高等数学上册第五章.ppt

§5.1 定积分概念与性质二、定积分定义三、定积分的性质 一、定积分问题举例 二、定积分定义定积分的定义•在小区间[xi1 xi]上任取一点i (i1 2  n) max{x1 x2  xn} 记xixixi1(i1 2  n) ax0x1x2  xn1xnb •在区间[a b]内插入分点 设函数f(x)在区间[a b]上有界 •如果当0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间[a b]的分法和i的取法无关 则称这个极限为函数f(x)在区间[a b] 下页定积分各部分的名称  ————积分符号 f(x) ———被积函数 f(x)dx ——被积表达式 x ————积分变量 a ————积分下限 b ————积分上限 [a b]———积分区间 ———积分和 定积分的定义二、定积分定义下页函数的可积性 如果函数f (x)在[a b]上的定积分存在 我们就说f (x)在区间[a b]上可积 定理1 设f(x)在区间[a b]上连续 则f(x)在[a b]上可积 定理2 设f(x)在区间[a b]上有界 且只有有限个间断点 则f(x) 在[a b]上可积 定积分的定义二、定积分定义下页定积分的几何意义 当f(x)0时 f(x)在[a b]上的定积分表示由曲线yf(x)、两条直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积 当f(x)0时 f(x)在[a b]上的定积分表示由曲线yf(x)、两条直线xa、xb与x轴所围成的图形面积的负值 这是因为下页三、定积分的性质两点规定 下页三、定积分的性质下页 注 值得注意的是不论a b c的相对位置如何上式总成立三、定积分的性质下页三、定积分的性质下页 推论1 如果在区间[a b]上 f (x)g(x) 则 这是因为g(x)f(x)0 从而 如果在区间[a b]上 f (x)0 则 性质5 下页 这是因为|f(x)|f(x)|f(x)| 所以 推论1 如果在区间[a b]上 f (x)g(x) 则 如果在区间[a b]上 f (x)0 则 性质5 下页 推论1 如果在区间[a b]上 f (x)g(x) 则 如果在区间[a b]上 f (x)0 则 性质5 性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间[a b]上的最大值及最小值 则 下页 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 则在积分区间[a b]上至少存在一个点 使下式成立 性质7(定积分中值定理) ——积分中值公式 结束§5.2 微积分基本公式积分上限的函数及其导数牛顿莱布尼茨公式二、积分上限的函数及其导数积分上限的函数 定理1(积分上限函数的导数)  为积分上限的函数 设函数f(x)在区间[a b]上连续 x[a b] 我们称下页定理2(原函数存在定理) 首页例1、求下列函数的导数。

变限积分求导练习练习求下列极限三、牛顿莱布尼茨公式定理3(牛顿莱布尼茨公式) 若F(x)是连续函数f(x)在区间[a b]上的一个原函数 则下页下页例例4. 计算 其中§5.3 定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法不定积分一、定积分的换元法 假设函数f(x)在区间[a b]上连续 函数x(t)满足条件 (1)()a ()b (2)(t)在[ ](或[ ])上具有连续导数 且其值域不越出[a b] 则有定理(换元积分法) 下页说明说明: :1) 当 <  , 即区间换为定理 1 仍成立 .3) 换元公式也可反过来使用 , 即配元不换限2) 必需注意换元必换限换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .例例1 1. 计算提示 提示 换元一定要换积分限 不换元积分限不变 下页讨论 例5 证明 若f (x)在[a a]上连续且为偶函数 则 下页计算：二、定积分的分部积分法 设函数u(x)、v(x)在区间[a b]上具有连续导数 分部积分过程 由 (uv)uvuv 得 uv(uv)uv 等式两端在区间[a b]上积分得 这就是定积分的分部积分公式 下页例：计算（1）分部积分过程 （2）练习 （1）分部积分过程 （2） （3）§5.4 反常积分一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分一、无穷限的反常积分定义(无穷限的反常积分) 在反常积分的定义式中 如果极限是存在的 则称此反常积分收敛 否则称此反常积分发散 连续函数f(x)在区间[a )上的反常积分定义为 类似地 连续函数f(x)在区间( b]上和在区间( )的反常积分定义为 下页反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数 则有 可采用如下简记形式 一、无穷限的反常积分定义(无穷限的反常积分) 连续函数f(x)在区间[a )上的反常积分定义为 下页 类似地 有 反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数 则有 一、无穷限的反常积分定义(无穷限的反常积分) 连续函数f(x)在区间[a )上的反常积分定义为 下页下页首页 二、无界函数的反常积分 无界函数的反常积分又称为瑕积分 如果函数f(x)在点x0的任一邻域内都无界 那么点x0称为函数f(x)的瑕点(也称为无界间断点) 定义(无界函数反常积分) 设函数f(x)在区间(a b]上连续 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a b]上的反常积分定义为 在反常积分的定义式中 如果极限是存在的 则称此反常积分收敛 否则称此反常积分发散 下页 函数f(x)在[a c)(c b]上(c为瑕点)的反常积分定义为 类似地 函数f(x)在[a b)上(b为瑕点)的反常积分定义为 二、无界函数的反常积分定义(无界函数反常积分) 设函数f(x)在区间(a b]上连续 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a b]上的反常积分定义为下页反常积分的计算 如果F(x)为f(x)的原函数 可采用简记形式 则f(x)在(a b]上的反常积分为 二、无界函数的反常积分定义(无界函数反常积分) 设函数f(x)在区间(a b]上连续 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a b]上的反常积分定义为下页提问 f(x)在[a b)上和在[a c)(c b]上的反常积分如何计算？ 如何判断反常积分的敛散性？反常积分的计算 如果F(x)为f(x)的原函数 则f(x)在(a b]上的反常积分为 二、无界函数的反常积分定义(无界函数反常积分) 设函数f(x)在区间(a b]上连续 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a b]上的反常积分定义为下页所以点a为被积函数的瑕点 下页下页结束。