高等数学B(下)公式.docx

高等数学B （下册）公式空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：dM1M2.(x2 xj2 (y2 y1)2 (z2 Zi)2向量在轴上的投影：Pr ju ABAB cos ,是AB与u轴的夹角Prju(a〔 a2) Prja〔 Prja2a b cosaxbxaybyazbz，是一个数量，两向量之间的夹角:cosaxbx22axayaybyazbzaz2 bx2,22bybzcabax bxay byaz bza b sin.例:线速度:向量的混合积:[abc] (ab) cax bxCxay by cyaz bzCzb c cos ,为锐角时,代表平行六面体的体积平面的方程：1、点法式：A(x x0) B(y y0) C(zzo) 0,其中 n {A, B,C}, Mo(xo,yo,zo)2、般方程：Ax ByCz D 03、截距世方程：-y a b平面外任意一点到该平面的距离:AX0 By0 CZ0 DA2 B2 C2Xo空间直线的方程:x xnZoPt,其中s {m,n,p};参数方程:yZomtntPt二次曲面:1、椭球面:2、抛物面:2 x~2 a2 x2p2yb22y2qz,(p,q 同号)3、双曲面:单叶双曲面:双叶双曲面:2 xa2 xab22 zc2 zc1(马鞍面)多元函数微分法及应用全微分：dz — dx x全微分的近似计算：—dy yz dz, u . u , u .du ——dx ——dy ——dzx fx(x,y) xy z fy(x,y) y多元复合函数的求导法：z f[u(t)，v(t)]第z f[u(x,y),v(x,y)]uz v— —— tv tz u z当u u(x,y), v , u . u .du ——dx ——dyxv(x, y)时，dv隐函数的求导公式:隐函数F(x,y) 0,dydx—dxx—dyy隐函数 F(x,y,z) 0,三Fy-Fx Fzd2y dx2Fx—(x)+ 一(x Fy yFx岸ydydxFyFz隐函数方程组：F(x,y,u,v)G(x,y,u,v)J (F,G) (u,v)F u G uF v G v1 J1 J(F,G) (x,v) (F,G) (y,v)1 J1 J(F,G) (u,x) (F,G) (u,y)微分法在几何上的应用:x空间曲线yz(t)(t)在点M (x0, y0, z0 )处的切线方程:(t)x__x0-(Uy。

t)z z0在点M处的法平面方程:(t°)(x x°) (t0)(yy0)(to)(z Zo)若空间曲线方程为：""为0则切向量T {G(x,y,z) 0曲面 F(x,y,z) 0 上一点 M (x0,y0,z),则：1、过此点的法向量:2、过此点的切平面方程n {Fx(x0, y0,z0), Fy(x0,y0, zj, Fz(x0, y)}:Fx(x0,y0,z0)(x x°) Fy(x0,y0,z0)(y y°)Fz(xo,yo,zo)(z zo) 03、过此点的法线方程:x x0z z0Fx(xo,yo,zo) Fy(xo,yo,zo) FzNyoZ)方向导数与梯度:函数z f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为f fcos l xf .—siny其中为x轴到方向l的转角函数z f (x, y)在一点 p(x, y)的梯度：gradf (x,y) —i xj,为l方向上的它与方向导数的关系是：、■ grad f (x,y) e,其中e cos i sin单位向量f■是gradf (x, y)在l上的投影多元函数的极值及其求法：设 fx(xo,yo)fy(Xo, yo)2AC B20时,则：AC B22AC B20时,0日t,0,令:fxx（x0,y。

