[研究生入学考试题库]考研数学一真题2021年.docx

[研究生入学考试题库]考研数学一真题2021年一、选择题(下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)问题:1. 函数在x=0处______A.连续且取得极大值B.连续且取得极小值C.可导且导数为0D.可导且导数不为0答案:D[考点] 本题考查连续与可导的定义及函数极限． [解析] 因为，所以f(x)在x=0处连续．因为即f(x)在x=0处可导且故答案为D．问题:2. 设函数f(x，y)可微，且f(x+1，ex)=x(x+1)2，f(x，x2)=2x2lnx，则df(1，1)=______A.dx+dyB.dx-dyC.dyD.-dy答案:C[考点] 本题考查多元复合函数微分法． [解析] 两边对x同时求导，得，(1)，(2)；将x=0代入(1)式，得1，(3)；将x=1代入(2)式，得；联立(3)(4)，解得，，所以．故答案为C．问题:3. 设函数在x=0处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3，则______ A．a=1，b=0， B．a=1，b=0， C．a=-1，b=-1， D．a=-1，b=-1， 答案:A[考点] 本题考查函数的麦克劳林展开式． [解析] 由麦克劳林展开式，知，所以，即a=1，b=0，故答案为A．问题:4. 设函数f(x)在区间[0，1]上连续，则 A． B． C． D． 答案:B[考点] 本题考查定积分的定义． [解析] f(x)在区间[0，1]上连续，故f(x)在区间[0，1]上可积．将区间[0，1]进行n等分，则每个小区间的长度为，取第k个小区间中点处的函数值，即，k=1，2，…，n．由定积分的定义，得．故答案为B．问题:5. 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为______A.2，0B.1，1C.2，1D.1，2答案:B[考点] 本题考查求矩阵的特征值及二次型的正负惯性指数． [解析] 二次型2x2x3+2x3x1对应的二次型矩阵所以A的特征值为-1，0，3，正惯性指数与负惯性指数依次为1，1．故答案为B．问题:6. 已知，记β1=α1，β2=α2-kβ1，β3=α3-l1β1-l2β2若β1，β2，β3两两正交，则l1，l2依次为______ A． B． C． D． 答案:A[考点] 本题考查施密特正交化． [解析] 利用施密特正交化，得两两正交，所以故答案为A．问题:7. 设A，B为n阶实矩阵，下列不成立的是______ A． B． C． D． 答案:C[考点] 本题考查分块矩阵的秩． [解析] r(A)=r(AT)=r(AAT)=r(ATA)，得，故A项成立；因为AB的列向量可以由A的列向量线性表示，所以r(A，AB)=r(A)，，故B项成立；而BA的列向量不一定能由A的列向量线性表示，因此r(A，BA)≥r(A)，所以故C项不成立；因为BA的行向量可以由A的行向量线性表示，所以，故D项成立．问题:8. 设A，B为随机事件，且0＜P(B)＜1，下列命题中不成立的是______ A．若P(A|B)=P(A)，则 B．若P(A|B)＞P(A)，则 C．若，则P(A|B)＞P(A) D．若，则P(A)＞P(B)答案:D[考点] 本题考查概率的性质及条件概率． [解析] 由P(A|B)=P(A)得，A，B相互独立，则，故A项成立；，得P(AB)＞P(A)P(B)，则，故B项成立；由，得P(AB)[1-P(B)]＞P(B)[P(A)-P(AB)]P(AB)＞P(A)P(B)，则故C项成立；由，得，D项不成立，故答案为D．问题:9. 设(X1，Y1)，(X2，Y2)，…，(Xn，Yn)为来自总体的简单随机样本，令，则______ A． B． C． D． 答案:C[考点] 本题考查二维正态分布及其期望、方差、协方差、相关系数的性质． [解析] (X1，Y1)，(X2，Y2)，…，(Xn，Yn)为来自总体的简单随机样本，，i=1，2，…，n．，且Xi，Yi的相关系数为ρ，i=1，2，…，n，且X1，X2，…，Xn相互独立，Y1，Y2，…，Yn相互独立，Xi，Yj(i≠j)相互独立．．因为所以是θ的无偏估计；故答案为C．问题:10. 设X1，X2，…，X16是来自总体N(μ，4)的简单随机样本，考虑假设检验问题：H0:μ≤10，H1:μ＞10．Φ(x)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为，其中，则μ=11.5时，该检验犯第二类错误的概率为______A.1-Φ(0.5)B.1-Φ(1)C.1-Φ(1.5)D.1-Φ(2)答案:B[考点] 本题考查假设检验的第二类错误． [解析] 假设检验的第二类错误是当原假设H0不真的前提下，接受原假设H0．记假设检验的第二类错误的概率为β，即β=P{接受H0|H0不真}=．又σ2=4σ=2．由已知，选取的检验统计量为，所以故答案为B．二、填空题问题:1. 