重庆大学高数(工学下)期末试题十三(含答案).docx

命题人: 组题人: 审题人: 命题时间: 教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号:10MATH04考试日期: 2015.1 考试时间: 120 分钟题 号一二三四五六七八九十总 分得 分考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试; 2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.一、选择题(每小题3分,共18分)1. 若级数收敛,则 (A) (B) (C) (D)难度等级：1；知识点：级数的敛散性答案:C.2. 设为抛物线上的弧段,则(A) (B) (C) (D)难度等级：1；知识点：第一类曲线积分答案:(A).3. 曲面在点处的法线方程为（ ）.（A） （B）（C） （D）答案：（C）难度等级：1；知识点：曲面的切平面与法线.分析：曲面方程可以变为，其的法向量为在点处，只有(D)的方向向量与其相同，所以应选(C).4. 设为球面的上半部分的上侧,在求时，需要补充曲面后使用Gauss公式，下面补法正确的是 (A)取下侧(B) 其中 以原点为心的单位球面上半部分取下侧(C)取下侧 (D)取上侧难度等级：1；知识点：高斯公式答案:(B)分析: A,C,D均包含原点，在该点不连续，故只有B可选.5. 函数是微分方程的通解. (A) (B) (C) (D) 难度等级：1；知识点：一阶线性微分方程答案:D.6. 若区域D为，则二重积分化成累次积分为( )D(A) (B)(C) (D)答案：（D）难度等级：1；知识点：二重积分的极坐标表示二次积分分析 区域在极坐标下可表为，选项中B,C不符合积分限，选项A被积函数不对，故选D二、填空题(每小题3分,共18分)7. 向量的方向余弦分别为难度等级：1；知识点：向量代数分析:同样答案:8. 函数的驻点为难度等级：1；知识点：多元函数极值答案:9. 交换累次积分的次序:难度等级：1；知识点：二重积分答案: 10. 若为某二元函数的全微分,则答案:分析:由全微分条件可得即有因此11. 方程 的通解为 答案：难度等级：1；知识点：可分离变量方程.分析 将方程变为，这是全微分方程，积分得。

12. 设是周期为的周期函数,它在区间上定义为则的傅立叶级数在处收敛于难度等级：2；知识点：傅里叶级数答案:三、 计算题(每小题6分,共24分)13. 求微分方程的通解难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程.分析 方程为一阶非线性微分方程的初值问题，需作变换化为线性微分方程.解 将方程改写为这是一阶线性方程，其通解为14. 判断级数的敛散性.难度等级：2；知识点：敛散性的判别.分析:正项级数用比值判别法解:由比值判别法故级数发散.15. 在曲面上求一点，使该点处的切平面垂直于直线，并求该切平面.难度等级：2；知识点：曲面的切平面.分析 在点处的切平面的法向量为，直线与切平面垂直，则与直线的方向向量平行，对应坐标成比例.解 曲面在点处的法向量平行于向量，所以 令，得到代入得，，所求的点为和，切平面为 ，即和 ，即16. 已知向量， .求以为边的平行四边形的面积与对角线的长.难度等级：2；知识点：向量代数.分析 平行四边形的面积，对角线的长.解 平行四边形的面积.对角线的长； 四、解答题(每小题6分,共12分)17. 计算半径为中心角为的圆弧对于它的对称轴的转动惯量(设密度难度等级：2；知识点：第一类曲线的应用分析:写出曲线弧的参数方程化为定积分计算.解:取如图所示的坐标系,题目所求即是求对轴的转动惯量,亦即 其中的参数方程为所以18. 设为椭球面上的动点.若椭球面在点处的切平面与面垂直,求点的轨迹并计算曲面积分其中是椭球面位于曲线上方的部分．难度等级:3;知识点:两类曲面积分的转换,求曲面方程分析:按照题意,利用垂直的条件,先求曲线的方程.后将曲面积分投影到面计算. 解: 椭球面上点处的法向量是点处的切平面与面垂直的充要条件是点的轨迹Ｃ的方程为取记的方程为 (对称性) 五、证明题(2*7=14分)19. 设证明级数收敛,并求其和.难度等级: 3 知识点:无穷级数收敛域,和函数解: 比较系数:的部分和数列故原级数收敛且20. 设是半径为的圆周长, 试证: 难度等级:2;知识点:二重积分计算分析: 从被积函数及积分区域,适用极坐标计算证明证明: 左 =右.六、应用题 (2*7=14分)21. 一均匀物体(密度为常量)占有的闭区域由曲面和平面所围成, 求物体的体积. 难度等级:2;知识点:二重积分的应用.分析: 由积分区域具有对称性,利用直角坐标计算即可 解: 由对称可知 . 22. 设有一高度为(为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程(设长度单位为时间单位为),已知体积减少的速率与侧面积成正比例(比例系数),问高度为的雪堆全部融化需多少时间？难度等级:3;知识点:三重积分计算,重积分应用,相关变化率分析:先求出关于时间的体积函数,关于时间侧面积函数,利用体积变化速度与侧面积变化关系解出高度关于时间函数,最后给出结果.解:STEP1.记为雪堆体积,为雪堆的侧面积,则:(先二后一) (:) (空间曲面面积计算公式) (极坐标)STEP2.由题意知 高度为的雪堆全部融化所需时间为.。