第5章最大似然序列估计(MLSE)与维特比算法(VA).docx

5.8最大似然序列估计(MLSE)与维特比算法(VA)引言：1 •最大似然函数准则一在AWGN或AGN信道上最佳接收准则M 元｛Xj ■ y(t )或 y符号序列统计独立发送信息 儿噪声(白，非白)L用K-L展开式，分解y任意正交基，分解yp(y(t)|xi) = max,判发送xi i=l,2,…,M可分解成N个独立的一维概率密度函数连乘p (y|x)i円p(y x)k ik =12•最大似然序列估计准则一在ISI+AGN (AWGN)信道{xi}―r映射”引入相关性、信道弥散效应-卷积编码器＞—>y(t)或 y(非白)用K-L展开式，分解y卷积计算由于引入相关性，似然函数与x有关.ip(y|xJ = H p (yk x)一 最佳接收准则及性能指数1． 系统模型{In}—► g(t)z(t)h(t)式中，r(t )= lim Y r f (t),kk统计独立高斯变量N—gk = 1r =Y I h + z k n k -n k特点：r的均值与h(t)所覆盖的若干连续符号(即序列Ip)有关kp原因：信道h(t)弥散效应使相邻符号之间引入相关性所以：r的统计特性与序列Ip有关 kpr(t)= Y I h(t - nT)+ zC)nn问题：在非白噪声及 ISI 中的最佳接收2 •最佳接收准则——ML函数准则——MLSE准则求似然函数：在N维复信号空间中，利用K-L展开式，在标准正交基f 0｝上z〜N(0,九)统计独立高斯变量kkz(t )= lim Y z f (t ),kk则似然函数为p (r (t) 11 ) = p (r 11 )=叶 p (r 11 )p N p k p(Yr-工爪.•云厂kk=1k=1exp-云Ihn k-n丿丿也可写成：p C 11 )= 1 exp]-丄N p F!佰” 1 込k=1r = (r,r ,..., r ) ， I = (I ,I ,..., I )N 1 2 N P 1 2 P按照MLSE准则，对给定接收信号r(t),当p C 11 )= max，判 IN p pJs r(t)-工I h(t-nT)、2dt >即最佳估计序列I二｛l,I，…，门是取遍所有序列后使ML最大的序列。

p 1 2 P3．性能指标使似然函数 p r |INp定义：性能指数）最大，等价于使积分值为最小(I )= r (t)—工 I h (t - nT )2dtP -sJ |r (t)—s接收信号能量2dt — 2Re 工 I * Js r (t)h*(t — nT)dt— 丿MF输出ynn —s+H I I * Js h*(t - nT )h(t - mT )dtn mn m —S~Y相关函数xn-m故,MLSE准则等价于J （I ）最小PJ (IP )可简化为： J (IP)= —2Re+工工I * I xn m n —m m最佳估计时,式中,J (I )二 minp=Js r(t)h* (t — nT)dt—sx = Js h*(t)h(t + nT)dt为MF在t二nT时输出—s为MF（或信道）自相关函数注：x (t) = h (t)* h*(—t)，h (t)= g (t)* c (t)•维特比算法（VA）i •性能指数j （i ）的递推算法N设发送序列（复）I ={/,/ ,...,I }总长度为 NN 1 2 N收：最佳估计序列J「= -2ReI N丿可分解为递推形式N -1 -N-T£f*yn nn=1r = '沪 人九N 1 2 N=min=minJ (I ) = - 2Re( £l I * y=▼ n nn = 1 m = 1-2 Re( I* y )N N卜 2 £T Re( I * I x ) +N n N — nI 1N 1n = N — LN证明：2 X0££-1 t*t xn m n — m(A)(2) = £ (I* +1nn =1=£ E I* I xn m n-mn =1 m =1)£ (I* )厶(I +1 )xn= N m m= N n-mm=12 x +1*£ I x +1 £ I* x0 N m N - m N n n - Nm=1 n=1N -12 £ Re(I* I X )N n N-nn=N-Lx = x * (自相关函数)N - n N - nN — n < L n > N — L其中，设信道（Tx+ch）的冲激响应h（t）持续时间为［0, LT］（支撑）则自相关函数x（或Tx+ch+MF的响应）持续时间为［-LT LT］（支撑）x（A）式可表示为：J (I ) = J (I ) — 2Re(f* y ) + 2 匸N N N —1 N —1 N NRe(/* I x ) + IN n N—n 丿n=N—L(A1)N对子序列 Ik 进行估计时（换个时间下标），性能指数J G ）=—2Rekk+艺》I* I xn m n —mn=1 m=1Q* y〕I n=1…丿对子序列Ik+1进行估计时，性能指数：(将(A)式中N~k+1 N-Lk)J (I ) = J (I ) —2Re G* y )+ 2 £ Re C* I x )+ Ik+1 kk k/ k+1 k+1 k+1 n k+1—n' n=k 11 Lv 8 JkA2)k+12 (A3)x0J (I ) = J (I ) + 8 J (性能指数增量)k+1 k+1 k k kk值的确定：k=LL+1,…N最大值kmax=N,由发送序列最大长度所确定最小值kmin=L,由信道响应的长度所确定。