答案:[考点] 本题考查无穷积分． [解析] 问题:2. 设函数y=y(x)由参数方程确定，则 答案:[考点] 本题考查参数方程求二阶导数． [解析] 问题:3. 欧拉方程x2y"+xy'-4y=0满足条件y(1)=1，y'(1)=2的解为y=______．答案:y=x2[考点] 本题考查欧拉方程的解法． [解析] 令x=et，则y'(x)et+xy"(x)et=xy'(x)+x2y"(x)，则原方程可化为，该方程的特征方程为λ2-4=0，其特征值为λ1=2，λ2=-2，则原方程的通解为y=C1e2t+C2e-2t，将x=et代入，原方程的通解为又因为y(1)=1，y'(1)=2，得所以y=x2．问题:4. 设∑为空间区域{(x，y，z)|x2+4y2≤4，0≤z≤2}表面的外侧，则曲面积分 答案:4π[考点] 本题考查曲面积分． [解析] 由高斯公式，得，其中，Ω为∑围成的封闭区域，Ω为椭圆柱体，在xOy平面上的区域为椭圆；Ω关于yOz平面对称，则；Ω关于xOz平面对称，则．所以 问题:5. 设A=(aij)为3阶矩阵，Aij为代数余子式，若A的每行元素之和均为2，且|A|=3，则A11+A21+A31=______．答案:[考点] 本题考查伴随矩阵的性质． [解析] 因为A的每行元素之和均为2，则有，即λ=2为A的特征值，为λ=2对应的特征向量，所以A*的其中一个特征值为，对应的特征向量是，即，故 问题:6. 甲、乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球．令X，Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数为______．答案:[考点] 本题考查随机事件的概率及相关系数． [解析] 由题意知，X，Y可能的取值分别为0，1，P{X=0，Y=0}=P{Y=0|X=0}，所以X，Y的联合分布律及边缘分布律为得E(X)=E(Y)=0.5，E(X2)=E(Y2)=0.5，E(XY)=0.3，D(X)=E(X2)-[E(X)]2=0.25，D(Y)=0.25，Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.3-0.52=0.05，故X与Y的相关系数 三、解答题本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．问题:1. 求极限 答案:解：(方法一) (方法二) 问题:2. 设，求级数的收敛域及和函数．答案:解：令 可以看作以e-x为公比的等比级数， 当|e-x|许1，即x＞0时，收敛， 且当x＞0时， 对于 则当|x|＜1，即-1＜x＜1时，绝对收敛， 又因为当x=±1时，级数为，级数收敛， 所以的收敛域为[-1，1]， 从而的收敛域为(0，1]． 令 当x∈(0，1)时， 所以当x∈(0，1)时， 问题:3. 已知曲线求C上的点到xOy坐标面距离的最大值．答案:解：设曲线C上的点的坐标为(x，y，z)，其到xOy平面的距离为|z|， 则令目标函数为f(x，y，z)=z2，约束条件为 构造拉格朗日函数 当λ=0时，由(1)得，μ=0，由(3)得z=0，代入(4)(5)得 当λ≠0时，由(1)(2)得，x=4y，与(4)(5)联立得 f(4，1，12)=122，f(-8，-2，66)=662， 所以距离的最大值为66． 问题:4. 设是有界单连通闭区域，取得最大值的积分区域记为D1． (1)求I(D1)的值； (2)计算，其中是D1的正向边界．答案:解：(1)令f(x，y)=4-x2-y2，要使取得最大值，则f(x，y)=4-x2-y2≥0，且区域D中不包含使得f(x，y)=4-x2-y2＜0的点，所以当区域D1={(x，y)|x2+y2≤4}时，I(D)取得最大值． (2) 且P(x，y)，Q(x，y)在区域D1有奇点，补充区域D2={(x，y)|x2+4y2≤ε2}，为D的边界，取顺时针方向，则 问题:5. 已知 (1)求正交矩阵P，使得PTAP为对角矩阵； (2)求正定矩阵C，使得C2=(a+3)E-A，E为3阶单位矩阵． 答案:解：(1) 所以A的特征值为λ1=λ2=a-1，λ3=a+2， 当λ1=λ2=a-1， 解得特征向量， 当λ3=a+2时， 解得特征向量，，α3与α1，α2正交， 将α1，α2进行施密特正交化得， 将β1，β2，α3单位化 (2) 因为C是正定矩阵，所以 (注：答案不唯一) 问题:6. 在区间(0，2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X，较长的一段长度记为Y，令 (1)求X的概率密度； (2)求Z的概率密度； (3)求 答案:解：(1)因为X+Y=2，且0＜X＜Y，则X在(0，1)上服从均匀分布，所以X的概率密度为 (2)因为X+Y=2，则，Z的分布函数为 当z＜1时，显然不成立，所以FZ(z)=0； 当z≥1时， (方法一) 综上可知， 所以Z的概率密度为 (方法二) 所以Z的概率密度为 综上可知，Z的概率密度为 (3) 。