A, fxy（x0,y B, fyy'y C0,（x为极大值0,（x为极小值无极值 不确定重积分及其应用:f (x, y)dxdyDf(r cosD,r sin )rdrd曲面z f（x, y）的面积Adxdy平面薄片的重心：x M-xMx (x,y)dD(x, y)dD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2 （x, y）d ,Dy (x,y)dD(x, y)dD对于y轴I y2x (x, y)dD平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M (0,0, a),(a0）的引力:F {Fx,Fy,Fz}，其中:Fxf ——D / 2 (x(x,y)xd3，22x2y a )Fy f 一D / 2 (x(x, y)yd3, a2)"Fzfa —D / 2(x(x, y)xd3 a2)2柱面坐标和球面坐标:x r cos柱面坐标：y r sin ,f (x, y, z)dxdydzF(r,,z)rdrddz,z z 其中：F (r, ,z) f (r cos x r sin cos 球面坐标： y r sin sin ,,r sin ,z)dv rd r sindr2r sindrdz r cosf (x, y,z)dxdydzF(r,、2,)r sin drd重心：xx dv,y dv,2d0M转动惯量:Ix(y2z2)dv,(x2z2)曲线积分:r(,)F(r,, 0、2 ■)r sindrdv,其中Mdvdv,Iz(x2y2) dv第一类曲线积分(对弧 长的曲线积分)：设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为：x ⑴y (t)f(x,y)ds f[ (t), (t)]..—2(t)—2(t)dt(L(t )，则:特殊情况:x ty (t)第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为x ⑴，则: y (t)P(x,y)dx Q(x,y)dyL{P[ (t), (t)] (t) Q[ (t), (t)]⑴}dt两类曲线积分之间的关系：Pdx Qdy (PcosL LL上积分起止点处切向量 的方向角。

Qcos )ds其中和分别为Q P格林公式：(————)dxdy ,二Pdxd x y lQdy格林公式：(-Q D xp -)dxdy yPdx QdyL「一 Q P1当Py,Q x,即：—— — 2时，得到D的面积：A dxdy —口 xdy ydxx yd2l平面上曲线积分与路径无关的条件:一 Q P 、,且——二一江息奇点，如(0,0),应x y1、G是一个单连通区域;2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，注意方向相反！ 二元函数的全微分求积：,Q P_ .在-Q= 一时，Pdx Qdy才是二兀函数u(x,y)的全微分，其中:x y(x,y)u(x,y) P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常设 x° y° d(x0,y0)曲面积分：对面积的曲面积分:对坐标的曲面积分:f(x,y,z)ds f[x,y,z(x,y)]5 z2(x,y) zy (x, y)dxdyDxyP(x, y,z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：R(x, y, z) dxdyR[x, y,z(x, y)]dxdy,取曲面的上侧时取正 号;P(x, y, z) dydzQ(x,y,z)dzdxDxyP[x(y,z), y,z]dydz,取曲面的前侧时取正号;DyzQ[x,y(z,x),z]dzd为取曲面的右侧时取正 号。

Dzx两类曲面积分之间的关系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:PQR八八(—— —— 一)dv 、Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds xyz高斯公式的物理意义一通量与散度:散度：divP _Q x y通量：A nds AndsR,即：单位体积内所产生 的流体质量，若 divz(Pcos Qcos Rcos )ds,0,则为消失因此，高斯公式又可写 成： div Adv oAnds斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:R Q P R(一 —)dydz ( )dzdxy z z xQ (― xP、, )dxdy - Pdx Qdy Rdzydydz dzdx dxdy上式左端又可写成： ——— x y zP Q RcoscoscosxyzPQR臧舞姗缄根枷B路径无 关的条件：R Q, P R,y z z x一阶微分方程：i y j f (,y) 或 P(x,y)dx Q(x, y)dy松外期roA的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dyQ Px y 0f(x)dx的形式，解法:g(y)dy f (xxdx y 得z G(y) F(x) C称为隐式通解 P Q R而秘陶育怖雕套 加楙尊欣Pdx《的丫局力欣tds写成2的函数，解法:设u y,则曳u x业，u du x dx dx dx即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：(u), dx 分离变量，积分后将 '代替u,x (u) u x1、一阶线性微分方程：dy P(x)y Q(x)dx/当Q(x) 001,为齐次方程，y Ce "x'。