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微分方程 — 积分分问题 — 微分方程微分方程问题 推广 目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿微分方程的基本概念 第六节（1）微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何几何问题物理物理问题 第三章 目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿引例引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的解解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:①(C为任意常数)由 ② 得 C = 1,因此所求曲线方程为②由 ① 得切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿引例引例2. 列车在平直路上以的速度行驶, 获得加速度求制动后列车的运动规律.解解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知由前一式两次积分, 可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) .制动时目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本书内容)( n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地 , n 阶常微分方程的形式是的阶.分类或必必须出出现目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿— —￿使方程成为恒等式的函数.通解通解 — —￿解中所含独立的任意常数的个数与方程— —￿确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件( (或初或初值条件条件) ):的阶数相同.特解特解引例2引例1￿通解:特解:微分方程的解解￿ ￿— 不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲分曲线. .目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿例例1. 验证函数是微分方程的通解,的特解 . 解解: 这说明是方程的解 . 是两个独立的任意常数,利用初始条件易得: 故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件 目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿求所满足的微分方程 .例例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q解解: 如图所示, 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标即点 P(x, y) 处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分, 第二节￿￿。