量 等可能地取值，则方差 ．答案：11.（2013年上海高考文2）在等差数列中，若，则 ．答案：15二、选择题12.（2011年上海高考理18）设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为 （ ）A 是等比数列 B 或是等比数列C 和均是等比数列D 和均是等比数列，且公比相同答案：D13.（2012年上海高考文18）若（），则在中，正数的个数是（ ）A．16 B.72 C.86 D.100答案：C14.（2012年上海高考理18）设，，在中，正数的个数是（ ）A．25 B．50 C．75 D．100答案：D15.（2013年上海高考理17）在数列中，．若一个7行12列的矩阵的第行第列的元素（；），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）．A．18 B. 28 C. 48 D. 63答案：A16.（2013年上海高考文18）记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在上时，的最大值分别是，则（ ）．A. 0 B. C. 2 D. 答案：D三、解答题17.（2009年上海高考文23）已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列（1）若，是否存在，有请说明理由；（2）若bn=aqn（a、q为常数，且aq≠0），对任意m存在k，有bm·bm+1=bk，试求a、q满足的充要条件；（3）若an=2n+1，bn=3n，试确定所有的p，使数列{bn}中存在某个连续p项的和是{an}中的一项，请证明.解：（1）由得，整理后，可得、，为整数不存在、，使等式成立。

2）当时，则即，其中是大于等于的整数反之当时，其中是大于等于的整数，则，显然，其中、满足的充要条件是，其中是大于等于的整数（3）设当为偶数时，式左边为偶数，右边为奇数，当为偶数时，式不成立由式得，整理得当时，符合题意当，为奇数时， 由，得当为奇数时，此时，一定有和使上式一定成立当为奇数时，命题都成立18.（2009年上海高考理23）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列（1）若，是否存在，有说明理由；（2）找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；（3）若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明解（1）， ……2分整理后，可得，为整数，不存在，使等式成立 ……5分（2）解法一 若即， （*）（i）若，当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求……7分（ii）若，（*）式等号左边取极限得（*）式等号右只边只有当时，才可能等于1，此时等号左边是常数，，矛盾综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求……10分 解法二 设，若，对都成立，且为等比数列，则，对都成立，即， ，对都成立，……7分（i）若，.（ii）若，则综上所述，，使对一切，. ……10分（3），设，，， ……13分取，……15分由二项展开式可得整数，使得， 存在整数满足要求。

故当且仅当，命题成立 ……18分说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）若为偶数，则为偶数，但为奇数 故此等式不成立，一定为奇数 ……1分当，而 当为偶数时，存在，使成立， ……1分当 ，也即，，由已证可知，当为偶数即为奇数时，存在，成立，……2分当，也即，而不是5的倍数，当所要求的不存在，故不是所有奇数都成立.19.（2010年上海高考文21）已知数列的前项和为，且，（1）证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数. 解：(1)由 （1）可得：，即.同时 （2）从而由可得：即：，从而为等比数列，首项，公比为，通项公式为，从而（2）即，，，解得 ，从而.20.（2010年上海高考理20）已知数列的前项和为，且，（1）证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由.解：（1）略 （2） ， 取得最小值21.（2011年上海高考文23）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。

1）求三个最小的数，使它们既是数列中的项，又是数列中的项；（2）中有多少项不是数列中的项？说明理由；（3）求数列的前项和（）解：（1） 三项分别为.（2） 分别为（3），，，∵ ∴ .22.（2011年上海高考理22）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列1）求；（2）求证：在数列中、但不在数列中的项恰为；（3）求数列的通项公式解：（1）；（2）① 任意，设，则，即② 假设（矛盾），∴ ∴ 在数列中、但不在数列中的项恰为3），，，∵ ∴ 当时，依次有，……∴ .23.（2012年上海高考文23）对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5. （1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分） （2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）.求证：（k=1,2,…,m）；（6分） （3）设m=100，常数.若，是的控制数列，求.解：（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分 （2）因为，， 所以. ……6分 因为，， 所以，即. ……8分 因此，. ……10分 （3）对，；； ；. 比较大小，可得. ……12分 因为，所以，即； ，即. 又，从而，，，. ……15分 因此 = = ===. ……18分24.（2012年上海高考理23）对于数集，其中，，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P.（1）若x＞2，且，求x的值； （2）若X具有性质P，求证：1ÎX，且当xn＞1时，x1=1；）（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通项公式. 解：（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式. ……2分 所以x=2b，从而x=4. ……4分 （2）证明：取.设满足. 由得，所以、异号. 因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1，故1ÎX. ……7分假设，其中，则.选取，并设满足，即，则、异号，从而、之中恰有一个为-1.若=-1，则2，矛盾；若=-1，则，矛盾.所以x1=1. ……10分 （3）[解法一]猜测，i=1, 2, …, n. ……12分 记，k=2, 3, …, n. 先证明：若具有性质P，则也具有性质P. 任取，、Î.当、中出现-1时，显然有满足； 当且时，、≥1. 因为具有性质P，所以有，、Î，使得，从而和中有一个是-1，不妨设=-1.假设Î且Ï，则.由，得，与Î矛盾.所以Î.从而也具有性质P. ……15分现用数学归纳法证明：，i=1, 2, …, n.当n=2时，结论显然成立； 假设n=k时，有性质P，则，i=1, 2, …, k； 当n=k+1时，若有性质P，则 也有性质P，所以. 取，并设满足，即.由此可得s与t中有且只有一个为-1. 若，则1，不可能； 所以，，又，所以. 综上所述，，i=1, 2, …, n. ……18分 [解法二]设，，则等价于. 记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称. ……1。