新教材高中数学 第2章 5简单复合函数的求导法则课时作业 北师大版选修22.doc

新教材）北师大版精品数学资料【成才之路】高中数学 第2章 5简单复合函数的求导法则课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1．函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　)A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋C．2xln(2x＋5) D．[答案]　B[解析]　y′x＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.2．已知f(x)＝sin2x＋sinx，那么f′(x)(　　)A．是仅有最小值的奇函数B．是既有最大值又有最小值的偶函数C．是仅有最大值的偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数[答案]　B[解析]　f′(x)＝(sin2x＋sinx)′＝(sin2x)′＋(sinx)′＝cos2x·(2x)′＋cosx＝cos2x＋cosx.因为f′(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2(cosx＋)2－，又－1≤cosx≤1，所以函数f′(x)既有最大值又有最小值．因为f′(－x)＝cos(－2x)＋cos(－x)＝cos2x＋cosx＝f(x)，所以f′(x)是偶函数．故选B.3．(2014·全国大纲理，7)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　)A．2e B．eC．2 D．1[答案]　C[解析]　本题考查了导数的应用和直线方程．点(1,1)在曲线上，对y求导得y＝ex－1＋xex－1，所以在点(1,1)处的切线的斜率为k＝2.曲线上某一点的导函数值，就是过该点的切线的斜率．4．若函数f(x)＝3cos(2x＋)，则f′()等于(　　)A．－3 B．3C．－6 D．6[答案]　B[解析]　f′(x)＝－6sin(2x＋)，∴f′()＝－6sin(π＋)＝6sin＝3.5．函数y＝cos2x＋sin的导数为(　　)A．－2sin2x＋ B．2sin2x＋C．－2sin2x＋ D．2sin2x－[答案]　A[解析]　y′x＝(cos2x＋sin)′＝(cos2x)′＋(sin)′＝－sin2x·(2x)′＋cos·()′＝－2sin2x＋.二、填空题6.(2014·三亚市一中月考)曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．[答案]　2－1[解析]　y′|x＝1＝－|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1.7．曲线y＝sin3x在点P(，0)处的切线方程为____．[答案]　3x＋y＝π[解析]　y′x＝cos3x·(3x)′＝cos3x·3＝3cos3x.∴曲线y＝sin3x在点P(，0)处的切线斜率为3cos(3×)＝－3，∴切线方程为y＝－3·(x－)，即3x＋y＝π.8．(2014·西安模拟)曲线y＝e2x在点(0,1)处的切线方程为________．[答案]　2x－y＋1＝0[解析]　y′＝(e2x)′＝2e2x，k＝y′|x＝0＝2·e2×0＝2，∴切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝e3x；(2)y＝cos42x－sin42x.[解析]　(1)引入中间变量u＝φ(x)＝3x，则函数y＝e3x是由函数f(u)＝eu与u＝φ(x)＝3x复合而成的．查导数公式表可得f′(u)＝eu，φ′(x)＝3.根据复合函数求导法则可得(e3x)′＝f′(u)φ′(x)＝eu·3＝3e3x.(2)y＝cos42x－sin42x＝(cos22x＋sin22x)(cos22x－sin22x)＝cos4x.引入中间变量u＝φ(x)＝4x，则函数y＝cos4x是由函数f(u)＝cosu与u＝φ(x)＝4x复合而成的．查导数公式表可得f′(u)＝－sinu，φ′(x)＝4.根据复合函数求导法则可得(cos42x－sin42x)′＝(cos4x)′＝f′(u)φ′(x)＝－sinu·4＝－4sin4x.10．求y＝ln(2x＋3)的导数，并求在点(－，ln2)处切线的倾斜角．[分析]　函数y＝ln(2x＋3)可以看作函数y＝lnu和u＝2x＋3的复合函数，根据复合函数的求导法则来求．[解析]　令y＝lnu，u＝2x＋3，则y′x＝(lnu)′·(2x＋3)′＝·2＝.当x＝－时，y′＝＝1，即在点(－，ln2)处切线的倾斜角的正切值为1，所以倾斜角为.一、选择题1．y＝log3cos2x的导数是(　　)A．－2log3e·tanx B．2log3e·cotxC．－2log3cosx D．[答案]　A[解析]　y′＝log3e·(cos2x)′＝log3e·2cosx·(cosx)′＝log3e·2cosx(－sinx)＝－2log3e·tanx.2．已知f(x)＝x2＋2f′·x，则f′＝(　　)A． B．－C．0 D．无法确定[答案]　A[解析]　∵f(x)＝x2＋2f′·x，∴f′(x)＝2x＋2f′，∴f′＝2×＋2f′，∴f′＝－2×＝，即f′＝.3．函数f(x)＝cos x(x∈R)的图象按向量(m,0)平移后，得到函数y＝－f′(x)的图象，则m的值可以为(　　)A． B．πC．－π D．－[答案]　A[解析]　考查三角函数的图象按向量平移常见三角函数的导数，f(x)＝cos x的图象按向量(m,0)平移后得到cos(x－m)＝－f′(x)＝sin x的图象，故选A．二、填空题4．f(x)＝，且f′(1)＝1，则a的值为________．[答案]　2[解析]　∵f′(x)＝·(ax－1)′＝，∴f′(1)＝＝1.解得a＝25．(2014·江苏，11)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．[答案]　－3[解析]　曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)，则4a＋＝－5①又y′＝2ax－，所以4a－＝－②由①②解得所以a＋b＝－3.函数在某点处的导数值即为经过该点的切线的斜率．三、解答题6．求f(x)＝x2·e2x的导数．[分析]　先用两个函数相乘的求导法则，再由复合函数求导法则求解．[解析]　f′(x)＝(x2)′e2x＋x2·(e2x)′＝2xe2x＋x2·(e2x)·2＝e2x(2x＋2x2)＝2x(1＋x)e2x.7．某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin(t＋)(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．[解析]　函数y＝s(t)＝3sin(t＋π)是由函数f(x)＝3sinx和函数x＝φ(t)＝t＋复合而成的其中x是中间变量．由导数公式表可得f′(x)＝3cosx，φ′(t)＝.再由复合函数求导法则得y′t＝s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cosx·＝cos(t＋)．将t＝18时代入s′(t)，得s′(18)＝cos＝(m/h)．它表示当t＝18时，潮水的高度上升的速度为 m/h.8．求下列函数的导数：(1)y＝log2(2x2＋3x＋1)；(2)y＝ln；(3)y＝ln；(4)y＝.[解析]　(1)方法一：设y＝log2u，u＝2x2＋3x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝log2e·(4x＋3)＝·(4x＋3)＝.方法二：y′＝[log2(2x2＋3x＋1)]′＝(2x2＋3x＋1)′＝.(2)方法一：设y＝lnu，u＝，v＝x2＋1，则y′x＝y′u·u′v·v′x＝ ·v－·2x＝···2x＝.方法二：y′＝(ln)′＝()′＝···2x＝.方法三：y＝ln＝ln(x2＋1)，所以y′＝[ln(x2＋1)]′＝··(x2＋1)′＝.(3)y′＝′＝′＝·＝－.(4)y＝＝＝ex＋e－x－＝ex＋e－x－，所以y′＝(ex)′＋(e－x)′－′＝ex－e－x－＝ex－e－x－.[点评]　应用指数、对数函数的求导公式，结合导数的四则运算法则及复合函数的求导法则进行解题．求导过程中，可先适当进行变形化简，当然变形化简时要注意等价性．。