因为ISI覆盖了 L个符号，只有 在k > L后，才有可能做出正确的估计）（A3）式就是性能指数的递推算法为了从概念上更清晰地说明和简明地表达 VA定义：估计序列状态c = {I , I ，・・・，I , I }, k = L,L +1,.・・・，Nk 、k — L+1 k — L+ 2 k—1 kL个 （等于信道响应的长度）c表示t=kT时刻，包括当前及其前列符号在内的L个符号（即ISI所覆盖 k的符号）估计值所有可能取值的组合若符号为M元，则每个状态取值组合共有Ml个例如，M=2，L=2，则c共有4个取值组合显然，正确估计只能是其中某一k个状态c中取值组合可简称为状态取值（或状态元素），用节点0表示k因此，一般讲，对长度为L的M元符号序列，每一个状态共有ML个节点I I12「00、0110J丿k00k长度为N (N>L)的序列I经历了 (N-L+1)个状态L L+1N - L+1L L+1 N(N-L+1)个状态N定义：状态转移一从一个状态b过渡到下一个状态b ，记为C b )，将 k k + 1 k , k +1“状态b ”及“状态转移C b )”引入(A3)式，性能指数J (I )可改k k, k +1 k+1 k+1写为P G )= P (b )+ B(y ;b ,b ), k wk, N -1] (A4)上式即为性能指数递推算法简洁形式，即 VA。

2. Trellis图及最佳估计的几何解释1) Trellis 图由前面分析可以看出：由(A1)式计算性能指数J(I ),并寻找其最小值，来获得对发送符号序列N的最佳估计IN的算法，等价于(A4)式的递推算法因此，最佳估计I应满足:A5)NP (I ) = min{P Q Q ..Q )} = J (I )为最小值N N f N L, L+1, N NN1NP (I ) = min < PN N fIN I(Q )+士1 B (y Q QN L k +1; k , k +1k 二 LA6)P ( If ) =NNlim min k=INT)-{p (Q )+ B (y Q QN L k +1; k , k + 1( A7)（A7）式所表示的求最佳估计序列I的递推算法，可以用Trellis图加以几何解释N)N图解说明：• 每一个状态，共有ML个节点（o）• B（y Q Q ）为“分支度量（长度）”或“状态转移度量（长度）”，表示从 k +1; k , k +1Q TQ时，各节点的性能指数增量 k k +1• P （Q ）为“路径度量（长度）kk表示从初始状态Q「开始直到状态Q，各节点性能指数的累加值。

Lk2）最佳估计的几何解释：（即，在Trellis图中，寻求最佳I的几何解释）Na） 最佳I由全程最短路径所确定N按（A5）式，最佳IN等价于全程最短路径P （I ）所连接各状态相应节点所N N N表示的符号序列b） 求全程最短路径的方法：计算—累加—比较、取舍即：在状态转移中，累加分支长度，再比较、取舍，直到最后一个状态为止 具体地说，按（A6）（A7）式，求全程最短路径可由逐段最短路径累加来实现即状态每转移一次，计算在新状态下各节点的累加路径，再舍去各节点中较 长的路径，只保留其中最短路径（叫 “幸存路径 ）各状态下的最短路径 叫“局部最短路径 这种在状态转移过程中通过计算、累加、比较、取舍 方法寻求最短路径的过程延续到最后一个状态 再比较各节点的幸存路 N径，即可找到全程最短路径3）说明几点：--关于全程最短路径与局部最短路径的关系• “全程最短路径”的唯一性当发送序列很长,N很大，全程最短路径是唯一的，它对应着最佳估计IN• “局部最短路径“的分离性局部最短路径在若干个状态转移过程中，不一定与全程最短路径相吻合，或同时存在几个相等的局部“最短”路径因此，在若干个状态转移过程 中，不一定能确定真正符合全程的最短路径。

原因：信道噪声的随机性当噪声样本序列比较短时，它的统计特性不平稳，带有较大的随机性；当噪声样本序列足够长时，它的统计特性才比较平稳•离合长度的随机性总的来看，局部最短路径与全程最短路径 “时分”、“时合 ，分离或合并的长度是随机的它取决于信道的条件、信噪比等因素当信道条件差，或信噪• 要实时估计，不能最终估计在实际应用中，不可能等找出全程最短路径之后，再确定I，因为这需N 要庞大的存储器，而且也不满足通信实时性的要求• 要截取足够长度进行估计 由于“分离现象”的存在，必须截取足够。